Permutacije su dio problema brojanja. Koristimo permutacije da bismo znali broj redova elemenata u skupu. Uvježbajte svoje znanje o permutaciji i riješite nedoumice uz riješene vježbe.
Vježba 1
Dva su se prijatelja igrala šesterostranim kockicama. Poznato je da su izašli brojevi 4, 1, 2 i 5, ne nužno tim redom. Koliko je nizova rezultata moglo biti?
Odgovor: 24
Neki redoslijed rezultata mogao bi biti:
1, 2, 4 i 5 ili
5, 4, 5 i 1 ili
4, 5, 1 i 2
Kako bismo odredili ukupan broj mogućih poredaka, izračunavamo permutaciju s četiri različita elementa.
Vježba 2
Grupa od šest prijatelja otišla je gledati film u kino i kupila karte za isti red sjedala. Uzimajući u obzir da postoji par i da su sjedili na susjednim stolcima, na koliko bi načina ti prijatelji mogli stati u red stolica?
Odgovor: 240
Kako su svi elementi skupa "prijatelja" uzeti u obzir u izračunu, to je problem permutacije.
Kako bismo izračunali ukupan mogući broj permutacija, uzeli smo u obzir 5 elemenata, jer par uvijek mora biti zajedno.
Nadalje, od ovih 120 mogućnosti, moramo pomnožiti s dva, jer par može međusobno zamijeniti mjesta.
Dakle, broj mogućih načina na koje se prijatelji mogu organizirati u nizu stolica je:
120. 2 = 240
Vježba 3
Razred od 7 učenika igra se u dvorištu koristeći vrijeme odmora. Nakon što čuju signal koji obavještava povratak u učionice, učenici se kreću u red. Na koliko različitih načina učenici mogu formirati red čekanja?
Odgovor: 5040
Ukupan broj mogućih načina organiziranja reda je permutacija od 7 različitih elemenata.
Vježba 4
Fotograf podešava svoju kameru kako bi fotografirao 5 djece raspoređenih na klupi. U ovoj grupi su 3 djevojčice i 2 dječaka. Mogući raspored djece za fotografiju bi bio:
S obzirom na položaje u kojima djeca mogu sjediti u klupi, na koliko načina fotograf može organizirati dječake i djevojčice, dobivajući različite fotografije?
Odgovor: 10
Ovo je slučaj permutacije s ponovljenim elementima. Ukupan broj permutacija moramo podijeliti s umnoškom između permutacija elemenata koji se ponavljaju.
Vježba 5
Koliko se anagrama može napraviti sa slovima u riječi PREFEITURA?
Odgovor: 907 200
Riječ GRADSKA VIJEĆNICA ima 10 slova od kojih se neka ponavljaju. Slovo E pojavljuje se dva puta, kao i R.
Izračunavamo diobu između permutacija od 10 elemenata i dijelimo s umnoškom permutacija ponovljenih elemenata.
Vježba 6
(UEMG 2019) Iz skupa svih permutacija slova u riječi PONTA jedno se nasumično uklanja. Koja je vjerojatnost uklanjanja riječi koja počinje i završava samoglasnikom?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Korak 1: broj svih permutacija sa slovima riječi PONTA.
Kako postoji pet različitih slova, imamo:
Korak 2: broj permutacija koje počinju i završavaju samoglasnikom.
Za prvo slovo postoje dvije opcije samoglasnika, za posljednje slovo bit će samo 1.
Za suglasnike ima 3! mogućnosti.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
3. korak: odrediti omjer vjerojatnosti.
Vježba 7
(EsPCex 2012) Vjerojatnost dobivanja broja djeljivog s 2 pri nasumičnom odabiru jedne od permutacija znamenki 1, 2, 3, 4, 5 je
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Korak 1: ukupne permutacije.
Kako postoji pet različitih elemenata, imamo da je broj permutacija od 5 elemenata jednak 5 faktorijelu.
Korak 2: permutacije brojeva djeljivih s dva s pet znamenki.
Da bi bio djeljiv s 2 uvjet je da je paran. Dakle, postoje dvije opcije za posljednju znamenku, 2 i 4.
Za ostale pozicije postoje 4! mogućnosti.
3. korak: izračun vjerojatnosti.
Vježba 8
(EsFCEx 2022) Neka je P skup permutacija niza 1, 3, 6, 9, 12 za koje je prvi član različit od 1. Ako je jedan od ovih nizova nasumično izvučen, vjerojatnost da je drugi član 3 jednaka je p/q, s p, q ∈ IN* i gcd (p, q) = 1. Stoga je q – p jednako
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Korak 1: odredite broj ukupnih mogućih slučajeva u prostoru uzorka.
S desna na lijevo, prvi broj ne može biti jedan, tako da postoje 4 mogućnosti zauzeti prvo mjesto.
Ostala mjesta mogu zauzeti 4! mogućnosti.
Permutacije su:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Korak 2: odredite mogućnosti događanja događaja, drugi su tri, a prvi je različit od jedan.
Permutacije su:
3.1.3.2.1 = 18
Korak 3: omjer vjerojatnosti.
Omjer vjerojatnosti je:
Uz p = 18 i q = 96.
Međutim, još uvijek postoji uvjet da je najveći zajednički djelitelj između p i q 1, što se ne događa kod 18 i 96.
Moramo pojednostaviti i testirati razlomke ekvivalentne 18/96.
Korak 4: pojednostavljenje udjela vjerojatnosti i određivanje p i q.
Kako je gcd (3, 16) = 1, p = 3 i q = 16.
Korak 5: zaključak.
q - p = 16 - 3 = 13
Nauči više o permutacija.
Za više vježbi pogledajte:
Vježbe kombinatorne analize
ASTH, Rafael. Vježbe permutacije riješene i objašnjene.Sve je bitno, [n.d.]. Dostupno u: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Pristup na:
Vidi također
- Kombinatorna analiza
- Vježbe kombinatorne analize
- Permutacija: jednostavna i s ponavljanjem
- Raspored u matematici: što je to, kako izračunati, primjeri
- 27 Vježbe iz osnovne matematike
- Kombinacija u matematici: kako računati i primjeri
- Vježbe vjerojatnosti
- Vjerojatnost
