Nejednakost je matematička rečenica koja ima barem jednu nepoznatu vrijednost (nepoznata) i predstavlja nejednakost.
U nejednakostima koristimo simbole:
- > veće od
- ≥ veće ili jednako
- ≤ manje ili jednako
Primjeri
a) 3x - 5> 62
b) 10 + 2x ≤ 20
Nejednakost prvog stupnja
Nejednakost je 1. stupnja kada je najveći eksponent nepoznatog jednak 1. Mogu imati sljedeće oblike:
- sjekira + b> 0
- sjekira + b
- ax + b ≥ 0
- ax + b ≤ 0
Biće The i B realni brojevi i The ≠ 0
Rješavanje nejednakosti prvog stupnja.
Da bismo riješili takvu nejednakost, to možemo učiniti na isti način kao u jednadžbama.
Međutim, moramo biti oprezni kada nepoznato postane negativno.
U tom slučaju moramo pomnožiti s (-1) i obrnuti simbol nejednakosti.
Primjeri
a) Riješi nejednakost 3x + 19
Da bismo riješili nejednakost, moramo izolirati x, prelazeći 19 i 3 na drugu stranu nejednakosti.
Sjećajući se da prilikom promjene strane moramo promijeniti operaciju. Dakle, 19 koji je zbrajao prolazit će smanjivanjem, a 3 koji su se množili prolazit će dijeljenjem.
3xxx
b) Kako riješiti nejednakost 15 - 7x ≥ 2x - 30?
Kada na obje strane nejednakosti postoje algebarski pojmovi (x), moramo ih spojiti na istoj strani.
Čineći to, brojevima koji mijenjaju stranu mijenja se znak.
15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30 -15
- 9x ≥ - 45
Pomnožimo sada cijelu nejednakost sa (-1). Da bismo to učinili, mijenjamo znak svih pojmova:
9x ≤ 45 (imajte na umu da simbol ≥ pretvaramo u ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5
Stoga je rješenje ove nejednakosti x ≤ 5.
Razlučivanje pomoću grafa nejednakosti
Drugi je način rješavanja nejednakosti grafički prikaz na kartezijanskoj ravni.
Na grafikonu proučavamo znak nejednakosti utvrđujući koje vrijednosti x pretvoriti nejednakost u istinitu rečenicu.
Da bismo riješili nejednakost pomoću ove metode, moramo slijediti korake:
1.) Stavite sve izraze nejednakosti na istu stranu.
2º) Zamijenite znak nejednakosti znakom jednakosti.
3.) Riješi jednadžbu, odnosno pronađi njezin korijen.
4.) Proučite znak jednadžbe, identificirajući vrijednosti x koji predstavljaju rješenje nejednakosti.
Primjer
Riješi nejednakost 3x + 19
Prvo napišimo nejednakost sa svim članovima s jedne strane nejednakosti:
3x + 19 - 40 3x - 21
Ovaj izraz ukazuje da su rješenje nejednakosti vrijednosti x koje čine nejednakost negativnom (
Pronađite korijen jednadžbe 3x - 21 = 0
x = 21/3
x = 7 (korijen jednadžbe)
Predstavite u kartezijanskoj ravnini parove točaka pronađene prilikom zamjene vrijednosti u x u jednadžbi. Grafik ove vrste jednadžbe je a ravno.
Utvrdili smo da vrijednosti
Nejednakost drugog stupnja
Nejednakost je 2. stupnja kada je najveći eksponent nepoznatog jednak 2. Mogu imati sljedeće oblike:
- sjekira2 + bx + c> 0
- sjekira2 + bx + c
- sjekira2 + bx + c ≥ 0
- sjekira2 + bx + c ≤ 0
Biće The, B i ç realni brojevi i The ≠ 0
Ovu vrstu nejednakosti možemo riješiti pomoću grafikona koji predstavlja jednadžbu 2. stupnja za proučavanje znaka, baš kao što smo to učinili za nejednakost 1. stupnja.
Sjećajući se da će u ovom slučaju grafika biti prispodoba.
Primjer
Riješiti nejednakost x2 - 4x - 4
Da bi se riješila nejednakost drugog stupnja, potrebno je pronaći vrijednosti čiji je izraz na lijevoj strani znaka
Prvo identificirajte koeficijente:
a = 1
b = - 1
c = - 6
Koristimo Bhaskara formula (Δ = b2 - 4ac) i zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata:
Δ = (- 1)2 - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
Nastavljajući s Bhaskarinom formulom, ponovno smo zamijenili vrijednostima naših koeficijenata:
x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2
x1 = (1 + 5)/ 2
x1 = 6 / 2
x1 = 3
x2 = (1 - 5) / 2
x1 = - 4 / 2
x1 = - 2
Korijeni jednadžbe su -2 i 3. kao Thejednadžbe 2. stupnja pozitivan, njegov će graf imati udubljenost okrenutu prema gore.
Iz grafikona uočavamo da su vrijednosti koje udovoljavaju nejednakosti: - 2
Rješenje možemo naznačiti pomoću sljedeće oznake:
Pročitajte i vi:
- Jednadžba prvog stupnja
- Jednadžba drugog stupnja
- Sustavi jednadžbi
Vježbe
1. (FUVEST 2008) Prema liječničkoj preporuci, osoba mora, tijekom kratkog razdoblja, slijediti prehranu koja jamči dnevni minimum 7 miligrama vitamina A i 60 mikrograma vitamina D, hraneći se isključivo posebnim jogurtom i mješavinom žitarica smještenih u paketi.
Svaka litra jogurta osigurava 1 miligram vitamina A i 20 mikrograma vitamina D. Svaki paket žitarica osigurava 3 miligrama vitamina A i 15 mikrograma vitamina D.
Dnevno konzumirajući x litre jogurta i y paketiće žitarica, osoba će sigurno slijediti dijetu ako:
a) x + 3y ≥ 7 i 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 i 20x + 15y ≤ 60
c) x + 20y ≥ 7 i 3x + 15y ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 i 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15y ≥ 7 i 3x + 20y ≥ 60
Alternativa: x + 3y ≥ 7 i 20x + 15y ≥ 60
2. (UFC 2002) Grad opslužuju dvije telefonske kompanije. Tvrtka X naplaćuje mjesečnu pretplatu u iznosu od R $ 35, plus R $ 0.50 po utrošenoj minuti. Tvrtka Y mjesečno naplaćuje pretplatu od 26,00 R $ plus 0,50 R $ po minuti. Nakon koliko minuta upotrebe plan tvrtke X bit će korisniji za kupce od plana tvrtke Y?
26 + 0,65 m> 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m> 35 - 26
0,15 m> 9
m> 9 / 0,15
m> 60
Od 60 minuta nadalje, plan tvrtke X je povoljniji.
