THE faktorizacija algebarskog izraza sastoji se od pisanja algebarskog izraza u jeziku oblik proizvoda. U praktičnim slučajevima, odnosno u rješavanju nekih problema koji uključuju algebarski izrazi, faktorizacija je izuzetno korisna jer u većini situacija pojednostavljuje obrađeni izraz.
Da bismo izvršili faktorizaciju algebarskih izraza, koristit ćemo vrlo važan rezultat iz matematike tzv temeljni aritmetički teorem, u kojem se navodi da bilo koji cijeli broj veći od 1 može biti zapisan kao umnožak primarni brojevi, Pogledajte:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Upravo smo izračunali brojeve 121 i 60.
Pročitajte i vi: Razlaganje broja na proste faktore
Metode za faktoring algebarskih izraza
Sada ćemo vidjeti glavne metode faktorizacije, a najčešće korištene napravit ćemo kratko geometrijsko opravdanje. Izgled:
Faktoriranje dokaza
Razmotrimo pravokutnik:
Imajte na umu da pravokutnik plava plus površina zelenog pravokutnika rezultira većim pravokutnikom. Pogledajmo svako od ovih područja:
THEPLAVA = b · x
THEZELENA = b · y
THEVEĆE = b · (x + y)
Dakle, moramo:
THEVEĆE = APLAVA + AZELENA
b (x + y) = bx + by
Primjeri
The) Da računamo izraz: 12x + 24y.
Imajte na umu da je dokaz 12, jer se pojavljuje u obje pakete, pa je za utvrđivanje brojeva koji ulaze u zagrade dovoljno udio svaku parcelu prema dokaznom faktoru.
12x: 12 = x
24g: 12 = 2y
12x + 24y = 12 · (x + 2y)
B) Na faktor izraza 21ab2 - 70.2B.
Na isti način, u početku se određuje dokazni čimbenik, odnosno faktor koji se ponavlja u paketima. Pogledajte iz numeričkog dijela koji imamo 7 kao zajednički čimbenik, budući da je taj koji dijeli oba broja. Sad, što se tiče doslovnog dijela, vidi da se ponavlja samo faktor ab, dakle, faktor dokaza je: 7ab.
21ab2 - 70.2b = 7ab (3b - 10The)
Pročitajte i vi: Polinomna podjela: kako to učiniti?
Faktoriranje grupiranjem
Faktoriziranje grupiranjem je koji proizlaze iz faktoringa dokazima, jedina je razlika u tome što ćemo, umjesto da imamo monomij kao zajednički čimbenik ili čimbenik dokaza, imati polinom, pogledajte primjer:
Razmotrimo izraz (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Imajte na umu da je zajednički faktor binom (a + b),stoga je faktorski oblik prethodnog izraza:
(a + b) · (Xy + wz2)
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
razlika između dva kvadrata
Uzmimo u obzir dva broja a i b, kada imamo a razlika kvadrata ovih brojeva, odnosno2 - B2, pa ih možemo zapisati kao umnožak zbroja za razliku, tj .:
The2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Primjeri
The) Da faktoriramo izraz x2 - g2.
Možemo koristiti razliku između dva kvadrata, pa:
x2 - g2 = (x + y) · (x - y)
B) Da uzmemo u obzir 20202 – 2.0192.
Možemo koristiti razliku između dva kvadrata, pa:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinom savršenog kvadrata
Uzmite sljedeći kvadrat sa strane (a + b) i zabilježite područja kvadrata i pravokutnika oblikovanih unutar njega.
Pogledajte područje kvadrat veće je dato s (a + b)2, ali, s druge strane, površina najvećeg kvadrata može se dobiti dodavanjem kvadrata i pravokutnika unutar njega, poput ovog:
(a + b)2 = the2+ ab + ab + b2
(a + b)2 = the2+ 2b + b2
(a + b)2 = the2 + 2ab + b2
Slično tome, moramo:
(a - b)2 = the2 - 2ab + b2
Primjer
Razmotrimo izraz x2 + 12x + 36.
Da biste faktorizirali izraz ove vrste, samo identificirajte koeficijent varijable x i neovisni koeficijent te usporedite s danom formulom, pogledajte:
x2 + 12x + 36
The2 + 2ab + b2
Praveći usporedbe, vidi da su x = a, 2b = 12 i b2 = 36; jednakosti imamo b = 6, tako da je faktorski izraz:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Srednja škola Trinom
Razmotrimo sjekiru trinom2 + bx + c. Njegov se faktorski oblik može pronaći pomoću svoje korijene, odnosno vrijednosti x koje iznose taj izraz na nulu. Da biste odredili vrijednosti zbog kojih je ovaj izraz nula, samo riješite os jednadžbe2 + bx + c = 0 koristeći bilo koji način koji je prikladan. Ovdje ističemo najpoznatiju metodu: Bhaskara metoda.
Faktorizirani oblik sjekire trinom2 + bx + c je:
sjekira2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Primjer
Razmotrimo izraz x2 + x - 20.
Prvi korak je utvrđivanje korijena x jednadžbe.2 + x - 20 = 0.
Dakle, faktorizirani oblik izraza x2 + x - 20 je:
(x - 4) · (x + 5)
Kocka razlike između dva broja
Kocka razlike između dva broja a i b dana je kao:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Kocka zbroja dva broja
Slično imamo i to (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , uskoro:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
riješene vježbe
Pitanje 1 - (Cefet-MG) Gdje je broj n = 6842 – 6832, zbroj znamenki od n je:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Razlučivost
Alternativa d. Da bismo odredili zbroj znamenki od n, prvo računamo izraz, jer je izračunavanje kvadrata, a zatim oduzimanje nepotreban posao. Faktorizirajući izraz koristeći razliku između dva kvadrata, imamo:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1.367 · 1
n = 1.367
Prema tome, zbroj znamenki n daje 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Pitanje 2 - (Modificirani Insper-SP) Odredite vrijednost izraza:
Razlučivost
Da bismo olakšali označavanje, nazovimo a = 2009 i b = 2. zapamti to 22 = 4, pa moramo:
Primijetite da u brojiocu razlomka imamo razliku između dva kvadrata, pa možemo zapisati2 - B2 = (a + b) (a - b). Uskoro:
a - b = 2009 - 2 = 2007.
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike
