Jedna od tehnika koja se koristi za rješavanje kvadratne jednadžbe je metoda poznata kao kompletni kvadrati. Ova se metoda sastoji od tumačenja jednadžba od drugistupanj kao savršeni kvadratni trinom i napišite svoj faktorski obrazac. Ponekad ovaj jednostavan postupak već otkriva korijene jednadžbe.
Stoga je potrebno imati osnovno znanje o zapaženi proizvodi, tročlankvadratSavršen i polinomska faktorizacija koristiti se ovom tehnikom. Međutim, često dopušta izračun u glavi.
Stoga ćemo se prisjetiti tri slučaja proizvodaizvanredan prije demonstracije metodadovršitikvadrata, koja će, pak, biti izložena u tri različita slučaja.
Izvanredni proizvodi i savršeni kvadratni trinomi
Dalje, pogledajte izvanredan proizvod, tročlankvadratSavršen što je njemu ekvivalentno i obliku uračunato ovog trinoma. Da biste to učinili, uzmite u obzir da je x nepoznat i The je bilo koji stvarni broj.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Jednadžba drugog stupnja koja se odnosi na treći
proizvodizvanredan, poznat kao umnožak zbroja i razlike, može se riješiti tehnikom koja još više olakšava izračune. Kao rezultat, ovdje se neće razmatrati.Jednadžba je savršeni kvadratni trinom
Ako jedan jednadžba od drugistupanj je savršen kvadratni trinom, tada njegove koeficijente možete identificirati kao: a = 1, b = 2k ili - 2k i c = k2. Da biste to provjerili, samo usporedite kvadratnu jednadžbu s a tročlankvadratSavršen.
Stoga je u rješenju jednadžba od drugistupanj x2 + 2kx + k2 = 0, uvijek ćemo imati mogućnost učiniti:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Dakle, rješenje je jedinstveno i jednako –k.
Ako jednadžba biti x2 - 2kx + k2 = 0, možemo učiniti isto:
x2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Stoga je rješenje jedinstveno i jednako k.
Primjer: Koji su korijeni jednadžba x2 + 16x + 64 = 0?
Imajte na umu da je jednadžba a tročlankvadratSavršen, budući da je 2k = 16, gdje je k = 8, i k2 = 64, gdje je k = 8. Tako možemo napisati:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Ovdje je rezultat pojednostavljen, jer već znamo da će ta dva rješenja biti jednaka istom stvarnom broju.
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Jednadžba nije savršeni kvadratni trinom
U slučajevima kada jednadžba od drugistupanj nije savršeni kvadratni trinom, za izračunavanje njegovih rezultata možemo uzeti u obzir sljedeću hipotezu:
x2 + 2kx + C = 0
Imajte na umu da se ova jednadžba pretvara u tročlankvadratSavršen, samo zamijenite vrijednost C vrijednošću k2. Budući da je ovo jednadžba, jedini način za to je dodavanje k2 na oba člana, zatim zamjenjujući koeficijent C. Gledati:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Nakon ovog postupka, možemo nastaviti s prethodnom tehnikom, transformirajući tročlankvadratSavršen u izvanredan proizvod i izračunavanje kvadratnih korijena na oba udova.
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
Znak ± pojavljuje se kad god je rezultat a jednadžba je kvadratni korijen, jer je u tim slučajevima rezultat kvadratnog korijena a modul, kao što je prikazano u prvom primjeru. Napokon, preostaje samo još:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Dakle, ovi jednadžbe imaju dva rezultata stvaran i različit, ili nema stvarnog rezultata kad je C> k2.
Na primjer, izračunajte korijene x2 + 6x + 8 = 0.
Riješenje: Imajte na umu da je 6 = 2 · 3x. Dakle, k = 3 i prema tome k2 = 9. Stoga je broj koji moramo dodati u oba člana jednak 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
U tom slučaju koeficijent a ≠ 1
kada je koeficijent The, daje jednadžba od drugistupanj, razlikuje se od 1, samo podijelite cijelu jednadžbu s numeričkom vrijednošću koeficijenta The da bi se zatim primijenila jedna od dvije prethodne metode.
Dakle, u jednadžbi 2x2 + 32x + 128 = 0, imamo jedinstveni korijen jednak 8, jer:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
I, u jednadžbi 3x2 + 18x + 24 = 0, imamo korijene - 2 i - 4, jer:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku
