O standardna devijacija je mjera disperzije, kao što su varijanca i koeficijent varijacije. Prilikom određivanja standardne devijacije, možemo uspostaviti raspon oko aritmetičke sredine (dijeljenje između zbroja brojeva u popisu i broja zbrojenih brojeva) gdje je koncentrirana većina podataka. Što je veća vrijednost standardne devijacije, veća je varijabilnost podataka, odnosno veće je odstupanje od aritmetičke sredine.
Pročitajte također: Mod, srednja vrijednost i medijan — glavne mjere središnjih tendencija
Sažetak standardne devijacije
- Standardna devijacija je mjera varijabilnosti.
- Oznaka standardne devijacije je malo grčko slovo sigma (σ) ili slovo s.
- Standardna devijacija koristi se za provjeru varijabilnosti podataka oko srednje vrijednosti.
- Standardna devijacija određuje raspon \(\lijevo[\mu-\sigma,\mu+\sigma\desno]\), gdje se nalazi većina podataka.
- Da bismo izračunali standardnu devijaciju, moramo pronaći kvadratni korijen varijance:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\lijevo (x_i-\mu\desno)^2}{N}}\)
Što je standardna devijacija?
Standardna devijacija je a mjera disperzije usvojena u statistici. Njegova uporaba povezana je s tumačenje varijance, što je također mjera disperzije.
U praksi, standardna devijacija određuje interval, usredotočen na aritmetičku sredinu, u kojem je koncentrirana većina podataka. Dakle, što je veća vrijednost standardne devijacije, to je veća nepravilnost podataka (više informacija heterogen), a što je manja vrijednost standardne devijacije, to je manja nepravilnost podataka (više informacija homogeni).
Kako izračunati standardnu devijaciju?
Da biste izračunali standardnu devijaciju skupa podataka, moramo pronaći kvadratni korijen varijance. Dakle, formula za izračunavanje standardne devijacije je
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\lijevo (x_i-\mu\desno)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ltočke, x_N\) → uključeni podaci.
- μ → aritmetička sredina podataka.
- N → količina podataka.
- \( \sum_{i=1}^{N}\lijevo (x_i-\mu\desno)^2\ =\ \lijevo (x_1-\mu\desno)^2+\lijevo (x_2-\mu\desno )^2+\lijevo (x_3-\mu\desno)^2+...+\lijevo (x_N-\mu\desno)^2 \)
Posljednja stavka, koja se odnosi na brojnik radikanda, označava zbroj kvadrata razlike između svake podatkovne točke i aritmetičke sredine. Imajte na umu da jedinica mjere za standardnu devijaciju je ista jedinica mjere kao i podaci x1,x2,x3,…,xNe.
Iako je pisanje ove formule malo složenije, njezina je primjena jednostavnija i izravnija. Dolje je primjer kako koristiti ovaj izraz za izračunavanje standardne devijacije.
- Primjer:
Tijekom dva tjedna u gradu su zabilježene sljedeće temperature:
Tjedan/Dan |
nedjelja |
Drugi |
Treći |
Četvrta |
Peti |
petak |
subota |
tjedan 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
tjedan 2 |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
U kojem je od dva tjedna temperatura ostala ujednačenija u ovom gradu?
rezolucija:
Da bismo analizirali pravilnost temperature, moramo usporediti standardne devijacije temperatura zabilježenih u 1. i 2. tjednu.
- Pogledajmo prvo standardnu devijaciju za 1. tjedan:
Imajte na umu da je prosjek μ1 to je Ne1 oni su
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\približno 29,57\)
\(N_1=7 \) (7 dana u tjednu)
Također, moramo izračunati kvadrat razlike između svake temperature i prosječne temperature.
\(\lijevo (29-29,57\desno)^2=0,3249\)
\(\lijevo (30-29,57\desno)^2=0,1849\)
\(\lijevo (31-29,57\desno)^2=2,0449\)
\(\lijevo (31,5-29,57\desno)^2=3,7249\)
\(\lijevo (28-29,57\desno)^2=2,4649\)
\(\lijevo (28,5-29,57\desno)^2=1,1449\)
\(\lijevo (29-29,57\desno)^2=0,3249\)
Zbrajajući rezultate, imamo da je brojnik radikanda u formuli standardne devijacije
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Dakle, standardna devijacija prvog tjedna je
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\lijevo (x_i-\mu_1\desno)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \približno 1,208\ °C\)
Napomena: Ovaj rezultat znači da je većina temperatura prvog tjedna u intervalu [28,36 °C, 30,77 °C], odnosno intervalu \(\lijevo[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\desno]\).
- Sada pogledajmo standardnu devijaciju 2. tjedna:
Slijedeći isto razmišljanje, imamo
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\lijevo (28,5-28,5\desno)^2=0\)
\(\lijevo (27-28,5\desno)^2=2,25\)
\(\lijevo (28-28,5\desno)^2=0,25\)
\(\lijevo (29-28,5\desno)^2=0,25\)
\(\lijevo (30-28,5\desno)^2=2,25\)
\(\lijevo (28-28,5\desno)^2=0,25\)
\(\lijevo (29-28,5\desno)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Dakle, standardna devijacija 2. tjedna je
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\lijevo (x_i-\mu_1\desno)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \približno 0,89\ °C\)
Ovaj rezultat znači da je većina temperatura 2. tjedna u rasponu \(\lijevo[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\desno]\), odnosno raspon \(\lijevo[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\desno]\).
shvatiti \(\sigma_2, odnosno standardna devijacija 2. tjedna manja je od standardne devijacije 1. tjedna. Stoga je 2. tjedan pokazao pravilnije temperature nego 1. tjedan.
Koje su vrste standardne devijacije?
Vrste standardne devijacije povezane su s vrstom organizacije podataka. U prethodnom smo primjeru radili sa standardnom devijacijom negrupiranih podataka. Da biste izračunali standardnu devijaciju skupa inače organiziranih podataka (na primjer, grupiranih podataka), trebali biste prilagoditi formulu.
Koje su razlike između standardne devijacije i varijance?
standardna devijacija je kvadratni korijen varijance:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\lijevo (x_i-\mu\desno)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\lijevo (x_i-\mu\desno)^2}{N}\)
Kada se koristi varijanca za određivanje varijabilnosti skupa podataka, rezultat ima jedinicu podataka na kvadrat, što otežava njegovu analizu. Stoga je standardna devijacija, koja ima istu jedinicu kao i podaci, mogući alat za tumačenje rezultata varijance.
Znati više:Apsolutna učestalost — koliko se puta isti odgovor pojavio tijekom prikupljanja podataka
Riješene vježbe o standardnoj devijaciji
Pitanje 1
(FGV) U razredu od 10 učenika, ocjene učenika u ocjenjivanju bile su:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Standardna devijacija ovog popisa je približno
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
rezolucija:
Alternativa C.
Prema izjavi, N = 10. Prosjek ove liste je
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Nadalje,
\(\lijevo (6-8\desno)^2=4\)
\(\lijevo (7-8\desno)^2=1\)
\(\lijevo (8-8\desno)^2=0\)
\(\lijevo (9-8\desno)^2=1\)
\(\lijevo (10-8\desno)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Dakle, standardna devijacija ovog popisa je
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\lijevo (x_i-8\desno)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\približno 1,1\)
pitanje 2
Razmotrite donje izjave i ocijenite svaku s T (točno) ili F (netočno).
ja Kvadratni korijen varijance je standardna devijacija.
II. Standardna devijacija nema veze s aritmetičkom sredinom.
III. Varijanca i standardna devijacija primjeri su mjera disperzije.
Točan redoslijed, od vrha prema dolje, je
A) V-V-F
B) Ž-Ž-V
C) F-V-F
D) P-P-P
E) V-F-V
rezolucija:
E alternativa.
ja Kvadratni korijen varijance je standardna devijacija. (pravi)
II. Standardna devijacija nema veze s aritmetičkom sredinom. (lažno)
Standardna devijacija označava interval oko aritmetičke sredine u koji spada većina podataka.
III. Varijanca i standardna devijacija primjeri su mjera disperzije. (pravi)
Autorica Maria Luiza Alves Rizzo
Učitelj matematike
Izvor: Brazilska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm
