Ravno područje figure predstavlja opseg produžetka figure u ravnini. Kao ravne figure možemo među ostalim spomenuti trokut, pravokutnik, romb, trapez, krug.
Upotrijebite pitanja u nastavku da biste provjerili svoje znanje o ovom važnom predmetu geometrije.
Riješena pitanja natječaja
Pitanje 1
(Cefet / MG - 2016) Kvadratna površina mjesta mora se podijeliti na četiri jednaka dijela, također kvadratna, i, u jednom od njih mora se održavati izvorni šumski rezervat (izleženo područje), kao što je prikazano na slici a slijediti.
Znajući da je B srednja točka segmenta AE, a C srednja točka segmenta EF, šrafirano područje, u m2, daj mi
a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.
Ispravna alternativa: c) 1562.5.
Promatrajući sliku, primjećujemo da šrafirano područje odgovara površini kvadrata sa stranicom 50 m minus površinu trokuta BEC i CFD.
Mjera stranice BE, trokuta BEC, jednaka je 25 m, budući da točka B dijeli stranicu na dva sukladna segmenta (srednja točka segmenta).
Isto se događa sa stranama EC i CF, odnosno njihova su mjerenja također jednaka 25 m, budući da je točka C srednja točka segmenta EF.
Dakle, možemo izračunati površinu trokuta BEC i CFD. S obzirom na dvije stranice poznate kao baza, druga strana jednaka će visini, jer su trokuti pravokutnici.
Izračunavajući površinu kvadrata i trokuta BEC i CFD, imamo:
Stoga se šrafirano područje, u m2, mjere 1562,5.
pitanje 2
(Cefet / RJ - 2017) Kvadrat sa x stranicom i jednakostranični trokut s y stranom imaju područja iste mjere. Stoga se može reći da je omjer x / y jednak:
Ispravna alternativa: .
Podaci navedeni u problemu su da su područja ista, to jest:
Područje trokuta pronalazi se množenjem osnovnog mjerenja mjerenjem visine i dijeljenjem rezultata s 2. Budući da je trokut jednakostraničan i stranica jednaka y, vrijednost njegove visine dana je:
Stoga se može reći da je omjer x / y jednak .
pitanje 3
(IFSP - 2016) Javni trg u obliku kruga ima radijus od 18 metara. U svjetlu gore navedenog, označite alternativu koja predstavlja vaše područje.
a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1.698,44 m2
e) 1.710,34 m2
Ispravna alternativa: a) 1 017, 36 m2.
Da bismo pronašli površinu kvadrata, moramo koristiti formulu za površinu kruga:
A = π.R2
Zamjenjujući vrijednost radijusa i uzimajući u obzir π = 3,14, nalazimo:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36 m2
Stoga je kvadratna površina 1 017, 36 m2.
pitanje 4
(MSFI - 2016) Pravokutnik ima x i y dimenzije, koje se izražavaju x jednadžbama2 = 12 i (y - 1)2 = 3.
Opseg i površina ovog pravokutnika jesu
a) 6√3 + 2 i 2 + 6√3
b) 6√3 i 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 i 12
d) 6 i 2√3
e) 6√3 + 2 i 2√3 + 6
Ispravna alternativa: e) 6√3 + 2 i 2√3 + 6.
Prvo riješimo jednadžbe kako bismo pronašli vrijednosti x i y:
x2= 12 ⇒ x = √12 = √4,3 = 2√3
(g - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Opseg pravokutnika bit će jednak zbroju svih stranica:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Da biste pronašli područje, samo pomnožite x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Stoga su opseg i površina pravokutnika 6√3 + 2, odnosno 2√3 + 6.
5. pitanje
(Apprentice Sailor - 2016.) Analizirajte sljedeću sliku:
Znajući da je EP radijus središnjeg polukruga u E, kao što je prikazano na gornjoj slici, odredite vrijednost najtamnijeg područja i provjerite ispravnu opciju. Podaci: broj π = 3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Točna alternativa: b) 12 cm2.
Najtamnije područje dobivamo dodavanjem površine polukružnice površini trokuta ABD. Počnimo s izračunavanjem površine trokuta, za to imajte na umu da je trokut pravokutnik.
