Riješene vježbe linearnih sustava

Vježbajte svoje znanje o linearnim sustavima, važnoj matematičkoj temi koja uključuje proučavanje simultanih jednadžbi. Uz mnoge praktične primjene, koriste se za rješavanje problema koji uključuju različite varijable.

Sva pitanja rješavamo korak po korak, pri čemu ćemo koristiti različite metode, kao što su: zamjena, zbrajanje, eliminacija, skaliranje i Cramerovo pravilo.

Pitanje 1 (metoda zamjene)

Odredite uređeni par koji rješava sljedeći sustav linearnih jednadžbi.

Vidi Odgovor

Odgovor:

Izoliranje x u prvoj jednadžbi:

Zamjenom x u drugu jednadžbu:

Zamjenom vrijednosti y u prvu jednadžbu.

Dakle, uređeni par koji rješava sustav je:

Pitanje 2 (metoda skaliranja)

Rješenje sljedećeg sustava linearnih jednadžbi je:

Vidi Odgovor

Odgovor: x = 5, y = 1, z = 2

Sustav je već u obliku ešalona. Treća jednadžba ima dva nula koeficijenta (y = 0 i x = 0), druga jednadžba ima nula koeficijenta (x = 0), a treća jednadžba nema nula koeficijenata.

U ešalonskom sustavu rješavamo „odozdo prema gore“, odnosno krećemo od treće jednadžbe.

Prelazeći na gornju jednadžbu, zamijenit ćemo z = 2.

Na kraju, zamijenimo z = 2 i y = 1 u prvoj jednadžbi, kako bismo dobili x.

Riješenje

x = 5, y = 1, z = 2

Pitanje 3 (Cramerovo pravilo ili metoda)

Riješite sljedeći sustav linearnih jednadžbi:

Vidi Odgovor

Odgovor: x = 4, y = 0.

Koristeći Cramerovo pravilo.

Korak 1: odrediti determinante D, Dx i Dy.

Matrica koeficijenata je:

Njegova odrednica:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

Za izračun Dx, zamijenimo stupac članova od x sa stupcem nezavisnih članova.

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

Za izračun Dy, zamjenjujemo članove y nezavisnim članovima.

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

korak 2: odredite x i y.

Da odredimo x, radimo:

Da odredimo y, radimo:

pitanje 4

Prodavač majica kratkih rukava i kapa na sportskom događaju prodao je 3 majice kratkih rukava i 2 kape, skupivši ukupno 220,00 R$. Sljedećeg dana prodao je 2 majice i 3 kape, skupivši 190,00 R$. Kolika bi bila cijena majice i kape?

a) Majica: 60,00 BRL | Kapa: 40,00 BRL

b) Majica: 40,00 BRL | Kapa: 60,00 BRL

c) Majica: 56,00 BRL | Kapa: 26,00 BRL

d) Majica: 50,00 BRL | Kapa: 70,00 BRL

e) Majica kratkih rukava: 80,00 BRL | Kapa: 30,00 BRL

potvrditi odgovor

Odgovor objašnjen

Označimo cijenu majica c i cijenu kapa b.

Za prvi dan imamo:

3c + 2b = 220

Za drugi dan imamo:

2c + 3b = 190

Formiramo dvije jednadžbe sa po dvije nepoznanice, c i b. Dakle, imamo sustav 2x2 linearnih jednadžbi.

Rezolucija

Korištenje Cramerovog pravila:

1. korak: determinanta matrice koeficijenata.

2. korak: determinanta Dc.

Zamijenimo stupac c matricom nezavisnih članova.

3. korak: determinanta Db.

4. korak: odredite vrijednost c i b.

Odgovor:

Cijena majice je 56,00 R$, a kape 26,00 R$.

pitanje 5

Kino naplaćuje 10,00 R$ po ulaznici za odrasle i 6,00 R$ po ulaznici za djecu. U jednom danu prodano je 80 ulaznica, a ukupna kolekcija iznosila je 700,00 R$. Koliko je ulaznica svake vrste prodano?

a) Odrasli: 75 | Djeca: 25

b) Odrasli: 40 | Djeca: 40

c) Odrasli: 65 | Djeca: 25

d) Odrasli: 30 | Djeca: 50

e) Odrasli: 25 | Djeca: 75

potvrditi odgovor

Odgovor objašnjen

Nazvat ćemo ga kao The cijena ulaznice za odrasle i w za djecu.

