Sličnost trokuta: Komentirane i riješene vježbe

THE sličnost trokuta koristi se za pronalaženje nepoznate mjere jednog trokuta poznavanjem mjera drugog trokuta.

Kad su dva trokuta slična, mjerenja njihovih odgovarajućih stranica proporcionalna su. Taj se odnos koristi za rješavanje mnogih geometrijskih problema.

Dakle, iskoristite komentirane i riješene vježbe kako biste riješili sve svoje sumnje.

Riješena pitanja

1) Mornarski šegrt - 2017

Pogledajte donju sliku

Zgrada baca 30 m dugu sjenu na tlo istog trenutka kada šesto stopalo baca sjenu od 2,0 m. Može se reći da visina zgrade vrijedi

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Pogledajte Odgovor

Možemo smatrati da zgrada, projicirana sjena i sunčeva zraka čine trokut. Isto tako, imamo i trokut koji čine osoba, njegova sjena i sunčeva zraka.

Uzimajući u obzir da su sunčeve zrake paralelne i da je kut između zgrade i tla i osobe tlo je jednako 90º, trokuti, naznačeni na donjoj slici, slični su (dva kuta jednako).

Budući da su trokuti slični, možemo napisati sljedeći omjer:

Alternativa: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

Na slici pravokutnik ABCD ima stranice duljine AB = 4 i BC = 2. Neka je M sredina stranice a N središnja točka stranice . Segmenti presresti segment u točkama E odnosno F.

Područje trokuta AEF jednako je

Pogledajte Odgovor

Područje trokuta AEF možemo pronaći smanjenjem površine trokuta ABE s područja trokuta AFB, kao što je prikazano dolje:

Počnimo s pronalaženjem područja AFB trokuta. Za to moramo saznati visinsku vrijednost ovog trokuta, jer je poznata osnovna vrijednost (AB = 4).

Imajte na umu da su trokuti AFB i CFN slični po tome što imaju dva jednaka kuta (slučaj AA), kao što je prikazano na donjoj slici:

Nacrtajmo visinu H₁, u odnosu na stranicu AB, u trokutu AFB. Kako je mjera stranice CB jednaka 2, možemo smatrati da je relativna visina stranice NC u trokutu FNC jednaka 2 - H₁.

Tada možemo napisati sljedeći omjer:

Znajući visinu trokuta, možemo izračunati njegovu površinu:

Da biste pronašli površinu trokuta ABE, također ćete trebati izračunati njegovu visinsku vrijednost. Za to ćemo se poslužiti činjenicom da su ABM i AOE trokuti, naznačeni na donjoj slici, slični.

Uz to, trokut OEB pravokutni je trokut, a druga su dva kuta jednaka (45 °), pa je jednakokračni trokut. Dakle, dva kraka ovog trokuta vrijede H₂, kao slika ispod:

Dakle, stranica AO trokuta AOE jednaka je 4 - H_2. Na temelju ovih podataka možemo naznačiti sljedeći omjer:

Znajući vrijednost visine, sada možemo izračunati površinu trokuta ABE:

Dakle, površina trokuta AFE bit će jednaka:

Alternativa: d)

3) Cefet / MG - 2015

Sljedeća ilustracija predstavlja pravokutni bilijar, širine i duljine jednake 1,5, odnosno 2,0 m. Igrač mora baciti bijelu kuglu iz točke B i udariti crnu kuglu u točki P, bez da je prvo pogodio bilo koju drugu. Kako je žuta u točki A, ovaj će igrač baciti bijelu kuglu u točku L, tako da može odskočiti i sudariti se s crnom.

Ako su kut upadnog puta lopte sa strane stola i kut odskoka jednaki, kao što je prikazano na slici, tada je udaljenost od P do Q, u cm, približno

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Pogledajte Odgovor

Trokuti, označeni crvenom bojom na donjoj slici, slični su jer imaju dva jednaka kuta (kut jednak α i kut jednak 90º).

Stoga možemo napisati sljedeći omjer:

Alternativa: a) 67

4) Vojno učilište / RJ - 2015

U trokutu ABC točke D i E pripadaju stranama AB i AC i takve su da DE / / BC. Ako je F točka AB takva da su EF / / CD i mjere AF i FD e 4, odnosno 6, mjerenje segmenta DB je:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Pogledajte Odgovor

Možemo predstaviti trokut ABC, kao što je prikazano dolje:

Budući da je segment DE paralelan s BC, tada su trokuti ADE i ABC slični po tome što su im kutovi sukladni.

Tada možemo napisati sljedeći omjer:

Trokuti FED i DBC također su slični, jer su segmenti FE i DC paralelni. Dakle, slijedi i sljedeći omjer:

Izolirajući y u ovom omjeru, imamo:

Zamjena vrijednosti y u prvoj jednakosti:

Alternativa: a) 15

5) Epcar - 2016

Zemljište u obliku pravokutnog trokuta podijelit će se na dvije cjeline ogradom napravljenom na simetrali hipotenuze, kao što je prikazano na slici.

Poznato je da stranice AB i BC ovog terena mjere 80 m odnosno 100 m. Dakle, omjer između opsega lota I i opsega lota II, tim redoslijedom, je

Pogledajte Odgovor

Da bismo saznali omjer između opsega, moramo znati vrijednost svih strana slike I i slike II.

Imajte na umu da simetrala hipotenuze dijeli BC stranu na dva podudarna segmenta, pa CM i MB segmenti mjere 50 m.

Budući da je trokut ABC pravokutnik, možemo izračunati stranicu AC koristeći Pitagorin teorem. Međutim, imajte na umu da je ovaj trokut pitagorejski trokut.

Dakle, hipotenuza jednaka 100 (5. 20) i jedna dvije noge jednake 80 (4,20), tada druga noga može biti jednaka samo 60 (3,20).

Također smo utvrdili da su trokuti ABC i MBP slični (slučaj AA), jer imaju zajednički kut, a drugi jednak 90 °.

Dakle, da bismo pronašli vrijednost x možemo napisati sljedeći omjer:

Vrijednost z može se naći s obzirom na udio:

Vrijednost y također možemo pronaći radeći:

Sad kad znamo sve stranice, možemo izračunati opsege.

Opseg slike I:

Opseg slike II:

Stoga će omjer opsega biti jednak:

Alternativa: d)

6) Enem - 2013

Vlasnik farme želi staviti potpornu šipku kako bi bolje osigurao dva stupa duljine jednake 6 m i 4 m. Slika prikazuje stvarno stanje u kojem su stupovi opisani segmentima AC i BD te šipkom predstavljen je segmentom EF, okomitim na tlo, što je označeno ravnim dijelom AB. Segmenti AD i BC predstavljaju čelične kablove koji će se instalirati.

Kolika bi trebala biti vrijednost duljine štapa EF?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Pogledajte Odgovor

Da bismo riješili problem, nazovimo visinu stabljike kao z i mjerenja AF i FB segmenata x i g, odnosno kako je prikazano u nastavku:

Trokut ADB sličan je trokutu AEF jer oba imaju kut jednak 90 ° i zajednički kut, pa su slični u slučaju AA.

Stoga možemo napisati sljedeći omjer:

Množenjem "u križu" dobivamo jednakost:

6x = h (x + y) (I)

S druge strane, trokuti ACB i FEB također će biti slični, iz istih gore navedenih razloga. Tako imamo omjer:

Rješavanje na isti način:

4y = h (x + y) (II)

Imajte na umu da jednadžbe (I) i (II) imaju isti izraz nakon znaka jednakosti, pa možemo reći da:

6x = 4g

Zamjena vrijednosti x u drugoj jednadžbi:

Alternativa: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

Na slici je trokut ABC pravokutni sa stranicama BC = 3 i AB = 4. Uz to, točka D pripada ključnoj kosti. , točka E koja pripada ključnoj kosti a točka F pripada hipotenuzi , takav da je DECF paralelogram. ako , pa vrijedi područje DECF paralelograma

Pogledajte Odgovor

Područje paralelograma nalazi se množenjem osnovne vrijednosti visinom. Nazovimo h visinom i x osnovnom mjerom, kao što je prikazano dolje:

Budući da je DECF paralelogram, njegove su stranice paralelne dvije po dvije. Na taj su način stranice AC i DE paralelne. Dakle kutovi isti su.

Tada možemo utvrditi da su trokuti ABC i DBE slični (slučaj AA). Također imamo da je hipotenuza trokuta ABC jednaka 5 (trokut 3,4 i 5).

Na taj način napišimo sljedeći omjer:

Da bismo pronašli mjeru x baze, razmotrit ćemo sljedeći omjer:

Izračunavajući paralelogramsku površinu, imamo:

Alternativa: a)