THE transponirana matrica matrice M je matrica Mt. radi se o zapovjedništvo koje ćemo dobiti kada prepisujemo matricu M mijenjajući položaj redaka i stupaca, pretvarajući prvi red M u prvi stupac Mt, drugi red M u drugom stupcu Mt, i tako dalje.
Ako matrica M ima m linije i Ne stupci, njegova transponirana matrica, tj. Mt, imat će Ne linije i m stupaca. Postoje specifična svojstva za transponiranu matricu.
Pročitajte i vi: Što je trokutasta matrica?
Kako se dobiva transponirana matrica?
S obzirom na matricu Amxn, znamo kao matricu premještenu iz A u matricu Atn x m. Da biste pronašli transponiranu matricu, samo promijenite položaj redaka i stupaca matrice A. Što god da je prvi red matrice A, bit će prvi stupac transponirane matrice At, drugi red matrice A bit će drugi stupac matrice At, i tako dalje.
Algebarski neka je M = (mi J)mxn , transponirana matrica M je Mt = (mji) n x m.
Primjer:
Pronađite matricu premještenu iz matrice:
![](/f/50c6cb1797d6f34c79226360ef759c56.jpg)
Matrica M je matrica 3x5, pa će njezino transponiranje biti 5x3. Da bismo pronašli transponiranu matricu, napravit ćemo prvi red matrice M prvi stupac matrice Mt.
![](/f/bf7cd5b3cce3aced16bccbae8a242575.jpg)
Drugi red matrice M bit će drugi stupac transponirane matrice:
![](/f/ba2aebdd05a8d8fa0bd38475c2ff581c.jpg)
Konačno, treći red matrice M postat će treći stupac matrice M.t:
![](/f/3bbef9ecf58fd87e06eedd78b977cc14.jpg)
simetrična matrica
Na temelju koncepta transponirane matrice moguće je definirati što je simetrična matrica. Matrica je poznata kao simetrična kada je jednak vašoj transponiranoj matrici, odnosno s obzirom na matricu M, M = Mt.
Da bi se to dogodilo, matrica mora biti kvadratna, što znači da da bi matrica bila simetrična, broj redaka mora biti jednak broju stupaca.
Primjer:
![](/f/11ffb598946abf6222874676c18f4024.jpg)
Kad analiziramo pojmovi iznad glavne dijagonale i pojmovi ispod glavne dijagonale matrice S, moguće je vidjeti da postoje pojmovi koji isti su, što ga čini simetričnim upravo zbog simetrije matrice u odnosu na glavnu dijagonalu.
![](/f/6a3f7a117b124c9f6e96e9c49c685b5b.jpg)
Ako pronađemo transpoziciju matrice S, moguće je vidjeti da je St jednak je S.
![](/f/4dc5505d6e9226a7becf2ed32b0e030b.jpg)
Kako je S = St, ova matrica je simetrična.
Pogledajte i: Kako riješiti linearne sustave?
Svojstva transponirane matrice
![Svojstva transponirane matrice](/f/9ba99a133603658f99e8b339ac143dcd.jpg)
1. svojstvo: transpozicija transponirane matrice jednaka je samoj matrici:
(Mt)t = M
2. svojstvo: transpozicija zbroja između matrica jednaka je zbroju transponiranja svake od matrica:
(M + N)t = Mt + Nt
3. svojstvo: transpozicija množenje između dvije matrice jednako je množenju transponiranja svake od matrica:
(M · N)t = Mt · Nt
4. svojstvo: O determinanta matrice jednak je odrednici transponirane matrice:
det (M) = det (Mt)
5. svojstvo: transpozicija matrice puta konstanta jednaka je transpoziciji matrice puta konstante:
(kA)t = kAt
Inverzna matrica
Koncept inverzne matrice prilično se razlikuje od koncepta transponirane matrice i važno je naglasiti razliku između njih. Inverzna matrica matrice M je matrica M-1, gdje je umnožak između M i M matrica-1 jednak je matrici identiteta.
Primjer:
![](/f/adfb7cc3c86df385daebb42634a3b43e.jpg)
Da biste saznali više o ovoj vrsti matrice, pročitajte naš tekst: Inverzna matrica.
suprotna matrica
Budući da je još jedan slučaj posebne matrice, matrica suprotna matrici M je matrica -M. Znamo kao suprotnu matricu M = (mi J) matrica -M = (-mi J). Suprotna matrica sastavljena je od suprotnih pojmova matrice M.
![](/f/0b4c51fe7fc9842a3b78df9f4ed91de8.jpg)
Riješene vježbe
Pitanje 1 - (Cesgranrio) Razmotrimo matrice:
![](/f/12b930686c717aa68e18ecc7ff4a4ed8.jpg)
Označavamo s At transponirana matrica A. Matrica (AtA) - (B + Bt) é:
![](/f/482ed736a955d684297c56bfb2190cab.jpg)
Razlučivost
Alternativa C
Prvo ćemo pronaći matricu At i matrica Bt:
![](/f/bdd36b748d41c3eb98588298c0d1e1ea.jpg)
Dakle, moramo:
![](/f/a776dd3aefabd9155c94e25ab01ead36.jpg)
Sada izračunavamo B + Bt:
![](/f/3e9cbeda41521bf4ec9480b2c724ae72.jpg)
Na kraju ćemo izračunati razliku između A · At i B + Bt:
![](/f/7b1bbb59d7c61ee96cbc851cc5e40c2e.jpg)
Pitanje 2 - (Cotec - adaptirano) Dane matrice A i B množenje A · Bt, dobivamo:
![](/f/605971bd321f6d488e0242393d535c4c.jpg)
![](/f/80c462787744d88bc9f59735b7d3f6da.jpg)
Razlučivost
Alternativa C
Prvo ćemo pronaći transponiranu matricu B:
![](/f/d79d93617802e659cb74049bef9089df.jpg)
Umnožak između matrica A i Bt to je isto kao:
![](/f/aee3505d22bd9d0662dea0dcab9cdfa8.jpg)
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-transposta.htm