Kad proučavamo poliedre, nailazimo na Platonove krutine kao poseban slučaj. Da bi bio Platonova krutina, poliedar mora udovoljavati tri uvjeta:
biti konveksan;
sva lica imaju jednaku količinu rubova;
svi vrhovi su krajevi istog broja bridova.
Nekoliko je filozofa nastojalo razumjeti podrijetlo Svemira, a Platon ga je vidio prostorna geometrija objašnjenje za ovo podrijetlo. Platonove krutine su:
tetraedar;
heksahedron;
oktaedar;
dodekaedar;
ikosaedar.
Svi se oni smatraju pravilnim poligonima rubovi i njihova lica svi su podudarni. Platonove krutine poštuju Eulerova veza, koji navodi broj vrhova, lica i bridova prema formuli V + F = A + 2.
Pročitajte i vi: Koje su razlike između ravnih i prostornih figura?
pravilni poliedri
Potraga za pravilnim poliedarima se ponavlja, jer je s njima lakše raditi. Poliedar se klasificira kao redoviti ako je ima sva lica oblikovana istim poligon kongruentan. Kada se to dogodi, kutovi a i rubovi su također sukladni.
Platonove krutine su osobiti slučajevi pravilnih poliedra. Na primjer, kocka, koja je Platonova čvrsta tijela, ima sva lica oblikovana podudarnim kvadratima.
Od Platonovih pet čvrstih tijela, tri su oblikovana trokutastim licima s podudarnim trokutima, jedno čine kvadratne površine, a drugo peterokutne stranice.Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Što su Platonove krutine?
Platon bio grčki filozof i matematičar. Dao je veliki doprinos matematici i, pokušavajući razumjeti Univerzum, povezane krutine s elementima prirode.
Da bi bio platonska krutina, poliedar mora biti pravilna i konveksna. Postoji samo pet čvrstih tvari koje zadovoljavaju ovu definiciju. To su: tetraedar, kocka ili heksaedar, oktaedar, ikosaedar i dodekaedar.
Odnos između elementa prirode i čvrstog tijela bio je:
tetraedar - vatra
heksahedron - Zemlja
oktaedar - zrak
ikosaedar - Voda
dodekaedar - Cosmo ili Svemir
Da bi bio Platonov čvrst, O poliedar također treba biti konveksan, sva lica moraju imati jednak broj bridova, a svi vrhovi moraju biti krajevi istog broja bridova.
Pogledajte i: Kaldrma - geometrijske čvrste tvari formirane od ravnih i poligonalnih površina
pravilni tetraedar
Pravilni tetraedar je poliedar koji ima 4 lica, što opravdava njegovo ime (tetra = četiri). sva su ti lica nastali trokutima. Oblikovan je poput piramida trokutaste osnove i poznata je kao piramida pravilne osnove, budući da su joj sva lica podudarna. Ima ukupno 4 lica (u formatu jednakostraničan trokut), 4 vrha i 6 bridova.
Ako želite izgraditi vlastiti redoviti tetraedar, samo preuzmite i ispišite PDF ovdje.
Pravilna kocka ili heksaedar
pravilni heksaedar ima 6 lica, što opravdava njegovo ime (hex = šest). vaša su lica sva kvadrat. Poznata je i kao kocka i ima 6 lica, 12 bridova i 8 vrhova.
Ako želite napraviti vlastitu kocku, samo preuzmite i ispišite PDF ovdje.
Oktaedar
Kao i prethodni, ime je povezano s brojem lica, dakle oktaedra ima 8 lica. Ova lica imaju oblik jednakostraničnog trokuta. Oktaedar ima 8 lica, 12 bridova i 6 vrhova.
Ako želite izgraditi vlastiti oktaedar, samo preuzmite i ispišite PDF ovdje.
ikosaedar
Ikosaedar ima ukupno 20 lica. Lica su im oblikovana poput jednakostraničnih trokuta, baš poput oktaedra. Ukupno ima 20 lica, 30 rubova i 12 vrhova.
Ako želite napraviti vlastiti ikosaedar, samo preuzmite i ispišite PDF ovdje.
Dodekaedar
Dodekaedar je posljednja Platonova čvrsta tijela. Ukupno ima 12 lica i smatra se harmoničnije među pet platonskih čvrstih tijela. Lica im imaju oblik peterokuta. Sadrži 12 lica, 30 rubova i 20 vrhova.
Ako želite izgraditi vlastiti dodekaedar, samo preuzmite i ispišite PDF ovdje.
Također pristupite: Cilindar - geometrijska krutina oblikovana od dvije paralelne kružne površine i u različitim ravninama
Eulerova formula
Eulerovi poliedri su konveksni poliedri. Euler je razvio formulu koja povezuje broj lica (F), broj vrhova (V) i broj bridova (A) u konveksnom poliedru. Sve Platonove krutine zadovoljavaju Eulerovu relaciju.
V + F = A + 2 |
Analizirajući formulu, tada je moguće izračunati broj vrhova iz broja lica i bridova ili broj lica iz broja vrhova i bridova, ukratko, poznavajući dva njegova elementa, uvijek je moguće pronaći i treći.
Primjer:
Znajući da poliedar ima 8 vrhova i 12 bridova i da je pravilan, koliko lica ima?
Znamo da je V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
Ž = 14 - 8
F = 6
Riješene vježbe
Pitanje 1 - (Enem 2016) Platonove su krutine konveksni poliedri čija su lica podudarna s jednim poligonom redovito, svi vrhovi imaju jednak broj upadnih bridova i svaki rub dijele samo dva. lica. Oni su važni, na primjer, u razvrstavanju oblika mineralnih kristala i u razvoju različitih predmeta. Kao i svi konveksni poliedri, i Platonove krutine poštuju Eulerovu relaciju V - A + F = 2, gdje su V, A i F broj vrhova, bridova i ploha poliedra.
Kakav je odnos između broja vrhova i broja lica u kristalu, čiji je oblik Platonova poliedra s trokutastim licem?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Razlučivost
Alternativa C. Budući da su lica trokutasta, znamo da za svako lice postoje 3 ruba. Međutim, da bismo povezali broj rubova s brojem lica, važno je zapamtiti da je svaki rub sadržan na dva lica, jer susret dvaju lica tvori rub, pa u ovom slučaju možemo povezati rub s licem po:
Imajući Eulerovu relaciju kao V - A + F = 2 i zamjenjujući A, moramo:
Pitanje 2 - Iz alternativa u nastavku prosudite koja nije Platonova solidna.
A) Kocka
B) Pravilni tetraedar
C) Ikosaedar
D) Dodekaedar
E) Konus
Razlučivost:
Alternativa E. Od alternativa, jedina koja ne odgovara Platonovoj masi je konus.
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
