Jedan polinomna jednadžba karakterizira posjedovanje a polinom jednak nuli. Može se karakterizirati stupnjem polinoma, a što je veći taj stupanj, to je veći stupanj poteškoće u pronalaženju njegovog rješenja ili korijena.
Također je važno, u ovom kontekstu, razumjeti koji je temeljni teorem algebre, koji to tvrdi svaka polinomska jednadžba ima barem jedno složeno rješenje, drugim riječima: jednadžba stupnja jedan imat će barem jedno rješenje, jednadžba stupnja dva imati će najmanje dva rješenja itd.
Pročitajte i vi: Koje su klase polinoma?
Što je polinomna jednadžba
Jednadžba polinoma karakterizira polinom jednak nuli, dakle, svaki izraz tipa P (x) = 0 polinomna je jednadžba, gdje je P (x) polinom. Vidi dolje opći slučaj polinomne jednadžbe i neke primjere.
RazmotriteNe, an -1, a n -2,..., The1, a0 i x stvarni brojevi, i n je pozitivan cijeli broj, sljedeći je izraz polinomna jednadžba stupnja n.
- Primjer
Sljedeće jednadžbe su polinomi.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Poput polinoma, i polinomne jednadžbe imaju svoj stupanj. Da biste odredili stupanj polinomne jednadžbe, samo pronađite najveću snagu čiji se koeficijent razlikuje od nule. Stoga su jednadžbe prethodnih stavki:
a) Jednadžba je iz četvrti stupanj:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Jednadžba je iz Srednja škola:5x2 – 3 = 0.
c) Jednadžba je iz prvi stupanj:6x – 1 = 0.
d) Jednadžba je iz treći stupanj: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Kako riješiti polinomnu jednadžbu?
Način rješavanja polinomske jednadžbe ovisi o njezinu stupnju. Što je veći stupanj jednadžbe, to ga je teže riješiti. U ovom ćemo članku prikazati metodu rješavanja polinomnih jednadžbi prvi stupanj, drugi stupanj i biskuer.
Polinomna jednadžba prvog stupnja
Polinomnu jednadžbu prvog stupnja opisuje a polinom 1 stupnja. Tako možemo napisati jednadžbu prvog stupnja, općenito, kako slijedi.
Razmotrimo dva stvarna broja The i B s ≠ 0, sljedeći je izraz polinomna jednadžba prvog stupnja:
sjekira + b = 0
Da bismo riješili ovu jednadžbu, moramo koristiti princip ekvivalencije, to jest, sve što se operira s jedne strane jednakosti mora se operirati i s druge strane. Da bismo odredili rješenje jednadžbe prvog stupnja, moramo izolirati nepoznato. Zbog toga je prvi korak uklanjanje B na lijevoj strani jednakosti, a zatim oduzetivesla b na obje strane jednakosti.
sjekira + b - B = 0 - B
sjekira = - b
Imajte na umu da vrijednost nepoznatog x nije izolirana, koeficijent a treba eliminirati s lijeve strane jednakosti, a za to podijelimo obje strane s The.
- Primjer
Riješi jednadžbu 5x + 25 = 0.
Da bismo riješili problem, moramo se poslužiti principom ekvivalencije. Da bismo olakšali postupak, izostavit ćemo pisanje operacije na lijevoj strani jednakosti, b ekvivalentno tada reći da ćemo "proslijediti" broj na drugu stranu, mijenjajući znak (inverzna operacija).
Saznajte više o rješavanju ove vrste jednadžbe pristupom našem tekstu: Jednadžba prvog stupnja s nepoznatom.
Polinomna jednadžba drugog stupnja
Polinomska jednadžba drugog stupnja ima obilježje a polinom dva stupnja. Dakle, razmotrite a, b i c stvarne brojeve s a ≠ 0. Jednadžba drugog stupnja dana je:
sjekira2 + bx + c = 0
Vaše rješenje može se odrediti metodom bhaskara ili faktoringom. Ako želite znati više o jednadžbama ove vrste, pročitajte: Jednadžbadjelovanje sdrugi grau.
