THE aritmetička progresija (AP) je numerički slijed koje koristimo za opisivanje ponašanja određenih pojava u matematici. U PA, rast ili propadanje je uvijek konstantan, odnosno od jednog do drugog pojma, razlika će uvijek biti ista, a ta je razlika poznata kao razlog.
Kao rezultat predvidljivo ponašanje progresije, možete ga opisati iz formule poznate kao opći pojam. Iz istog razloga također je moguće izračunati zbroj članaka PA pomoću određene formule.
Pročitajte i vi: Geometrijska progresija - kako izračunati?
Što je PA?
Razumijevanje da je PA slijed pojmova u kojima razlika između pojma i njegovog prethodnog uvijek je stalna, da bismo opisali ovo napredovanje iz formule, moramo pronaći početni pojam, ili to jest, prvi pojam napredovanja i njegov razlog, a to je ta stalna razlika između Pojmovi.
Općenito govoreći, PA je napisan na sljedeći način:
(The1, a2, The3, a4, The5, a6, The7, a8)
Prvi je izraz a1 i, od toga, do dodati razlog r, pronađimo uvjete nasljednika.
The1 + r = a2
The2 + r = a3
The3 + r = a4
...
Dakle, da bismo napisali aritmetičku progresiju, moramo znati tko joj je prvi pojam i zašto.
Primjer:
Napišimo prvih šest pojmova AP znajući da mu je prvi pojam 4 i da je omjer jednak 2. poznavanje1 = 4 i r = 2, zaključujemo da taj napredak započinje s 4 i povećava se s 2 na 2. Stoga možemo opisati njegove pojmove.
The1 = 4
The2 = 4+ 2 = 6
The3 = 6 + 2 = 8
The4 = 8 + 2 = 10
The5= 10 + 2 = 12
The6 = 12 + 2 =14
Ovaj BP jednak je (4,6,8,10,12,14…).
Opći pojam PA
Opisivanjem PA iz formule olakšavamo pronalazak bilo kojeg pojma. Da bismo pronašli bilo koji pojam AP-a, koristimo sljedeću formulu:
TheNe= a1 + r · (n-1) |
N → je položaj pojma;
The1→ je prvi pojam;
r → razlog.
Primjer:
Pronađi opći pojam PA (1,5,9,13, ...) i 5., 10. i 23. mandat.
1. korak: naći razlog.
Da biste pronašli omjer, jednostavno izračunajte razliku između dva uzastopna člana: 5 - 1 = 4; tada je u ovom slučaju r = 4.
2. korak: naći opći pojam.
Kako znamo da1= 1 i r = 4, zamijenimo u formuli.
TheNe= a1 + r (n - 1)
TheNe= 1 + 4 (n - 1)
TheNe= 1 + 4n - 4
TheNe= 4n - 3 → opći pojam PA
3. korak: znajući opći pojam, izračunajmo 5., 10. i 23. pojam.
5. pojam → n = 5
TheNe= 4n - 3
The5=4·5 – 3
The5=20 – 3
The5=17
10. pojam → n = 10
TheNe= 4n - 3
The10=4·10 – 3
The10=40 – 3
The10=37
23. pojam → n = 23
TheNe= 4n - 3
The23=4·23 – 3
The23=92 – 3
The23=89
Vrste aritmetičkih progresija
Postoje tri mogućnosti za PA. Može se povećavati, smanjivati ili konstantno.
Rastući
Kao što i samo ime govori, aritmetička progresija se povećava kada, kako se pojmovi povećavaju, tako se i njihova vrijednost povećava., odnosno drugi je pojam veći od prvog, treći veći od drugog, i tako dalje.
The1
Da bi se to dogodilo, omjer mora biti pozitivan, odnosno PA se povećava ako je r> 0.
Primjeri:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
silazni
Kao što i samo ime govori, aritmetička progresija opada kada, kako se pojmovi povećavaju, njihova vrijednost opada, odnosno drugi je pojam manji od prvog, treći je manji od drugog itd.
The1 > the2 > the3 > the4 > …. > theNe
Da bi se to dogodilo, omjer mora biti negativan, odnosno PA se povećava ako je r <0.
Primjeri:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Konstantno
Aritmetička progresija je konstantna kada, kako se pojmovi povećavaju, vrijednost ostaje ista., to jest, prvi je član jednak drugom, koji je jednak trećem, i tako dalje.
The1 = the2 = the3 = the4 = …. = aNe
Da bi PA bio konstantan, omjer mora biti jednak nuli, odnosno r = 0.
Primjeri:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Pogledajte i: Umnožavanje pojmova PG - koja je formula?
Svojstva PA
1. svojstvo
S obzirom na bilo koji pojam PA, prosječno aritmetika između njegovog nasljednika i prethodnika jednako je tom pojmu.
Primjer:
Razmotrimo napredovanje (-1, 2, 5, 8, 11) i pojam 8. Prosjek između 11 i 5 jednak je 8, odnosno zbroj nasljednika s prethodnikom broja u PA uvijek je jednak ovom broju.
2. svojstvo
Zbroj jednako udaljenih članaka uvijek je jednak.
Primjer:
Zbroj pojmova PA
Pretpostavimo da želimo dodati šest pojmova BP prikazanih gore: (16,13,10,7,4,1). Jednostavno možemo dodati njihove pojmove - u tom slučaju je malo pojmova moguće - ali ako jesu duži niz, trebali biste koristiti svojstvo. Znamo da je zbroj jednako udaljenih pojmova uvijek jednak, kao što smo vidjeli u svojstvu, pa ako to izvedemo dodajte jedanput i pomnožite s polovinom iznosa članova, imamo zbroj prvih šest izraza PAN.
Imajte na umu da bismo u primjeru izračunali zbroj prvog i posljednjeg, koji je jednak 17, pomnožen s polovinom iznosa, odnosno 17 puta 3, što je jednako 51.
Formula zbroj pojmova PA razvio ga je matematičar Gauss koji je tu simetriju realizirao u aritmetičkim progresijama. Formula je napisana kako slijedi:
sNe → zbroj n elemenata
The1 → prvi mandat
TheNe → zadnji termin
n → broj pojmova
Primjer:
Izračunajte zbroj neparnih brojeva od 1 do 2000.
Rješenje:
Znamo da je ovaj slijed PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Učiniti zbroj bio bi velik posao, tako da je formula prilično prikladna. Od 1 do 2000, polovica brojeva je neparna, tako da postoji 1000 neparnih brojeva.
Podaci:
n → 1000
The1 → 1
TheNe → 1999
Također pristupite: Zbroj konačnog PG - kako to učiniti?
Interpolacija aritmetičkih sredina
Poznavajući dva neusklađena pojma aritmetičke progresije, moguće je pronaći sve pojmove koji spadaju između ova dva broja, ono što mi znamo kao interpolacija aritmetičkih sredina.
Primjer:
Interpolirajmo 5 aritmetičkih sredina između 13 i 55. To znači da postoji 5 brojeva između 13 i 55 i oni čine progresiju.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Da biste pronašli ove brojeve, potrebno je pronaći razlog. Znamo prvi pojam (1 = 13), a također i sedmi pojam (7= 55), ali znamo da:
TheNe = the1 + r · (n - 1)
Kad je n = 7 → aNe= 55. Također znamo vrijednost a1=13. Dakle, zamjenjujući je u formuli, moramo:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Znajući razlog, možemo pronaći izraze koji su između 13 i 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
riješene vježbe
Pitanje 1 - (Enem 2012) - Igranje karata aktivnost je koja potiče rasuđivanje. Tradicionalna igra je Pasijans koji koristi 52 karte. U početku se s kartama formira sedam stupaca. Prva kolona ima jednu kartu, druga ima dvije karte, treća ima tri karte, četvrta ima četiri karte i tako dalje. sukcesivno do sedme kolone koja ima sedam karata i onoga što čini hrpu, a to su neiskorištene karte u stupaca.
Broj karata koje čine hrpu je:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Razlučivost
Alternativa B.
Prvo izračunajmo ukupan broj korištenih karata. Radimo s AP-om čiji je prvi mandat 1, a omjer je također 1. Dakle, izračunavajući zbroj 7 redaka, posljednji je član 7, a vrijednost n je također 7.
Znajući da je ukupan broj korištenih karata bio 28 i da postoje 52 karte, hrpu čine:
52 - 28 = 24 karte
Pitanje 2 - (Enem 2018) Gradska vijećnica malog grada u unutrašnjosti odlučuje postaviti stupove za osvjetljenje oko uz ravnu cestu koja započinje na središnjem trgu i završava na farmi u tom području. seoska. Kako trg već ima osvjetljenje, prvi stup bit će postavljen 80 metara od trga, drugi na 100 metara, treći na 120 metara i tako dalje. uzastopno, uvijek držeći razmak od 20 metara između stupova, sve dok se zadnji stup ne postavi na udaljenosti od 1380 metara kvadrat.
Ako grad može platiti najviše 8.000,00 R $ po postavljenom postu, najveći iznos koji možete potrošiti na postavljanje ovih postova je:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520.000,00 BRL.
C) 528.000,00 R $.
D) 552.000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Razlučivost
Alternativa C.
Znamo da će se stupovi postavljati svakih 20 metara, tj. R = 20, i da je prvi mandat ove PA 80. Također, znamo da je zadnji pojam 1380, ali ne znamo koliko ima pojmova između 80 i 1380. Da bismo izračunali ovaj broj pojmova, poslužimo se formulom općeg pojma.
Podaci: aNe = 1380; The1=80; i r = 20.
TheNe= a1 + r · (n-1)
Bit će postavljeno 660 postova. Ako će svaki koštati najviše 8 000 R $, najveći iznos koji se može potrošiti uz postavljanje ovih postova je:
66· 8 000 = 528 000
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
