Što je kosinusni zakon?

THE kosinusni zakon je trigonometrijska relacija koristi se za povezivanje strana i uglovi na jedan trokut bilo koji, odnosno onaj trokut koji ne mora nužno imati pravi kut. Zabilježite sljedeći trokut ABC s istaknutim mjerama:

THE zakonIzkosinusi može se dati jednim od sljedećih izrazi:

The² = b² + c² - 2 · b · c · cosα

B² = the² + c² - 2 · a · c · cosβ

ç² = b² + the² - 2 · b · a · cosθ

Promatranje: Nije potrebno pamtiti ove tri formule. Samo znajte da zakonIzkosinusi uvijek se može graditi. Primijetimo, u prvom izrazu, da je α kut nasuprot strani čija je mjera dana The. Formulu započinjemo kvadratom na suprotnoj strani kuta koji će se koristiti u izračunima. Bit će jednak zbroju kvadrata druge dvije stranice, umanjenom za dvostruki umnožak dviju stranica koje nisu nasuprot ovom kutu kosinus od α.

Na taj se način tri gornje formule mogu svesti na:

The² = b² + c² - 2 · b · c · cosα

Sve dok znamo da „" je mjerenje na suprotnoj strani "α", a da su "b" i "c" mjere druge dvije strane trokut.

Demonstracija

S obzirom na trokut Bilo koji ABC, s mjerama istaknutim na sljedećoj slici:

Razmotrimo trokute ABD i BCD nastale visinom BD trokuta ABC. Koristiti Pitagorin poučak u ABD-u imat ćemo:

ç² = x² + h²

H² = c² - x²

Koristeći isti teorem za trokut BCD, imat ćemo:

The² = y² + h²

H² = the² - g²

Znajući da postoji² = c² - x², imat ćemo:

ç² - x² = the² - g²

ç² - x² + god² = the²

The² = c² - x² + god²

Napomena na slici trokut gdje je b = x + y, gdje je y = b - x. Zamjenjujući ovu vrijednost u prije dobivenom rezultatu, imat ćemo:

The² = c² - x² + god²

The² = c² - x² + (b - x)²

The² = c² - x² + b² - 2bx + x²

The² = c² + b² - 2bx

I dalje gledajući sliku, primijetite sljedeće:

cosα = x
ç

c · cosα = x

x = c · cosα

Zamjenom ovog rezultata u prethodnom izrazu imat ćemo:

The² = c² + b² - 2bx

The² = c² + b² - 2b · c · cosα

To je točno prvi od tri gore navedena izraza. Druga dva se mogu dobiti analogno ovom.

Primjer - U trokut zatim izračunajte mjeru x.

Riješenje:

Koristiti zakonIzkosinusi, imajte na umu da je x mjerenje stranice nasuprot kutu od 60 °. Stoga bi prvi "broj" koji se pojavio u rješenju trebao biti:

x² = 10² + 10² - 2 · 10 · 10 · cos60 °

x² = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °

x² = 200 - 200 · cos60 °

x² = 200 – 200·1
2

x² = 200 – 100

x² = 100

x = ± √100

x = ± 10

Kako ne postoje negativne duljine, rezultat bi trebao biti samo pozitivna vrijednost, tj. X = 10 cm.

napisao Luiz Moreira
Diplomirao matematiku

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm