Temeljni princip brojanja, koji se naziva i multiplikativni princip, koristi se za pronalaženje broja mogućnosti za događaj koji se sastoji od n faza. Za to koraci moraju biti uzastopni i neovisni.
Ako prva faza događaja ima x mogućnosti, a druga se sastoji od y mogućnosti, tada postoje x. i mogućnosti.
Stoga je temeljno načelo brojanja množenje zadanih mogućnosti za određivanje ukupnih mogućnosti.
Ovaj je koncept važan za kombinatornu analizu, područje matematike koje okuplja metode za rješavanje problema koji uključuju brojanje i stoga je vrlo korisno u istraživanju mogućnosti utvrđivanja vjerojatnosti pojave.
Primjer 1
João odsjeda u hotelu i namjerava posjetiti povijesno središte grada. Od hotela postoje 3 linije podzemne željeznice koje vas vode do trgovačkog centra i 4 autobusa koji putuju od trgovačkog centra do povijesne jezgre.
Na koliko načina João može napustiti hotel i doći do povijesne jezgre kroz tržni centar?
Riješenje: Dijagram stabla ili stablo mogućnosti korisno je za analizu strukture problema i vizualizaciju broja kombinacija.
Primijetite kako je provjera kombinacija izvršena pomoću dijagram stabla.
Ako postoje 3 mogućnosti da napustite hotel i dođete do trgovačkog centra, a od trgovačkog centra do povijesne jezgre imamo 4 mogućnosti, tada je ukupan broj mogućnosti 12.
Drugi način rješavanja primjera bio bi temeljno načelo brojanja, čineći množenje mogućnosti, odnosno 3 x 4 = 12.
Primjer 2
Restoran na svom jelovniku ima 2 vrste predjela, 3 vrste glavnih jela i 2 vrste slastica. Koliko jelovnika možete sastaviti za jelo s predjelom, glavnim jelom i desertom?
Riješenje: Upotrijebit ćemo drvo mogućnosti za razumijevanje postavljanja jelovnika s predjelo (E), glavnim jelom (P) i desertom (S).
Prema temeljnom principu brojanja imamo: 2 x 3 x 2 = 12. Stoga bi se moglo formirati 12 jelovnika s predjelo, glavnim jelom i desertom.
riješene vježbe
Pitanje 1
Ana se organizirala na putovanje i u kofer je spakirala 3 hlače, 4 bluze i 2 cipele. Koliko kombinacija Ana može stvoriti s parom hlača, bluzom i cipelom?
a) 12 kombinacija
b) 32 kombinacije
c) 24 kombinacije
d) 16 kombinacija
Točna alternativa: c) 24 kombinacije.
Imajte na umu da za svaku od 4 bluze Ana ima 3 opcije hlača i 2 opcije cipela.
Dakle, 4 x 3 x 2 = 24 mogućnosti.
Tako Ana s komadima kofera može stvoriti 24 kombinacije. Provjerite rezultate pomoću stabla mogućnosti.
pitanje 2
Učitelj je razradio test s 5 pitanja, a učenici su na njega morali odgovoriti označavajući tačno (T) ili netačno (F) za svako od pitanja. Na koliko se različitih načina moglo odgovoriti na test?
a) 25
b) 40
c) 24
d) 32
Točna alternativa: d) 32 moguća odgovora.
U nizu od pet pitanja postoje dvije različite mogućnosti odgovora.
Koristeći temeljni princip brojanja, imamo:
2.2.2.2.2 = 32 moguća odgovora za test.
pitanje 3
Na koliko se načina može oblikovati troznamenkasti broj pomoću 0, 1, 2, 3, 4 i 5?
a) 200
b) 150
c) 250
d) 100
Ispravna alternativa: d) 100.
Formirani broj mora sadržavati 3 znamenke kako bi se popunio položaj stotine, deset i jedan.
Na prvo mjesto ne možemo staviti broj 0, jer bi to bilo isto kao da imamo broj s 2 znamenke. Dakle, za stotku imamo 5 znamenkastih opcija (1, 2, 3, 4, 5).
Za drugu poziciju ne možemo ponoviti broj koji je upotrijebljen za stotinu, ali možemo upotrijebiti nulu, tako da u desetici imamo i 5 znamenkastih opcija.
Kako smo dobili 6 znamenki (0, 1, 2, 3, 4 i 5), a dvije koje su prethodno korištene ne mogu se ponoviti, tako da za jedinicu imamo 4-znamenkaste opcije.
Dakle 5 x 5 x 4 = 100. Imamo 100 načina za pisanje troznamenkastog broja pomoću 0, 1, 2, 3, 4 i 5.
Steknite više znanja sljedećim tekstovima:
- Kombinacijska analiza
- Permutacija
- Vjerojatnost
- Vježbe kombinirane analize
- Vježbe vjerojatnosti