U odnosu na ukupan broj ulaznica imamo:

a + c = 80

S obzirom na dobivenu vrijednost imamo:

10a + 6c = 700

Formiramo sustav linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe i dvije nepoznanice, odnosno sustav 2x2.

Rezolucija

Koristit ćemo se metodom zamjene.

Izoliranje a u prvoj jednadžbi:

a = 80 - c

Zamjenom a u drugu jednadžbu:

10.(80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

Zamjenom c u drugu jednadžbu:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6y + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

pitanje 6

Trgovina prodaje majice, kratke hlače i cipele. Prvog dana prodane su 2 majice kratkih rukava, 3 kratke hlače i 4 para cipela u ukupnoj vrijednosti od 350,00 R$. Drugog dana prodane su 3 majice kratkih rukava, 2 kratke hlače i 1 par cipela u ukupnoj vrijednosti od 200,00 R$. Trećeg dana prodana je 1 majica kratkih rukava, 4 kratke hlače i 2 para cipela, u ukupnoj vrijednosti od 320,00 R$. Koliko bi koštala majica, kratke hlače i par cipela?

a) Majica: 56,00 BRL | Bermuda: 24,00 R$ | Cipele: 74,00 BRL

b) Majica: 40,00 BRL | Bermuda: 50,00 R$ | Cipele: 70,00 BRL

c) Majica: 16,00 BRL | Bermuda: 58,00 R$ | Cipele: 36,00 BRL

d) Majica kratkih rukava: 80,00 BRL | Bermuda: 50,00 R$ | Cipele: 40,00 BRL

e) Majica kratkih rukava: 12,00 BRL | Bermuda: 26,00 R$ | Cipele: 56,00 BRL

potvrditi odgovor

Odgovor objašnjen

• c je cijena košulja;
• b je cijena kratkih hlača;
• s je cijena cipela.

Za prvi dan:

2c + 3b + 4s = 350

Za drugi dan:

3c + 2b + s = 200

Za treći dan:

c + 4b + 2s = 320

Imamo tri jednadžbe i tri nepoznanice, koje tvore 3x3 sustav linearnih jednadžbi.

Koristeći Cramerovo pravilo.

Matrica koeficijenata je

Njegova determinanta je D = 25.

Matrica stupaca odgovora je:

Za izračun Dc, zamijenimo stupac matrice odgovora s prvim stupcem u matrici koeficijenata.

dc = 400

Za izračun Db:

Db = 1450

Za izračun Ds:

Ds = 900

Da bismo odredili c, b i s, podijelimo determinante Dc, Db i Ds s glavnom determinantom D.

pitanje 7

Restoran nudi tri opcije jela: meso, salatu i pizzu. Prvog dana prodano je 40 mesnih jela, 30 jela sa salatama i 10 pizza u ukupnoj vrijednosti od 700,00 R$. Drugog dana prodano je 20 mesnih jela, 40 jela sa salatama i 30 pizza, u ukupnoj prodaji od 600,00 R$. Trećeg dana prodano je 10 mesnih jela, 20 jela sa salatama i 40 pizza, u ukupnoj prodaji od 500,00 R$. Koliko bi koštalo svako jelo?

a) meso: 200,00 BRL | salata: 15,00 R$ | pizza: BRL 10,00

b) meso: 150,00 R$ | salata: 10,00 R$ | pizza: 60,00 BRL

c) meso: 100,00 BRL | salata: 15,00 R$ | pizza: 70,00 BRL

d) meso: 200,00 BRL | salata: 10,00 R$ | pizza: BRL 15,00

e) meso: 140,00 BRL | salata: 20,00 R$ | pizza: 80,00 BRL

potvrditi odgovor

Odgovor objašnjen

pomoću:

• c za meso;
• s za salatu;
• p za pizzu.

