O apotema poligona je segment s krajnjim točkama u središtu mnogokuta i središtu jedne od stranica. Ovaj segment čini kut od 90° s odgovarajućom stranicom poligona.
Da bi se izračunala mjera apoteme, potrebno je uzeti u obzir karakteristike predmetnog poligona. Ovisno o geometrijskom obliku, moguće je konstruirati formulu za dobivanje ove mjere. Važno opažanje je da je mjera apoteme pravilnog mnogokuta jednaka mjeri polumjera opsega upisanog u mnogokut.
Pročitajte također: Što je simetrala?
Sažetak o apotemi
Apotem je isječak mnogokuta koji spaja središte (sjecište simetrala) sa središtem jedne od stranica.
Kut između apoteme i odgovarajuće stranice mnogokuta iznosi 90°.
Mjera apoteme pravilnog mnogokuta jednaka je mjeri polumjera kruga upisanog u mnogokut.
Apotem OM jednakostraničnog trokuta stranice l daje se formulom
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotem OM kvadrata stranice l daje se formulom
\(OM = \frac{l}2\)
Apotem OM pravilnog šesterokuta na jednoj strani l daje se formulom
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Apotem piramide je segment koji spaja vrh sa središtem jednog od bridova baze, a njegova mjera se može dobiti Pitagorinim poučkom.
Primjeri apoteme
Da bismo pronašli apotemu poligona, moramo konstruirati isječak koji spaja središte mnogokuta sa središtem jedne od stranica. Zapamtite da je središte mnogokuta mjesto gdje se sastaju simetrale.
U ovim primjerima, apotem je razmatran u ravnim poligonima. Međutim, postoji svemirski objekt koji ima drugačiju vrstu apoteme: piramida.
U piramidi postoje dvije vrste apotema: apotem baze, koji je apotem poligona koji čini bazu piramide, i apotem piramide, koji je segment koji povezuje vrh sa središnjom točkom osnovnog brida (to jest, to je visina bočne strane baze). piramida).
U donjem primjeru kvadratne baze, segment OM je apotem baze, a segment VM je apotem piramide, gdje je M središnja točka BC.
Koje su formule za apotemu?
Poznavajući karakteristike mnogokuta, posebno pravilnih mnogokuta, možemo razviti formule za izračunavanje mjere apoteme. Pogledajmo koje su to formule za glavne pravilne poligone.
Formula apoteme jednakostraničnog trokuta
na slučaj jednakostraničnog trokuta, visina i medijan u odnosu na danu stranu su isti. To znači da se središte poligona poklapa s baricentar od trokuta. Dakle, točka O dijeli visinu AM na sljedeći način:
\(AO = \frac{2}3 AM\) to je \(OM=\frac{1}3 ujutro\)
Upamtite da je mjera visina jednakostraničnog trokuta l daje:
\(Visina\ trokut\ jednakostraničan=\frac{l\sqrt3}2\)
Stoga, kako je AM visina jednakostraničnog trokuta ABC, a segment OM apotem trokuta, možemo razraditi sljedeći izraz za mjeru OM, s obzirom da stranica trokuta mjeri l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotem formule kvadrata
U slučaju kvadrata, mjera apoteme odgovara polovici duljine stranice. Dakle, ako je O središte kvadrata, M je središte jedne od stranica, i l je duljina stranice kvadrata, pa je formula za apotemu OM
\(OM=\frac{l}2\)
Formula apotema pravilnog šesterokuta
U pravilnom šesterokutu, apotem odgovara visini jednakostraničnog trokuta s vrhovima na dva kraja jedne od stranica iu središtu mnogokuta. U donjem primjeru, apotem OM pravilnog šesterokuta je visina jednakostraničnog trokuta OCD, gdje je M središte CD.
Kao što smo već spomenuli, poznata je visina jednakostraničnog trokuta. Dakle, ako stranica pravilnog šesterokuta mjeri l, tada je formula za apotemu OM
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Formula apoteme piramide
Mjera apoteme piramide može se dobiti pomoću Pomoć za Pitagorin teorem. U donjem primjeru, u kvadratnoj piramidi, trokut VOM je pravokutnik, s katetama VO i OM i hipotenuzom VM. Imajte na umu da je VO visina piramide, OM apotem baze, a VM apotem piramide.
Stoga, da bismo odredili mjeru apoteme piramide, moramo primijeniti Pitagorin teorem:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
oprezno! VM je visina jednakokračnog trokuta, a ne jednakostraničnog trokuta. Dakle, u ovom slučaju ne možemo koristiti formulu za visinu jednakostraničnog trokuta.
Kako se računa apotem?
Da bismo izračunali apotemu mnogokuta ili piramide, možemo koristiti konstruirane formule ili apotemu povezati s polumjerom upisane kružnice.
Primjer 1: Pretpostavimo da je jednakostraničnom trokutu upisana kružnica polumjera 3 cm. Kolika je mjera apoteme ovog trokuta?
Kako apotem mnogokuta ima istu mjeru kao polumjer upisane kružnice, apotem trokuta ima 3 cm.
Primjer 2: Kolika je mjera apoteme pravilnog šesterokuta sa stranicom 4 cm?
Koristeći formulu za apotemu pravilnog šesterokuta sa \(l=4\) cm, moramo
\(Mjerenje\ od\ apotema=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Pročitajte također: Sve o značajnim točkama trokuta
Riješene vježbe o apotemi
Pitanje 1
Ako piramida visoka 4 cm ima apotemu baze od 3 cm, tada je mjera apoteme piramide
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
rezolucija:
U piramidi možemo konstruirati pravokutni trokut u kojem je jedan krak apotem osnovice, drugi krak visina piramide, a hipotenuza apotem piramide. Dakle, primjenom Pitagorine teoreme na hipotenuzu mjere x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternativa A.
pitanje 2
Ako je apotem kvadrata y cm, onda je stranica kvadrata
The) \(\frac{1}3y \) cm
B) \(\frac{1}2y \) cm
c) y cm
d) 2y cm
e) 3y cm
Rezolucija
Apotem kvadrata je pola duljine stranice kvadrata. Prema tome, ako apotem ima y cm, kvadrat ima 2y cm.
Alternativa D.
Autorica Maria Luiza Alves Rizzo
Učitelj matematike