Do sredine 16. stoljeća jednadžbe poput x2 - 6x + 10 = 0 jednostavno su smatrani "bez rješenja". To je bilo zato što bi, prema Bhaskarinoj formuli, prilikom rješavanja ove jednadžbe pronađeni rezultat bio:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Problem je pronađen u √– 4, koji nema rješenje unutar skupa realnih brojeva, odnosno br postoji stvaran broj koji pomnožen sam sa sobom daje √– 4, budući da je 2 · 2 = 4 i (–2) (- 2) = 4.
1572. Rafael Bombelli bio je zauzet rješavanjem jednadžbe x3 - 15x - 4 = 0 pomoću Cardanove formule. Kroz ovu formulu zaključuje se da ova jednadžba nema stvarnih korijena, jer je na kraju potrebno izračunati √– 121. Međutim, nakon nekoliko pokušaja moguće je utvrditi da 43 - 15 · 4 - 4 = 0 i prema tome je x = 4 korijen ove jednadžbe.
S obzirom na postojanje stvarnih korijena koji nisu izraženi Cardanovom formulom, Bombelli je imao ideju pretpostaviti da bi √– 121 rezultirao √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 i to bi mogao biti „nestvaran“ korijen za jednadžbu proučavao. Dakle, √– 121 bi bio dio nove vrste broja koji čini ostale neutemeljene korijene ove jednadžbe. Dakle jednadžba x
3 - 15x - 4 = 0, koji ima tri korijena, imao bi x = 4 kao pravi korijen i dva druga korijena koja pripadaju ovoj novoj vrsti broja.Krajem 18. stoljeća Gauss je te brojeve imenovao složeni brojevi. U to su vrijeme kompleksni brojevi već poprimali oblik a + bi, s i = √– 1. Nadalje, The i B već su se smatrale točkama kartezijanske ravnine, poznate kao Argand-Gaussova ravnina. Dakle, kompleksni broj Z = a + bi imao je za svoj geometrijski prikaz točku P (a, b) kartezijanske ravnine.
Stoga izraz „kompleksni brojevi”Počeo se koristiti u odnosu na numerički skup čiji su predstavnici: Z = a + bi, s i = √– 1 i sa The i B koji pripadaju skupu realnih brojeva. Taj se prikaz naziva algebarski oblik kompleksnog broja Z.
Budući da su složeni brojevi oblikovani od dva stvarna broja i jedan od njih se množi sa √– 1, ti su stvarni brojevi dobili posebno ime. Uzimajući u obzir kompleksni broj Z = a + bi, a je "stvarni dio Z", a b "imaginarni dio Z". Matematički možemo napisati: Re (Z) = a i Im (Z) = b.
Ideja modula kompleksnog broja kristalizira se analogno ideji modula realnog broja. Razmatrajući točku P (a, b) kao geometrijski prikaz složenog broja Z = a + bi, udaljenost između točke P i točke (0,0) dana je:
| Z | = √(The2 + b2)
Drugi način predstavljanja kompleksnih brojeva je kroz Polarni ili trigonometrijski oblik. Ovaj oblik koristi modul kompleksnog broja u svojoj konstituciji. Kompleksni broj Z, algebarski Z = a + bi, može se predstaviti s polarnim oblikom:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
Zanimljivo je primijetiti da je kartezijanska ravnina definirana dvjema pravokutnim linijama, poznatim kao osi x i y. Znamo da se stvarni brojevi mogu prikazati linijom, na koju su postavljeni svi racionalni brojevi. Preostali su prostori ispunjeni iracionalnim brojevima. Dok su stvarni brojevi na liniji poznatoj kao X os iz kartezijanske ravnine, sve ostale točke koje pripadaju toj ravnini bile bi razlika između kompleksnih brojeva i stvarnih brojeva. Dakle, skup realnih brojeva sadržan je u skupu kompleksnih brojeva.
Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm
