Poliedri (s latinskog poli - mnogi - i hedron - lice) su figuretrodimenzionalni nastala udruživanjem pravilnih poligona, u kojima su poliedarski kutovi sukladni. Unija ovih poligona tvori elemente koji čine poliedar, oni su: vrhovi, rubovi i lica. Međutim, nije svaka trodimenzionalna figura poliedar, primjer za to su figure koje se nazivaju zakrivljena lica okrugla tijela.
Postoji matematička formula koja povezuje elemente poliedra tzv Eulerova veza. Nadalje, poliedri su podijeljeni u dvije skupine: takozvani poliedri konveksan i nije konveksan. Neki poliedri zaslužuju posebnu pažnju, oni se zovu Platonovi poliedri: tetraedar, heksahedron, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar.
Pročitajte i vi: Razlike između ravnih i prostornih figura
konveksni poliedri
Poliedar će biti konveksan kada ga tvori poligoni konveksan, tako da se prihvaćaju sljedeći uvjeti:
- dva poligona Nikada oni su koplanarni, odnosno ne pripadaju istoj ravnini.
- Svaka strana jednog od ovih poligona pripada samo dvama poligonima.
- Ravnina koja sadrži bilo koji od ovih poligona ostavlja ostale poligone u istom poluprostoru.
Pročitajte i vi:Zbroj unutarnjih i vanjskih kutova konveksnog mnogougla
Elementi konveksnog poliedra
Razmotrimo ovaj konveksni poliedar:
Vas četverokuta na slici su pozvani lica poliedra.
Vas peterokuta su lica i baza poliedra, koja je nazvana peterokutni osnovni poliedar.
Pozvani su segmenti koji tvore svako lice rubovi poliedra.
Pozvane su točke na kojima se rubovi susreću vrhovi.
Pozvat će se segment JC dijagonalno poliedra, označeno sa:
JC je jedna od dijagonala, koliko razumijemo dijagonalno poliedra kao bića segment linije koji spaja dva vrha koja ne pripadaju istom licu.
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Također imamo poliedarski kut, oblikovan između rubova, označen sa:
Poliedarski kut naziva se a trokutasti Kada tri rubovi potječu iz vrha. Isto tako, zove se tetraedar, slučaj četiri rubovi potječu iz vrha i tako dalje.
Od sada ćemo uspostaviti neke oznake, a to su:
Znati više: Planiranje geometrijskih čvrstih tijela
Svojstva konveksnog poliedra
Svojstvo 1
Zbroj bridova svih ploha jednak je dvostrukom broju bridova poliedra.
Primjer
Poliedar ima 6 četvrtastih lica. Odredimo broj bridova.
Prema svojstvu, samo pomnožite broj rubova lica s brojem lica, a to je jednako dvostrukom broju bridova. Tako:
Svojstvo 2
Zbroj vrhova svih lica jednak je zbroju bridova svih lica, što je jednako dvostrukom broju bridova.
Primjer
Poliedar s 5 tetraedarskih i 4 heksaedrijska kuta. Odredimo broj bridova.
Analogno prethodnom primjeru, drugo svojstvo kaže da je zbroj bridova svih ploha jednak dvostrukom broju bridova. Broj bridova dobiven je umnoškom 5 puta 4 i 4 puta 6, jer su to 5 tetraedarskih i 4 heksaedrijska kuta. Tako:
Udubljeni (nekonveksni) poliedri
Poliedar je nekonveksan ili udubljen kada uzmemo dvije točke na različitim licima i na ravni r koji sadrži ove točke nije sve sadržano u poliedru.
Imajte na umu da ravna crta (u plavoj boji) nije cjelovita u poliedru, pa je poliedar (u ružičastoj) konkavan ili nekonveksan.
pravilni poliedri
Kažemo da je poliedar pravilan kada vaša lica su pravilni poligoni međusobno jednaki i s poliedarskim kutovima svejedno.
Pogledajte nekoliko primjera:
Primijetite da su vam sva lica pravilni poligoni. Njegova su lica oblikovana kvadratima, a rubovi su im podudarni, odnosno imaju istu mjeru.
čitatitakođer: Što su pravilni i konveksni poligoni?
Eulerova veza
Također poznat kao Eulerov teorem, rezultat je dokazao Leonhard Euler (1707 - 1783.) i jamči da je u sav zatvoreni konveksni poliedar vrijedi sljedeći odnos:
Platonovi poliedri
Bilo koji poliedar koji ispunjava sljedeće uvjete naziva se Platonov poliedar:
Valjana je Eulerova relacija
Sva lica imaju jednak broj bridova
Svi poliedarski kutovi imaju jednak broj bridova
Dokazano je da postoji samo pet pravilnih i konveksnih poliedra ili Platonovih poliedra, a to su:
pravilni tetraedar
tetraedar ima 4 trokutasta lica podudarni i 4 trokutasta kuta kongruentan.
pravilni heksaedar
heksaedar ima 6 četvrtastih lica podudarni i 8 trokutastih kutova kongruentan.
pravilni oktaedar
oktaedar ima 8 trokutastih lica podudarni i 6 tetraedarskih kutova kongruentan.
pravilni dodekaedar
dodekaedar ima 12 peterokutnih lica podudarni i 20 kutovatrokutasti kongruentan.
pravilni ikosaedar
Ikosaedar ima 20 trokutastih lica podudarni i 12 petougaonih kutova kongruentan.
riješene vježbe
1) (Enem) Dragulj je izrezan u obliku konveksnog poliedra s 32 lica, od kojih je 20 heksaedra, a ostali su peterokutni. Ovaj dragulj bit će dar dami koja slavi rođendan, navršivši doba čiji je broj broj vrhova ovog poliedra. Ova dama dovršava:
a) 90 godina
b) star 72 godine
c) stara 60 godina
d) 56 godina
e) 52 godine
Riješenje:
Daje svojstvo 1 konveksnih poliedra znamo da:
Kako sada znamo broj bridova to je broj lica, možemo se poslužiti Eulerovom relacijom.
Kako je dob koju navršavaš jednaka broju vrhova, tako je ovo 60 godina. Alternativa c.
2) (PUC-SP) Koliko bridova ima konveksni poliedar s trokutastim licima gdje je broj vrhova tri petine broja lica?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Riješenje:
Iz svojstava konveksnog poliedra i izjave o vježbi imamo:
Zamjenjujući ove vrijednosti u Eulerovoj relaciji, imamo sljedeće:
Organiziranjem prethodne jednadžbe i rješavanjem jednadžbe u F slijedi da:
Zamjenjujući vrijednost broja lica pronađenih u jednadžbi bridova, imat ćemo:
Alternativa b
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike
Želite li uputiti ovaj tekst u školskom ili akademskom radu? Izgled:
LUIZ, Robson. "Poliedri"; Brazil škola. Dostupno u: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poliedros.htm. Pristupljeno 27. lipnja 2021.
