Proporcija je jednakost između razloga. Dva omjera su proporcionalna kada je rezultat dijeljenja brojnika i nazivnika prvog omjera jednak rezultatu dijeljenja drugog.
Gdje w, w, w i d oni su brojevi različiti od nule i tim redoslijedom čine proporciju.
Čitamo dio na sljedeće načine:
- The je za B iz istog razloga kao ç je za d;
- The je za B kao ç je za d;
- The i B su proporcionalni ç i d.
U proporciji:
Primjer
Jednakost je istinita jer je 4 / 2 = 2, kao i 12 / 6 = 2.
Svojstva proporcija
Svojstva su matematički alati koji olakšavaju rješavanje problema. Koristeći svojstva proporcija, možemo stvoriti druge proporcije, korisnije za rješavanje problema.
Temeljno svojstvo proporcija
Umnožak sredstava jednak je umnošku krajnosti.
Sljedeća jednakost između razloga je proporcija,
Dakle, istina je da:
Uobičajeno je ovo svojstvo zvati unakrsno množenje. Ovo svojstvo se koristi u postupku koji se naziva pravilo tri.
Primjer
Ostala svojstva
Neka svojstva nemaju posebna imena, iako su važna u izračunima.
Svojstvo 1
Zbrajanje (ili oduzimanje) nazivnika brojnicima njihovih omjera ne mijenja omjer.
budući da je točna proporcija
Dakle, vrijedi:
U prvom omjeru zbrajamo ili oduzimamo nazivnik b, a u drugom omjeru zbrajamo ili oduzimamo nazivnik d.
Primjer
Dakle, vrijedi:
Svojstvo 2
Zbrajanje (ili oduzimanje) brojnika i nazivnika drugog omjera onima iz prvog jednako je prvom ili drugom omjeru.
Ako je omjer točan:
Dakle, vrijedi:
Primjer
Ako je omjer točan:
Dakle, vrijedi:
Vježbe
Vježba 1
Karta predstavlja mjerilo 1:3500 (1 do 3500) centimetara. Na karti je izvršeno mjerenje od 8 centimetara. Ovo mjerenje na karti predstavlja koliko realnih centimetara?
Skala se može napisati kao razlog .
Iz tog razloga brojnik predstavlja centimetre na karti, dok nazivnik predstavlja stvarne centimetre.
Tim redoslijedom možemo napisati razlog za nepoznatu vrijednost.
Centimetri izmjereni na karti nalaze se u brojniku, dok su stvarni centimetri, koje želimo odrediti, u nazivniku.
Zapisivanjem omjera između ova dva razloga imamo:
Za određivanje nepoznate vrijednosti koristimo se temeljnim svojstvom proporcija: umnožak ekstrema jednak je umnošku srednje vrijednosti.
Stoga je 8 cm na karti ekvivalentno 28 000 cm stvarnih.
Vježba 2
Catarina će napraviti tortu za svoju obitelj i za to je osmislila recept koji propisuje sljedeće količine:
4 jaja;
2 šalice šećera;
300 grama pšeničnog brašna.
Kako ona ima 7 jaja i želi ih koristiti odjednom, povećavajući količinu jaja u receptu, potrebno je proporcionalno povećati količine ostalih sastojaka. Stoga, koliko ostalih sastojaka treba koristiti u svojoj pripremi?
Odredimo nove proporcionalne količine svakog sastojka.
Šećer
U originalnom receptu, na svaka 4 jaja koriste se 2 šalice šećera.
U novom pripravku Catarina će koristiti 7 jaja i, iako još uvijek ne znamo broj šalica šećera, za sada ćemo ga zvati x.
Kako ti omjeri moraju biti proporcionalni, uskladit ćemo ih.
Za određivanje vrijednosti x koristimo temeljno svojstvo proporcija, koje kaže da je umnožak ekstrema jednak umnošku srednje vrijednosti.
Izoliranje x na lijevoj strani jednakosti:
Tako će Catarina u novom pripravku upotrijebiti tri i pol šalice šećera.
Slijedeći isto razmišljanje o količini pšenice, imamo:
Stoga će Catarina u novoj pripremi svoje torte morati upotrijebiti 525 grama pšeničnog brašna.
Saznajte više od:
Omjer i Proporcija
Vježbe u razumu i proporcijama
Proporcionalnost
proporcionalne količine