Prvog dana:

U drugom danu:

Trećeg dana:

Cijenu svakog jela možete dobiti rješavanjem sustava:

Rezolucija

Korištenje metode eliminacije.

Pomnožite 20c + 40s + 30p = 6000 s 2.

Oduzmite drugu dobivenu matričnu jednadžbu od prve.

U gornjoj matrici ovu jednadžbu zamjenjujemo drugom.

Gornju treću jednadžbu množimo s 4.

Oduzimajući treću od prve jednadžbe, dobivamo:

Zamjenom dobivene jednadžbe trećom.

Oduzimajući jednadžbe dva i tri, imamo:

Iz treće jednadžbe dobivamo p = 80.

Zamjenom p u drugu jednadžbu:

50s + 50,80 = 5000

50-ih + 4000 = 5000

50-ih = 1000

s = 1000/50 = 20

Zamjenom vrijednosti s i p u prvoj jednadžbi:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

Riješenje

p=80, s=20 i c=140

pitanje 8

(UEMG) U planu, sustav predstavlja par linija

a) podudarni.

b) različite i paralelne.

c) paralelni pravci u točki ( 1, -4/3 )

d) istodobne linije u točki ( 5/3, -16/9 )

potvrditi odgovor

Odgovor objašnjen

Množenje prve jednadžbe s dva i zbrajanje dviju jednadžbi:

Zamjenom x u jednadžbi A:

pitanje 9

(PUC-MINAS) Određeni laboratorij poslao je 108 narudžbi ljekarnama A, B i C. Poznato je da je broj narudžbi poslanih u ljekarnu B dvostruko veći od ukupnog broja narudžbi poslanih u druge dvije ljekarne. Osim toga, tri narudžbe koje su više od polovice količine poslane u ljekarnu A poslane su u ljekarnu C.

Na temelju ovih podataka TOČNO je navesti da je ukupan broj narudžbi poslanih ljekarnama B i C bio

a) 36

b) 54

c) 86

d) 94

potvrditi odgovor

Odgovor objašnjen

Prema izjavi imamo:

A + B + C = 108.

Također, da je količina B bila dvostruko veća od A + C.

B = 2 (A + C)

U ljekarnu C otpremljene su tri narudžbe, au ljekarnu A otpremljeno je više od polovice količine.

C = A/2 + 3

Imamo jednadžbe i tri nepoznanice.

Korištenje metode zamjene.

Korak 1: zamijenite treći s drugim.

Korak 2: Dobiveni rezultat i treću jednadžbu zamijenite prvom.

Korak 3: Zamijenite vrijednost A da odredite vrijednosti B i C.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

Za C:

Korak 4: dodajte vrijednosti B i C.

72 + 14 = 86

pitanje 10

(UFRGS 2019) Tako da sustav linearnih jednadžbi moguće i određeno, potrebno je i dovoljno da

a) a ∈ R.

b) a = 2.

c) a = 1.

d) a ≠ 1.

c) a ≠ 2.

potvrditi odgovor

Odgovor objašnjen

Jedan od načina da se sustav klasificira kao moguć i odredi je Cramerova metoda.

Uvjet za to je da su determinante različite od nule.

Postavljanje determinante D glavne matrice na nulu:

Da biste saznali više o linearnim sustavima:

• Linearni sustavi: što su, vrste i kako ih riješiti
• Sustavi jednadžbi
• Skaliranje linearnih sustava
• Cramerovo pravilo

Za više vježbi:

• Sustavi jednadžbi 1. stupnja

Kako citirati?

ASTH, Rafael. Vježbe na riješenim linearnim sustavima.Sve je bitno, [n.d.]. Dostupno u: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Pristup na:

Vidi također

• Linearni sustavi
• Skaliranje linearnih sustava
• Sustavi jednadžbi
• 11 vježbi množenja matrica
• Jednadžba drugog stupnja
• Vježbe nejednakosti
• 27 Vježbe iz osnovne matematike
• Cramerovo pravilo