Progresije: što su to, vrste, formule, primjeri

Mi znamo kako progresije posebni slučajevi brojevne sekvence. Postoje dva slučaja progresije:

• aritmetička progresija

• geometrijska progresija

Da bismo bili progresija, moramo analizirati karakteristike niza ako postoji razlog koji nazivamo. kad je progresija aritmetika, razlog nije ništa drugo nego konstanta koju dodajemo pojmu da bismo pronašli njegovog nasljednika u nizu; sada, kada radite s progresijom geometrijski, razum ima sličnu funkciju, samo što je u ovom slučaju razum stalni pojam kojim množimo pojam u nizu da bismo pronašli njegovog nasljednika.

Zbog predvidljivo ponašanje progresije, postoje posebne formule za pronalaženje bilo kojeg pojma u tim sekvencama, a također je moguće razviti a formula za svakog od njih (tj. jedna za aritmetičku progresiju i jedna za geometrijsku progresiju) kako bi se izračunao zbroj IzNe prvi uvjeti ovog napredovanja.

Pročitajte i vi: Funkcije - što su i čemu služe?

Količina graha po berbi ponaša se poput geometrijske progresije

slijed brojeva

Da bismo razumjeli što su progresije, prvo moramo razumjeti što su

brojevne sekvence. Kao što i samo ime govori, znamo redoslijed brojeva a skup brojeva koji poštuju redoslijed, bili dobro definirani ili ne. Za razliku od setovi numeričke vrijednosti gdje redoslijed nije važan, u numeričkom slijedu redoslijed je bitan, na primjer:

Slijed (1, 2, 3, 4, 5) razlikuje se od (5, 4, 3, 2, 1), koji se razlikuje od slijeda (1, 5, 4, 3, 2). Čak i ako su elementi isti, budući da je redoslijed drugačiji, imamo različite sekvence.

Primjeri:

Možemo napisati sekvence čije je formacije lako vidjeti:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → niz parnih brojeva manjih ili jednakih 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → regresivni slijed neparnih brojeva od 17 do 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → poznat kao Fibonaccijev niz.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → iako ovaj redoslijed nije moguće opisati poput ostalih, lako je predvidjeti koji će biti njegovi sljedeći pojmovi.

U ostalim slučajevima, nizovi mogu imati ukupnu slučajnost u svojim vrijednostima, u svakom slučaju, biti slijed, važno je imati niz uređenih vrijednosti.

do 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Koliko god nije moguće predvidjeti tko su sljedeći pojmovi iz slova b, još uvijek radimo s nastavkom.

Općenito, nizovi su uvijek predstavljeni u zagradama (), na sljedeći način:

(The₁, a₂, The₃, a₄, The₅, a₆, a₇, a₈ …) → beskonačan niz

(The₁, a₂, The₃, a₄, The₅, a₆, a₇, a₈... a_Ne) → konačan niz

U oba imamo slijedeće predstavljanje:

The₁ → prvi mandat

The₂ → drugi mandat

The₃ → treći mandat

.

.

.

The_Ne → n-ti pojam

Promatranje: Od velike je važnosti da se prilikom predstavljanja niza podaci zatvaraju u zagrade. Zapis sekvence često se miješa sa zapisom skupa. Skup je predstavljen u zagradama, a u setu redoslijed nije važan, što u ovom slučaju čini sve razlike.

(1, 2, 3, 4, 5) → slijed

{1, 2, 3, 4, 5} → postavljeno

Postoje posebni slučajevi slijeda koji su poznati kao progresije.

Pogledajte i: Koji je temeljni princip brojanja?

Što su progresije?

Niz je definiran kao progresija kada ima a pravilnost iz jednog pojma u drugi, poznat kao razum. Postoje dva slučaja napredovanja, aritmetička i geometrijska. Da bismo znali razlikovati svakog od njih, moramo razumjeti koji je razlog napredovanja i kako taj razlog utječe na pojmove niza.

Kada, od jednog do drugog pojma u nizu, imam a konstantna suma, ovaj slijed je definiran kao progresija, a u ovom slučaju je a aritmetička progresija. Ova vrijednost koju neprestano zbrajamo poznata je kao omjer. Drugi slučaj, odnosno kada je slijed a geometrijska progresija, od jednog pojma do drugog postoji a množenje konstantnom vrijednošću. Analogno tome, ova vrijednost je omjer geometrijske progresije.

Primjeri:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → primijetite da uvijek dodamo 3 iz jednog pojma u drugi, tako da imamo aritmetičku progresiju omjera jednaku 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → u ovom slučaju uvijek množimo s 10 iz jednog u drugi pojam, baveći se geometrijskom progresijom omjera 10.

c) (0, 2, 8, 26…) → u potonjem slučaju postoji samo jedan slijed. Da bismo pronašli sljedeći pojam, pomnožimo ga s 3 i dodamo 2. U ovom slučaju, iako postoji pravilnost pronalaska sljedećih pojmova, to je samo niz, a ne aritmetička ili geometrijska progresija.

aritmetička progresija

Kada radimo s nizovima brojeva, oni nizovi u kojima možemo predvidjeti njihove sljedeće pojmove prilično se ponavljaju. Da bi se ovaj slijed mogao klasificirati kao a aritmetička progresija, mora postojati razlog a. Od prvog mandata, sljedeći je mandat konstruiran zbrojem prethodnog pojma s razlogom r.

Primjeri:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Ovo je slijed koji se može klasificirati kao aritmetička progresija, jer je razlog r = 3, a prvi je pojam 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

Ovaj slijed je aritmetička progresija s dobrim razlogom. r = -5, a prvi mu je mandat 7.

• Uvjeti PA

U mnogim je slučajevima naš interes pronaći određeni pojam u napredovanju, bez potrebe za pisanjem cijelog niza. Znajući vrijednost prvog člana i omjera, moguće je pronaći vrijednost bilo kojeg člana u aritmetičkoj progresiji. Da bismo pronašli izraze arimetičke progresije, koristimo formulu:

The_Ne = the₁+ (n - 1) r

Primjer:

Pronađite 25. član P.A čiji je omjer 3, a prvi član 12.

Podaci r = 3,₁ = 12. Želimo pronaći 25. pojam, odnosno n = 25.

The_Ne = the₁+ (n - 1) r

The₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

The₂₅ = 12 + 24 · 3

The₂₅ = 12 + 72

The₂₅ = 84

• Opći pojam P.A.

Općeniti pojam formula je a način pojednostavljenja formule pojma AP za brže pronalaženje bilo kojeg pojma napredovanja. Nakon što su poznati prvi pojam i razlog, dovoljno je u formuli zamijeniti pojam P.A., kako bi se pronašao opći pojam aritmetičke progresije, koji ovisi samo o vrijednosti Ne.

Primjer:

Pronađite opći pojam P.A. koji ima r = 3 i₁ = 2.

The_Ne = 2 + (n -1) r

The_Ne = 2 + (n -1) 3

The_Ne = 2 + 3n - 3

The_Ne = 2n - 1

Ovo je opći izraz P.A., koji služi za pronalaženje bilo kojeg pojma u ovom napredovanju.

• Zbroj pojmova PA

THE zbroj pojmova PA bilo bi prilično mukotrpno kad bi bilo potrebno pronaći svaki njegov pojam i zbrojiti ih. Postoji formula za izračunavanje zbroja svih Ne prvi izrazi aritmetičke progresije:

Primjer:

Pronađite zbroj svih neparnih brojeva od 1 do 100.

Znamo da su neparni brojevi aritmetička progresija omjera 2: (1, 3, 5, 7... 99). U ovoj progresiji postoji 50 izraza, jer je od 1 do 100 polovica brojeva paran, a druga polovica neparna.

Stoga moramo:

n = 50

The₁ = 1

The_Ne = 99

Također pristupite: Funkcija 1. stupnja - praktična upotreba aritmetičke progresije

Geometrijska progresija

Niz se također može klasificirati kao progrešenja geometrijski (PG). Da bi niz bio geometrijska progresija, mora imati razlog, ali u ovom slučaju, da bismo pronašli sljedeći pojam iz prvog člana, izvodimo množenje omjera s prethodnim pojmom.

Primjeri:

a) (3, 6, 12, 24, 48 ...) → Geometrijska progresija omjera 2, a prvi mu je pojam 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000…) → Geometrijska progresija omjera 10, a prvi joj je pojam 20.

• Pojam PG-a

U geometrijskoj progresiji predstavljamo razlog pismu što. Pojam geometrijske progresije može se naći po formuli:

The_Ne = the₁ · što^{n - 1}

Primjer:

Pronađite 10. mandat PG-a, znajući to što = 2 i₁ = 5.

The_Ne = the₁ · što^{n - 1}

The₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

The₁₀ = 5 · 2⁹

The₁₀ = 5 · 512

The₁₀ = 2560

• Opći pojam PG-a

Kad znamo prvi pojam i razlog, moguće je generirati formulu općeg pojma iz geometrijske progresije koja ovisi isključivo o vrijednosti Ne. Da bismo to učinili, trebamo zamijeniti prvi pojam i omjer, a naći ćemo jednadžbu koja ovisi samo o vrijednosti Ne.

Koristeći prethodni primjer, gdje je omjer 2, a prvi član 5, opći pojam za ovog liječnika opće prakse je:

The_Ne = the₁ · što^{n - 1}

The_Ne = 5 · 2^{n - 1}

• Zbroj pojmova PG

Dodavanje svih uvjeta napredovanja bio bi velik posao. U mnogim slučajevima pisanje cijelog niza kako bi se postigla ova suma oduzima puno vremena. Da bi se olakšao ovaj izračun, geometrijska progresija ima formulu koja služi za izračunavanje zbroj od Ne prvi elementi konačnog PG-a:

Primjer:

Pronađite zbroj prvih 10 članaka GP (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Imajte na umu da je omjer ovog PG jednak 2.

The₁ = 1

što = 2

Ne = 10

Pročitajte i vi: Eksponencijalna funkcija - praktična uporaba geometrijske progresije

riješene vježbe

Pitanje 1 - Znanstvenici nekoliko dana promatraju određenu kulturu bakterija. Jedan od njih analizira rast ove populacije i primijetio je da je prvog dana bilo 100 bakterija; u drugom, 300 bakterija; u trećem, 900 bakterija, i tako dalje. Analizirajući ovaj slijed, možemo reći da je:

A) aritmetička progresija omjera 200.

B) geometrijska progresija omjera 200.

C) arimeticko napredovanje razuma 3.

D) geometrijska progresija omjera 3.

E) slijed, ali ne i napredovanje.

Razlučivost

Alternativa D.

Analizirajući slijed, imamo pojmove:

Imajte na umu da je 900/300 = 3, kao i 300/100 = 3. Stoga radimo s PG omjerom 3, jer množimo s tri iz prvog člana.

Pitanje 2 - (Enem - PPL) Za početnike u trčanju utvrđen je sljedeći dnevni plan treninga: trčite 300 metara prvog dana, a 200 metara dnevno povećavajte od drugog. Kako bi izbrojio svoj učinak, upotrijebit će čip, pričvršćen za tenisicu, za mjerenje udaljenosti prijeđene na treningu. Uzmite u obzir da ovaj čip u svojoj memoriji pohranjuje najviše 9,5 km trčanja / hodanja i mora se staviti na početak treninga i odbaciti nakon što iscrpi prostor za rezervu podataka. Ako ovaj sportaš koristi čip od prvog dana treninga, koliko će uzastopnih dana ovaj čip moći pohraniti kilometražu tog dnevnog plana treninga?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Razlučivost

Alternativa B.

Analizirajući situaciju, znamo da imamo PA s razlogom 200 i početnim završetkom jednakim 300.

Nadalje, znamo da je zbroj S_Ne = 9,5 km = 9500 metara.

S tim podacima pronađimo pojam a_Ne, što je broj kilometara zabilježenih posljednjeg dana skladištenja.

Također je vrijedno zapamtiti da bilo koji pojam a_Ne može se zapisati kao:

The_Ne = the₁ + (n - 1)r

S obzirom na jednadžbu 200n² + 400n - 19000 = 0, sve pojmove možemo podijeliti s 200, pojednostavnjujući jednadžbu i nalazeći: n² + 2n - 95 = 0.

Za deltu i Bhaskaru moramo:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Znamo da 8,75 odgovara 8 dana i nekoliko sati. U ovom slučaju, broj dana u kojima se mjerenje može izvršiti je 8.

Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm