Metoda dovršenja kvadrata

Među načinima kako pronaći numeričku vrijednost x, postupak poznat i kao naći korijene jednadžbe ili naći rješenje jednadžbe, isticati se: Bhaskara formula to je postupak popunjavanja kvadrata. Potonje je fokus današnjeg teksta.

Broj rješenja jednadžbe dat je stupnjem. Stoga jednadžbe prvog stupnja imaju samo jedno rješenje, jednadžbe trećeg stupnja imaju tri rješenja i kvadratne jednadžbe imaju dva rješenja, koja se nazivaju i korijenima..

Jednadžbe drugog stupnja, u smanjenom obliku, mogu se napisati kako slijedi:

sjekira² + bx + c = 0

metoda dovršenja kvadrata

U tom je slučaju kvadratna jednadžba savršeni kvadratni trinom

Jednadžbe drugog stupnja koje proizlaze iz izvanrednog proizvoda poznate su kao savršeni kvadratni trinom. Da bismo pronašli njezine korijene, poslužit ćemo se dolje opisanom metodom:

Primjer: Izračunaj korijene x jednadžbe² + 6x + 9 = 0.

Imajte na umu da je koeficijent b 6 = 2 · 3. Da biste ga napisali u obliku izvanrednog proizvoda, samo provjerite je li c = 3², što je istina, budući da je 3² = 9 = c. Na taj način možemo napisati:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0

Imajte na umu da je zapažen proizvod umnožak između dva jednaka polinoma. U slučaju ove jednadžbe imat ćemo:

(x + 3)² = (x + 3) (x + 3) = 0

Proizvod je jednak nuli samo kad je jedan od njegovih čimbenika jednak nuli. Stoga je za (x + 3) (x + 3) = 0 potrebno da je (x + 3) = 0 ili (x + 3) = 0. Otuda dva jednaka rezultata za x jednadžbu² + 6x + 9 = 0, a to su: x = - 3 ili x = - 3.

Ukratko: za rješavanje x jednadžbe² + 6x + 9 = 0, napiši:

x² + 6x + 9 = 0

(x + 3)² = 0

(x + 3) (x + 3) = 0

x = - 3 ili x = - 3

U tom slučaju kvadratna jednadžba nije savršeni kvadratni trinom

Jednadžba sekunde u kojoj koeficijent b i koeficijent c ne udovoljavaju gore utvrđenim relacijama nije savršeni kvadratni trinom. U ovom slučaju, gore istaknuta metoda rješavanja može se koristiti uz dodatak nekoliko koraka. Primijetite sljedeći primjer:

Primjer: Izračunaj korijene x jednadžbe² + 6x - 7 = 0.

Imajte na umu da ova jednadžba nije savršeni kvadratni trinom. Da bi to bilo, možemo se poslužiti sljedećim operacijama:

Imajte na umu da je b = 2,3, pa je u prvom članu izraz koji bi se trebao pojaviti x² + 6x + 9, jer je u ovom izrazu b = 2 · 3 i c = 3².

Za ovu "transformaciju" dodajte 3² na dva člana ove jednadžbe, "proslijedite" - 7 drugom članu, izvedite moguće operacije i promatrajte rezultate:

x² + 6x - 7 + 3² = 0 + 3²

x² + 6x + 3² = 3² + 7

x² + 6x + 9 = 9 + 7

x² + 6x + 9 = 16

(x + 3)² = 16

√ (x + 3)² = √16

x + 3 = 4 ili x + 3 = - 4

Ovaj posljednji korak mora se podijeliti u dvije jednadžbe, jer korijen 16 može biti 4 ili - 4 (to se događa samo u jednadžbama. Ako se pita što je korijen 16, odgovor je samo 4). Dakle, potrebno je pronaći sve moguće rezultate. Nastavak:

x + 3 = 4 ili x + 3 = - 4

x = 4 - 3 ili x = - 4 - 3

x = 1 ili x = - 7

U tom slučaju koeficijent "a" nije jednak 1

Prethodni su slučajevi namijenjeni kvadratnim jednadžbama gdje je koeficijent "a" jednak 1. Ako se koeficijent "a" razlikuje od 1, samo podijelite cijelu jednadžbu s vrijednošću "a" i nastavite s izračunima na isti način kao u prethodnom slučaju.

Primjer: Izračunaj 2x korijena² + 16x - 18 = 0

Imajte na umu da je a = 2. Dakle, podijelite cijelu jednadžbu s 2 i pojednostavite rezultate:

2x² + 16x – 18 = 0
 2 2 2 2

x² + 8x - 9 = 0

Nakon što je to učinjeno, ponovite postupke iz prethodnog slučaja.

x² + 8x - 9 = 0

x² + 8x - 9 + 16 = 0 + 16

x² + 8x + 16 = 9 + 16

(x + 4)² = 25

√ (x + 4)² = √25

x + 4 = 5 ili x + 4 = –5

x = 5 - 4 ili x = - 5 - 4

x = 1 ili x = - 9

Značajni proizvodi i jednadžbe drugog stupnja: podrijetlo metode dovršavanja kvadrata

Kvadratne jednadžbe slične su izvanrednim proizvodima zbrojni kvadrat i kvadrat razlike.

Zbroj na kvadrat, na primjer, zbroj je dva monoma na kvadrat. Gledati:

(x + k)² = x² + 2kx + k²

Prvi član gore navedene jednakosti poznat je kao izvanredan proizvod a drugi kako savršeni kvadratni trinom. Potonje je vrlo nalik jednadžbi drugog stupnja. Gledati:

Savršeni kvadratni trinom: x² + 2kx + k²

Jednadžba drugog stupnja: sjekira² + bx + c = 0

Na taj način, ako postoji bilo kakav način da se kvadratna jednadžba napiše kao izvanredan proizvod, možda postoji i način da pronađete svoje rezultate bez potrebe za korištenjem formule Bhaskara.

Da biste to učinili, imajte na umu da su u gore navedenom značajnom proizvodu a = 1, b = 2 · k i c = k². Na taj je način moguće napisati jednadžbe koje ispunjavaju ove zahtjeve u obliku izvanrednog proizvoda.

Pa pogledajte koeficijente u jednadžbi. Ako se "a" razlikuje od 1, podijelite cijelu jednadžbu s vrijednošću "a". Inače, promatrajte koeficijent "b". Brojčana vrijednost polovice ovog koeficijenta mora biti jednaka numeričkoj vrijednosti kvadratnog korijena koeficijenta "c". Matematički, s obzirom na os jednadžbe² + bx + c = 0, ako je a = 1, a uz to:

B = c
2

Dakle, ovu jednadžbu možete napisati ovako:

sjekira² + bx + c = (x + B) = 0
2

I njezini će korijeni biti - B i + b.
2 2

Stoga je sva teorija korištena za izračunavanje korijena kvadratnih jednadžbi metodom popunjavanja kvadrata.

Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm