Područje, raspon i raspon su numerički skupovi povezani matematičkim funkcijama. Ove transformiraju vrijednosti kroz svoje zakone formiranja i prenose ih iz izlaznog skupa, domene, do skupa dolaska, raspona.
Iz skupa domene dolaze vrijednosti koje će biti transformirane formulom funkcije, odnosno zakonom formiranja. Nakon toga, ove vrijednosti stižu do kodomene.
Podskup koji čine elementi koji pristižu u kodomenu naziva se skup slika.
Na taj način, domena, raspon i raspon su neprazni skupovi i mogu biti konačni ili beskonačni.
U proučavanju funkcija potrebno je navesti koji elementi ili koji je opseg tih skupova. Na primjer: skup prirodnih brojeva ili skup realnih brojeva.
S obzirom na domenu A u kojoj se svaki element x koji mu pripada funkcijom transformira u element y koji pripada rasponu B, svaki element y naziva se slika x.
Za označavanje domene i raspona funkcije koristi se oznaka:
(čitamo f od A do B)
Ovi zakoni transformacije su izrazi koji uključuju operacije i numeričke vrijednosti.
Primjer
Funkcija f: A→B definirana formacijskim zakonom f(x) = 2x, gdje je njezina domena skup A={1, 2, 3} i raspon B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, može se predstaviti vrijednostima u tablici i dijagrami:
|
Domena x |
f(x) = 2x |
Slika i |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Organiziranje rezultata tablice u dijagrame:
Domena
Domena D funkcije f je izlazni skup, sastavljen od elemenata x primijenjenih na funkciju.
Geometrijski, u kartezijskoj ravnini, elementi domene tvore x-os apscise.
u notaciji domena je predstavljena slovom ispred strelice.
Svaki element x u domeni ima barem jednu sliku y u kodomeni.
kodomena
CD domena je skup dolaska. u notaciji je predstavljen na desnoj strani strelice.
Slika
Slika Im je podskup raspona, formiran od elemenata y koji napuštaju funkciju i dolaze u raspon, koji može imati isti broj elemenata ili manji broj.
Na taj je način skup slika funkcije f sadržan u kodomeni.
Geometrijski, u kartezijskoj ravnini elementi skupa slika tvore y-os ordinata.
Uobičajeno je reći da je y vrijednost koju pretpostavlja funkcija f(x) i na taj način pišemo:
Moguće je da je isti element y slika više od jednog elementa x u domeni.
Primjer
u funkciji definirano zakonom
, za simetrične x-vrijednosti domene, imamo jednu y-sliku.
nauči više o funkcije.
Vježbe domene, sudomene i slike
Vježba 1
S obzirom na skupove A = {8, 12, 13, 20, 23} i B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, odredite: domenu, raspon i raspon funkcije.
a) f: A → B definiran s f (x) = 2x + 1
b) f: A → B definirano sa f (x) = 3x - 14
a) f: A → B definiran s f (x) = 2x + 1
Domena A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domena B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Slika Im (f) ={17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | ja (f) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2,8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2,23+1 | 47 |
b) f: A → B definirano sa f (x) = 3x - 14
Domena A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domena B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Slika Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | ja (f) |
|---|---|---|
8 |
f (8)=3,8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3,12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3,13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20)=3,20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3,23 - 14 | 55 |
Vježba 2
Odredite domenu funkcija definiranih:
Domena je skup mogućih vrijednosti koje x može poprimiti.
a) Znamo da nije moguće imati dijeljenje s nulom 0, pa nazivnik mora biti različit od nule.
Čitamo: x pripada realnim vrijednostima tako da je x različit od 2.
b) Ne postoji kvadratni korijen negativnog broja. Stoga radikal mora biti veći ili jednak nuli.
Čitamo: x pripada realnim vrijednostima tako da je x veći ili jednak 5.
Vježba 3
Zadana funkcija s domenom u skupu cijelih brojeva koji je skup slika za f(x)?
Skup Z cijelih brojeva prihvaća i negativne i pozitivne brojeve gdje su dva uzastopna broja udaljena 1 jedinicu.
Na taj način funkcija prihvaća pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, budući da je x na kvadrat, svaka vrijednost, čak i negativna, vratit će pozitivnu vrijednost.
Primjer
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
Tako će na slici biti samo prirodni brojevi.
Možda će vas zanimati:
- funkcija ubrizgavanja
- Surjektivna funkcija
- Bijekcijska funkcija
- Inverzna funkcija
- Kompozitna funkcija
Prijave i zanimljivosti
Funkcije imaju primjenu u proučavanju bilo koje pojave u kojoj jedan parametar ovisi o drugom. Kao, na primjer, brzina komada namještaja tijekom vremena, učinci lijeka s karakteristikama kiselosti u želucu, temperatura kotla s količinom goriva.
Funkcije su prisutne u stvarnim pojavama i stoga imaju primjenu u svim znanstvenim i inženjerskim studijama.
Proučavanje funkcija nije novije vrijeme, neki zapisi u antici u babilonskim tablicama pokazuju da su one već bile dio matematike. Tijekom godina, zapis, način na koji su napisani, dobivao je doprinose od nekoliko matematičara i poboljšavao, sve dok ih ne koristimo danas.