→ Bhaskara metoda
Koristeći Bhaskara-inu metodu, njezini korijeni dati su sljedećom formulom:
- Primjer
Odrediti rješenje jednadžbe x2 - 3x + 2 = 0.
Imajte na umu da su koeficijenti jednadžbe a = 1, b = - 3 i c = 2. Zamjenjujući ove vrijednosti u formuli, moramo:
→ Faktorizacija
Imajte na umu da je moguće izraz x podijeliti na faktor2 - 3x + 2 = 0 koristeći ideju polinomska faktorizacija.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Primijetite sada da imamo proizvod jednak nuli, a proizvod jednak nuli samo ako je jedan od čimbenika jednak nuli, pa moramo:
x - 2 = 0
x = 2
ili
x - 1 = 0
x = 1
Pogledajte da smo rješenje jednadžbe pronašli pomoću dvije različite metode.
jednadžba bi-kvadrata
THE jednadžba biskuera to je osobiti slučaj polinomske jednadžbe četvrtog stupnja, obično bi se jednadžba četvrtog stupnja napisala u obliku:
sjekira4 + bx3 + kutija2 + dx + e = 0
gdje su brojevi a B C D i i su stvarne sa ≠ 0. Jednadžba četvrtog stupnja smatra se kvadratnom kada su koeficijenti b = d = 0, tj. Jednadžba je u obliku:
sjekira4 + kutija2 + i = 0
Pogledajte, u primjeru ispod, kako riješiti ovu jednadžbu.
- Primjer
Riješi x jednadžbu4 - 10x2 + 9 = 0.
Da bismo riješili jednadžbu, upotrijebit ćemo sljedeću nepoznatu promjenu, a kad god je jednadžba biskvadra, izvršit ćemo tu promjenu.
x2 = str
Iz jednadžbe bi-kvadrata primijetite da x4 = (x2)2 i zato moramo:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
Str2 - 10p + 9 = 0
Vidite da sada imamo polinomsku jednadžbu drugog stupnja i možemo koristiti Bhaskara-inu metodu, poput ove:
Međutim, moramo se sjetiti da je na početku vježbe izvršena nepoznata promjena, pa moramo primijeniti vrijednost pronađenu u zamjeni.
x2 = str
Za p = 9 moramo:
x2 = 9
x ’= 3
ili
x ’’ = - 3
Za p = 1
x2 = 1
x ’= 1
ili
x ’’ = - 1
Stoga je skup rješenja jednadžbe bisquare:
S = {3, –3, 1, –1}
Pročitajte i vi: Briot-Ruffinijev praktični uređaj - podjela polinoma
Temeljni teorem algebre (TFA)
Temeljni teorem algebre (TFA), koji je dokazao Gauss 1799. godine, kaže da svaka polinomska jednadžba, kako slijedi, ima barem jedan složeni korijen.
Korijen polinomske jednadžbe je njezino rješenje, odnosno nepoznata vrijednost je ono što jednakost čini istinitom. Primjerice, jednadžba prvog stupnja ima korijen koji je već utvrđen, kao i jednadžba drugog stupnja koja ima najmanje dva korijena i biskvat koji ima najmanje četiri korijena.
riješene vježbe
Pitanje 1 - Odredite vrijednost x koja čini jednakost istinitom.
2x - 8 = 3x + 7
Razlučivost
Imajte na umu da je za rješavanje jednadžbe potrebno organizirati je, odnosno ostaviti sve nepoznanice na lijevoj strani jednakosti.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Načelom ekvivalencije možemo pomnožiti obje strane jednakosti s istim brojem, a budući da želimo saznati vrijednost x, pomnožit ćemo obje strane s –1.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
pitanje 2 - Marcos ima 20 R $ više od Joaoa. Zajedno uspijevaju kupiti dva para tenisica, čija cijena košta 80 USD, a bez novca više. Koliko reala ima John?
Razlučivost
Uzmimo u obzir da Mark ima x reala, kao što John ima 20 reala više, tako da ima x + 20.
Oznake → x realno
João → (x + 20) reais
kako su kupili dva para tenisica koji koštaju 80 reala, pa ako složimo dijelove svakog od njih, morat ćemo:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
Stoga je Mark imao 70 reala, a João 90 reala.
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike
