Podrijetlo i na kvadrat jednako je -1

U proučavanju kompleksnih brojeva nailazimo na sljedeću jednakost: i² = – 1.
Opravdanje za ovu jednakost obično je povezano s rješavanjem jednadžbi 2. stupnja s negativnim kvadratnim korijenima, što je pogreška. Podrijetlo izraza i² = - 1 pojavljuje se u definiciji kompleksnih brojeva, još jedno pitanje koje također izaziva puno sumnje. Razumijemo razlog takve jednakosti i kako ona nastaje.
Prvo, napravimo neke definicije.
1. Uređeni par realnih brojeva (x, y) naziva se kompleksnim brojem.
2. Kompleksni brojevi (x₁g₁) i (x₂g₂) jednaki su ako i samo ako je x₁ = x₂ i y₁ = y₂.
3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva definirano je:
(x₁g₁) + (x₂g₂) = (x₁ + x₂g₁ + god₂)
(x₁g₁)*(x₂g₂) = (x₁*x₂ - g₁* god₂, x₁* god₂ + god₁*x₂)
Primjer 1. Razmotrimo z₁ = (3, 4) i z₂ = (2, 5), izračunaj z₁ + z₂ i z₁* z₂.
Riješenje:
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁* z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Koristeći treću definiciju lako je pokazati da:
(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂, 0)
(x₁, 0) * (x

₂, 0) = (x₁*x₂, 0)
Te jednakosti pokazuju da se s obzirom na operacije zbrajanja i množenja složeni brojevi (x, y) ponašaju kao stvarni brojevi. U tom kontekstu možemo uspostaviti sljedeći odnos: (x, 0) = x.
Koristeći ovaj odnos i simbol i za predstavljanje kompleksnog broja (0, 1), možemo zapisati bilo koji složeni broj (x, y) kako slijedi:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → što je normalni oblik poziva složenog broja.
Dakle, kompleksni broj (3, 4) u normalnom obliku postaje 3 + 4i.
Primjer 2. Sljedeće složene brojeve napišite u normalnom obliku.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Sad primijetite da i nazivamo kompleksnim brojem (0, 1). Pogledajmo što će se dogoditi prilikom izrade i2.
Znamo da je i = (0, 1) i da je i² = i * i. Slijedite to:
ja² = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Koristeći definiciju 3, imat ćemo:
ja² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Kao što smo vidjeli ranije, svaki složeni broj oblika (x, 0) = x. Tako,
ja² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Stigli smo do poznate jednakosti i² = – 1.

Napisao Marcelo Rigonatto
Stručnjak za statistiku i matematičko modeliranje
Brazilski školski tim

Složeni brojevi - Matematika - Brazil škola

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm