Nejednakost 1. i 2. stupnja: kako riješiti i vježbe

Nejednakost je matematička rečenica koja ima barem jednu nepoznatu vrijednost (nepoznata) i predstavlja nejednakost.

U nejednakostima koristimo simbole:

• > veće od
• ≥ veće ili jednako
• ≤ manje ili jednako

Primjeri

a) 3x - 5> 62
b) 10 + 2x ≤ 20

Nejednakost prvog stupnja

Nejednakost je 1. stupnja kada je najveći eksponent nepoznatog jednak 1. Mogu imati sljedeće oblike:

• sjekira + b> 0
• sjekira + b
• ax + b ≥ 0
• ax + b ≤ 0

Biće The i B realni brojevi i The ≠ 0

Rješavanje nejednakosti prvog stupnja.

Da bismo riješili takvu nejednakost, to možemo učiniti na isti način kao u jednadžbama.

Međutim, moramo biti oprezni kada nepoznato postane negativno.

U tom slučaju moramo pomnožiti s (-1) i obrnuti simbol nejednakosti.

Primjeri

a) Riješi nejednakost 3x + 19

Da bismo riješili nejednakost, moramo izolirati x, prelazeći 19 i 3 na drugu stranu nejednakosti.

Sjećajući se da prilikom promjene strane moramo promijeniti operaciju. Dakle, 19 koji je zbrajao prolazit će smanjivanjem, a 3 koji su se množili prolazit će dijeljenjem.

3xxx

b) Kako riješiti nejednakost 15 - 7x ≥ 2x - 30?

Kada na obje strane nejednakosti postoje algebarski pojmovi (x), moramo ih spojiti na istoj strani.
Čineći to, brojevima koji mijenjaju stranu mijenja se znak.

15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30 -15
- 9x ≥ - 45

Pomnožimo sada cijelu nejednakost sa (-1). Da bismo to učinili, mijenjamo znak svih pojmova:

9x ≤ 45 (imajte na umu da simbol ≥ pretvaramo u ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5

Stoga je rješenje ove nejednakosti x ≤ 5.

Razlučivanje pomoću grafa nejednakosti

Drugi je način rješavanja nejednakosti grafički prikaz na kartezijanskoj ravni.

Na grafikonu proučavamo znak nejednakosti utvrđujući koje vrijednosti x pretvoriti nejednakost u istinitu rečenicu.

Da bismo riješili nejednakost pomoću ove metode, moramo slijediti korake:

1.) Stavite sve izraze nejednakosti na istu stranu.
2º) Zamijenite znak nejednakosti znakom jednakosti.
3.) Riješi jednadžbu, odnosno pronađi njezin korijen.
4.) Proučite znak jednadžbe, identificirajući vrijednosti x koji predstavljaju rješenje nejednakosti.

Primjer

Riješi nejednakost 3x + 19

Prvo napišimo nejednakost sa svim članovima s jedne strane nejednakosti:

3x + 19 - 40 3x - 21

Ovaj izraz ukazuje da su rješenje nejednakosti vrijednosti x koje čine nejednakost negativnom (

Pronađite korijen jednadžbe 3x - 21 = 0

x = 21/3
x = 7 (korijen jednadžbe)

Predstavite u kartezijanskoj ravnini parove točaka pronađene prilikom zamjene vrijednosti u x u jednadžbi. Grafik ove vrste jednadžbe je a ravno.

Utvrdili smo da vrijednosti

Nejednakost drugog stupnja

Nejednakost je 2. stupnja kada je najveći eksponent nepoznatog jednak 2. Mogu imati sljedeće oblike:

• sjekira² + bx + c> 0
• sjekira² + bx + c
• sjekira² + bx + c ≥ 0
• sjekira² + bx + c ≤ 0

Biće The, B i ç realni brojevi i The ≠ 0

Ovu vrstu nejednakosti možemo riješiti pomoću grafikona koji predstavlja jednadžbu 2. stupnja za proučavanje znaka, baš kao što smo to učinili za nejednakost 1. stupnja.

Sjećajući se da će u ovom slučaju grafika biti prispodoba.

Primjer

Riješiti nejednakost x² - 4x - 4

Da bi se riješila nejednakost drugog stupnja, potrebno je pronaći vrijednosti čiji je izraz na lijevoj strani znaka

Prvo identificirajte koeficijente:

a = 1
b = - 1
c = - 6

Koristimo Bhaskara formula (Δ = b² - 4ac) i zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata:

Δ = (- 1)² - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

Nastavljajući s Bhaskarinom formulom, ponovno smo zamijenili vrijednostima naših koeficijenata:

x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2

x₁ = (1 + 5)/ 2
x₁ = 6 / 2
x₁ = 3

x₂ = (1 - 5) / 2
x₁ = - 4 / 2
x₁ = - 2

Korijeni jednadžbe su -2 i 3. kao Thejednadžbe 2. stupnja pozitivan, njegov će graf imati udubljenost okrenutu prema gore.

Iz grafikona uočavamo da su vrijednosti koje udovoljavaju nejednakosti: - 2

Rješenje možemo naznačiti pomoću sljedeće oznake:

Pročitajte i vi:

• Jednadžba prvog stupnja
• Jednadžba drugog stupnja
• Sustavi jednadžbi

Vježbe

1. (FUVEST 2008) Prema liječničkoj preporuci, osoba mora, tijekom kratkog razdoblja, slijediti prehranu koja jamči dnevni minimum 7 miligrama vitamina A i 60 mikrograma vitamina D, hraneći se isključivo posebnim jogurtom i mješavinom žitarica smještenih u paketi.

Svaka litra jogurta osigurava 1 miligram vitamina A i 20 mikrograma vitamina D. Svaki paket žitarica osigurava 3 miligrama vitamina A i 15 mikrograma vitamina D.

Dnevno konzumirajući x litre jogurta i y paketiće žitarica, osoba će sigurno slijediti dijetu ako:

a) x + 3y ≥ 7 i 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 i 20x + 15y ≤ 60
c) x + 20y ≥ 7 i 3x + 15y ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 i 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15y ≥ 7 i 3x + 20y ≥ 60

Pogledajte Odgovor

Alternativa: x + 3y ≥ 7 i 20x + 15y ≥ 60

2. (UFC 2002) Grad opslužuju dvije telefonske kompanije. Tvrtka X naplaćuje mjesečnu pretplatu u iznosu od R $ 35, plus R $ 0.50 po utrošenoj minuti. Tvrtka Y mjesečno naplaćuje pretplatu od 26,00 R $ plus 0,50 R $ po minuti. Nakon koliko minuta upotrebe plan tvrtke X bit će korisniji za kupce od plana tvrtke Y?

Pogledajte Odgovor

26 + 0,65 m> 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m> 35 - 26
0,15 m> 9
m> 9 / 0,15
m> 60

Od 60 minuta nadalje, plan tvrtke X je povoljniji.