Nazovimo AD stranicu x i izračunajmo njezinu mjeru koristeći Pitagorin teorem, kako je navedeno u nastavku:
52= x2 + 32
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Poznavajući mjeru AD strane, možemo izračunati površinu trokuta:
Još trebamo izračunati površinu polukružnice. Imajte na umu da će mu radijus biti jednak polovici mjerenja na AD strani, pa je r = 2 cm. Područje polukružnice bit će jednako:
Najtamnije područje naći će se tako što ćete učiniti: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Stoga je vrijednost najtamnijeg područja 12 cm2.
pitanje 6
(Enem - 2016.) Čovjek, otac dvoje djece, želi kupiti dvije parcele, s površinama iste mjere, po jednu za svako dijete. Jedno od posjećenih zemljišta već je razgraničeno i, premda nema uobičajeni format (kao što je prikazano na slici B), obradovalo je najstarijeg sina i stoga je kupljeno. Najmlađi sin ima arhitektonski projekt za kuću koju želi sagraditi, ali za to mu treba terena pravokutnog oblika (kao što je prikazano na slici A) čija je duljina 7 m duža od širina.
Da bi zadovoljio najmlađeg sina, ovaj gospodin treba pronaći pravokutni komad zemlje čije su mjere u metrima, duljini i širini jednake
a) 7,5 i 14,5
b) 9,0 i 16,0
c) 9.3 i 16.3
d) 10,0 i 17,0
e) 13,5 i 20,5
Ispravna alternativa: b) 9.0 i 16.0.
Budući da je površina slike A jednaka površini slike B, izračunajmo prvo ovu površinu. Za ovo podijelimo sliku B, kao što je prikazano dolje:
Imajte na umu da prilikom dijeljenja figure imamo dva pravokutna trokuta. Stoga će površina slike B biti jednaka zbroju površina tih trokuta. Izračunavajući ta područja imamo:
Budući da je slika A pravokutnik, njezino se područje pronalazi na način da:
THETHE = x. (x + 7) = x2 + 7x
Izjednačavajući površinu slike A s vrijednosti pronađenom za površinu slike B, nalazimo:
x2 + 7x = 144
x2 + 7x - 144 = 0
Riješimo jednadžbu 2. stupnja pomoću Bhaskarine formule:
Kako mjera ne može biti negativna, uzmimo samo u obzir vrijednost jednaku 9. Prema tome, širina zemljišta na slici A bit će jednaka 9 m, a duljina jednaka 16 m (9 + 7).
Stoga mjere duljine i širine moraju biti jednake 9,0 odnosno 16,0.
pitanje 7
(Enem - 2015.) Tvrtka za mobitele ima dvije antene koje će zamijeniti nova, moćnija. Područja pokrivanja antena koje će se zamijeniti su krugovi polumjera 2 km, čiji su opsezi tangenti na točku O, kao što je prikazano na slici.
Točka O označava položaj nove antene, a njezino područje pokrivanja bit će krug čiji će opseg izvana tangirati opsege manjih područja pokrivanja. Ugradnjom nove antene prošireno je mjerenje površine pokrivanja, u četvornim kilometrima
a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π
Ispravna alternativa: a) 8 π.
Uvećanje mjerenja područja pokrivanja naći će se smanjenjem površina manjih krugova većeg kruga (misleći na novu antenu).
Kako opseg novog područja pokrivanja izvana dodiruje manje opsege, njegov polumjer bit će jednak 4 km, kao što je prikazano na donjoj slici:
Izračunajmo površine A1 i2 manjih krugova i površina A3 iz većeg kruga:
THE1 = A2 = 22. π = 4 π
THE3 = 42.π = 16 π
Mjerenje povećane površine naći će se na način da:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Stoga je instalacijom nove antene mjera površine pokrivanja, u četvornim kilometrima, povećana za 8 π.
pitanje 8
(Enem - 2015) Dijagram I prikazuje konfiguraciju košarkaškog igrališta. Sivi trapezoidi, nazvani karboji, odgovaraju ograničenim područjima.
Težeći ispunjavanju smjernica Središnjeg odbora Međunarodne košarkaške federacije (Fiba) iz 2010. godine, koje su objedinile oznake različitih legura, predviđena je izmjena u karbonskim pločama, koje će postati pravokutnici, kao što je prikazano u shemi II.
Nakon provedbe planiranih promjena, došlo je do promjene na površini koju zauzima svaki ugljik, što odgovara a (a)
a) porast od 5800 cm2.
b) 75 400 cm porasta2.
c) porast od 214 600 cm2.
d) smanjenje od 63 800 cm2.
e) smanjenje od 272 600 cm2.
Točna alternativa: a) povećanje od 5800 cm².
Da bismo saznali koja je promjena bila na okupiranom području, izračunajmo površinu prije i nakon promjene.
U izračunu sheme I koristit ćemo formulu za područje trapeza. U dijagramu II koristit ćemo formulu za površinu pravokutnika.
Promjena površine tada će biti:
A = AII - AJa
A = 284 200 - 278 400 = 5800 cm2
Stoga je, nakon izvršenih planiranih preinaka, došlo do promjene površine koju zauzima svaki ugljik, što odgovara povećanju od 5800 cm².
Predložene vježbe (s rezolucijom)
pitanje 9
Ana je u svojoj kući odlučila izgraditi pravokutni bazen dimenzija 8 m, visina 5 m. Svuda oko njega, u obliku trapeza, bio je ispunjen travom.
Znajući da je visina trapeza 11 m, a osnove 20 m i 14 m, kolika je površina dijela koji je bio ispunjen travom?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Točna alternativa: c) 147 m2.
Kako je pravokutnik, koji predstavlja bazen, umetnut unutar veće figure, trapeza, započnimo s izračunavanjem površine vanjske figure.
Površina trapeza izračunava se pomoću formule:
Gdje,
B je mjera najveće baze;
b je mjera najmanje baze;
h je visina.
Zamjenom podataka izvoda u formulu imamo:
Sad, izračunajmo površinu pravokutnika. Za to samo trebamo pomnožiti bazu s visinom.
Da bismo pronašli površinu prekrivenu travom, moramo od površine trapeza oduzeti prostor koji zauzima bazen.
Stoga je površina ispunjena travom iznosila 147 m2.
Vidi i ti: Područje trapeza
pitanje 10
Kako bi obnovio krov svog skladišta, Carlos je odlučio kupiti kolonijalne pločice. Korištenjem ove vrste krova potrebno je 20 komada za svaki kvadratni metar krova.
Ako krov mjesta čine dvije pravokutne ploče, kao na gornjoj slici, koliko pločica treba kupiti Carlos?
a) 12000 pločica
b) 16000 pločica
c) 18000 pločica
d) 9600 pločica
Točna alternativa: b) 16000 pločica.
Krov skladišta izrađen je od dvije pravokutne ploče. Stoga moramo izračunati površinu pravokutnika i pomnožiti s 2.
Stoga je ukupna površina krova 800 m.2. Ako svaki četvorni metar treba 20 pločica, pomoću jednostavnog pravila od tri izračunavamo koliko pločica ispunjava krov svakog skladišta.
Stoga će biti potrebno kupiti 16 tisuća pločica.
Vidi i ti: Područje pravokutnika
pitanje 11
Marcia bi željela da dvije identične drvene vaze ukrase ulaz u njezinu kuću. Budući da je mogla kupiti samo jednog od svojih najdražih, odlučila je angažirati majstora ormara da napravi drugu vazu istih dimenzija. Vaza mora imati četiri stranice u jednakokrakom trapezoidnom obliku, a osnova je kvadrat.
Ne uzimajući u obzir debljinu drveta, koliko će četvornih metara drveta biti potrebno za reprodukciju komada?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Točna alternativa: d) 0,3121 m2.
Jednakokraki trapez je tip koji ima jednake stranice i osnove različitih veličina. Iz slike imamo slijedeća mjerenja trapeza sa svake strane posude:
Manja baza (b): 19 cm;
Veća baza (B): 27 cm;
Visina (h): 30 cm.
S vrijednostima u ruci izračunavamo površinu trapeza:
Kako posudu čine četiri trapeza, pronađenu površinu moramo pomnožiti s četiri.
Sada moramo izračunati bazu vaze, koju čini kvadrat od 19 cm.
Zbrajanjem izračunatih površina dolazimo do ukupne površine drva za izgradnju.
Međutim, područje treba predstaviti u kvadratnim metrima.
Stoga je, ne uzimajući u obzir debljinu drva, bilo potrebno 0,3121 m2 materijala za proizvodnju vaze.
Vidi i ti: Kvadratna površina
pitanje 12
Kako bi se olakšao izračun broja ljudi koji sudjeluju u javnim događanjima, općenito se smatra da jedan četvorni metar zauzimaju četiri osobe.
Kako bi proslavila godišnjicu grada, gradska vlada unajmila je bend koji će svirati na trgu smještenom u središtu grada, koji ima površinu od 4000 m2. Znajući da je trg prepun, otprilike koliko je ljudi prisustvovalo događaju?
a) 16 tisuća ljudi.
b) 32 tisuće ljudi.
c) 12 tisuća ljudi.
d) 40 tisuća ljudi.
Točna alternativa: a) 16 tisuća ljudi.
Kvadrat ima četiri jednake stranice i površina mu se izračunava po formuli: A = L x L.
ako za 1 m2 zauzimaju ga četiri osobe, pa nam četverostruka ukupna površina trga daje procjenu ljudi koji su prisustvovali događaju.
Tako je 16 tisuća ljudi sudjelovalo u događaju koji je promovirala gradska vijećnica.
Da biste saznali više, pogledajte također:
- Ravne figure područja
- Geometrijski oblici
- Pitagorin teorem - vježbe
