अपरिमेय संख्याएँ: वे क्या हैं, संचालन, उदाहरण

आप अपरिमेय संख्या लंबे समय तक गणितज्ञों में बड़ी बेचैनी पैदा हुई। आज, पहले से ही अच्छी तरह से परिभाषित, हम एक अपरिमेय संख्या के रूप में जानते हैं जिसकी दशमलव निरूपण हमेशा एक गैर-आवधिक दशमलव होता है. अपरिमेय की मुख्य विशेषता, और जो उन्हें परिमेय संख्याओं से अलग बनाती है, वह यह है कि वे a. द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है अंश.

अपरिमेय संख्याओं का अध्ययन तब और गहरा हुआ, जब पाइथागोरस प्रमेय से संबंधित समस्याओं की गणना करते समय, गैर-सटीक जड़ें पाई गईं। इन अचूक जड़ों के समाधान की तलाश के कार्य ने गैर-सटीक दशमांश के अस्तित्व को उल्लेखनीय बना दिया आवर्त, अर्थात् उन संख्याओं का जिनका दशमलव भाग अनंत है और जिनका क्रम अच्छा नहीं है। परिभाषित। मुख्य अपरिमेय संख्याएं गैर-आवधिक दशमलव, गैर-सटीक मूल और हैं।

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अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय

सटीक जड़ें अपरिमेय संख्याएं हैं।

अपरिमेय संख्याओं के अध्ययन से पूर्व संख्याओं के समुच्चय का अध्ययन किया जाता था प्राकृतिक, पूर्णांक और परिमेय। आयताकार त्रिभुज के अध्ययन में गहराई से जाने पर, यह स्पष्ट हो गया कि कुछ जड़ें ऐसी होती हैं जिनका कोई सटीक हल नहीं होता

, विशेष रूप से, यह देखना संभव था कि गैर-सटीक मूल समाधान संख्याएं हैं गैर-आवधिक दशमांश के रूप में जाना जाता है.

इस अशांति के बीच, कई गणितज्ञों ने असफल रूप से यह प्रदर्शित करने का प्रयास किया है कि अचूक जड़ें परिमेय संख्याएं हैं और जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन जो महसूस किया गया वह यह था कि इन संख्याओं को इसमें प्रदर्शित नहीं किया जा सकता था प्रपत्र। चूँकि अब तक परिमेय संख्याओं के समुच्चय में ये संख्याएँ शामिल नहीं थीं, इसलिए एक नया समुच्चय बनाने की आवश्यकता पड़ी, जिसे अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय कहा जाता है।

एक संख्या अपरिमेय होती है जब उसका दशमलव निरूपण एक गैर-आवधिक दशमलव होता है।

अपरिमेय संख्याएँ क्या हैं?

एक अपरिमेय संख्या होने के लिए, इसे परिभाषा को पूरा करना होगा, अर्थात इसका दशमलव प्रतिनिधित्व एक गैर-आवधिक दशमलव है. गैर-आवधिक दशमलवों की मुख्य विशेषता यह है कि उन्हें भिन्न के माध्यम से प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जो दर्शाता है कि अपरिमेय संख्याएं परिमेय संख्याओं के विपरीत होती हैं।

इस सुविधा के साथ मुख्य संख्याएं हैं जड़ें सटीक नहीं हैं।

उदाहरण:

ए) √2

बी) 5

सी) 7

घ) 13 

गैर-सटीक मूल समाधानों की तलाश करते समय, अर्थात, इन संख्याओं का दशमलव निरूपण करना, हमेशा हमें एक गैर-आवधिक दशमलव मिलेगा, जो इन संख्याओं को के समुच्चय का अवयव बनाता है तर्कहीन।

गैर-सटीक जड़ों के अलावा, गैर-आवधिक दशमलव भी हैं, उदाहरण के लिए, यदि हम गैर-सटीक जड़ों की गणना करते हैं, तो हमें एक गैर-आवधिक दशमलव मिलेगा।

√2 = 1,41421356...

√5= 2,23606797...

अपरिमेय संख्याओं को आमतौर पर ग्रीक अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, क्योंकि इसके सभी दशमलव स्थानों को लिखना संभव नहीं है।

पहला है π (पढ़ें: pi), वृत्तों के क्षेत्रफल और परिमाप की गणना में मौजूद है। के बराबर मान है 3,1415926535…

π के अलावा, एक और बहुत ही सामान्य संख्या ϕ है (पढ़ें: fi)। वह शामिल समस्याओं में पाया जाता है अनुपात स्वर्ण। इसका मान 1.618033 के बराबर है...

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परिमेय और अपरिमेय संख्या

संख्या सेट का विश्लेषण करते समय, परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के बीच अंतर करना महत्वपूर्ण है. इन दो समुच्चयों का मिलन गणित में सबसे अधिक अध्ययन किए गए समुच्चयों में से एक है, जो कि वास्तविक का समुच्चय है वास्तविक संख्याये यह संख्याओं का जोड़ है जिसे भिन्नों (परिमेय) के रूप में दर्शाया जा सकता है और ऐसी संख्याएँ जिन्हें भिन्नों (तर्कहीन) के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

के सेट में परिमेय संख्या, पूर्णांक, प्राकृतिक वाले, सटीक दशमलव और आवधिक दशमलव हैं।

परिमेय संख्याओं के उदाहरण:

-60 → पूर्णांक

२.५ → सटीक दशमलव

५.१११११११… → आवर्त दशमलव

अपरिमेय संख्याएं गैर-आवधिक दशमलव हैं, इसलिए ऐसी कोई संख्या नहीं है जो एक ही समय में परिमेय और अपरिमेय हो।

अपरिमेय संख्याओं का उदाहरण:

1,123149… → गैर-आवधिक दशमांश

२.७६९२३५… → गैर-आवधिक दशमांश

अपरिमेय संख्याओं के साथ संचालन

• जोड़ना और घटाना

इसके अलावा और यह घटाव दो अपरिमेय संख्याओं का आमतौर पर होता है बस प्रतिनिधित्व, जब तक कि इन संख्याओं के दशमलव सन्निकटन का उपयोग नहीं किया जाता है, उदाहरण के लिए:

क) 6 + 5

बी) 6 - 5

ग) १.४१४२१३… + ३.१४१५९२६५३५…

हम रेडिकल के कारण मानों को जोड़ या घटा नहीं सकते हैं, इसलिए हमने केवल संकेतित ऑपरेशन छोड़ दिया है।

दशमलव निरूपण में, सटीक योग करना भी संभव नहीं है, इसलिए दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, हमें एक परिमेय सन्निकटन की आवश्यकता है।, और इस प्रतिनिधित्व को इस डेटा की सटीकता की आवश्यकता के अनुसार चुना जाता है। हम जितने अधिक दशमलव स्थानों पर विचार करते हैं, हमें उतना ही सटीक योग मिलता है।

अवलोकन:अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय जोड़ या घटाव के लिए बंद नहीं है, इसका मतलब है कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक ऐसी संख्या में परिणत हो सकता है जो परिमेय नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि हम एक अपरिमेय संख्या के विपरीत की गणना करते हैं, तो हमें यह करना होगा:

ए) √2 - √2 = 0

बी) + (-π) = 0

हम जानते हैं कि 0 एक अपरिमेय संख्या नहीं है।

• गुणन और भाग

गुणन और विभाजन अपरिमेय संख्याओं का किया जा सकता है यदि प्रतिनिधित्व a. है विकिरणहालांकि, जोड़ की तरह, दशमलव प्रतिनिधित्व में, यानी दो दशमलव को गुणा या विभाजित करना, इस संख्या का एक तर्कसंगत सन्निकटन आवश्यक है।

क) 7 · √5 = √35

बी) 32: √2 = √16 = 4

यह भी ध्यान दें कि, उदाहरण बी में, 4 एक परिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि दो अपरिमेय संख्याओं का गुणा और भाग बंद नहीं होता है, अर्थात उनका एक परिमेय परिणाम हो सकता है।

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - निम्नलिखित संख्याओं की समीक्षा करें:

मैं) 3.1415926535

II) ४,१२३४५१०….

III) 2π

IV) 1.123123123...

वी) 36

VI) 12

ये अपरिमेय संख्याएँ हैं:

ए) केवल I, IV और V

बी) केवल II, III और VI

सी) केवल II, IV और VI

डी) केवल I, II, III और VI

ई) केवल III, IV, V और VI

संकल्प

वैकल्पिक बी

I → संख्या सटीक दशमलव, परिमेय है।

II → संख्या एक गैर-आवधिक, अपरिमेय दशमलव है।

III → अपरिमेय है, और इसका दोहरा, यानी 2π भी अपरिमेय है।

IV → संख्या एक आवर्त, परिमेय दशमलव है।

वी → सटीक, तर्कसंगत जड़।

VI → जड़ सटीक नहीं, अपरिमेय।

प्रश्न 2 - कृपया निम्नलिखित कथनों का न्याय करें:

I - वास्तविक संख्याओं का समुच्चय परिमेय और अपरिमेय का मिलन है;

II - दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक परिमेय संख्या हो सकती है;

III - दशमांश अपरिमेय संख्याएं हैं।

कथनों का विश्लेषण करते हुए, हम कह सकते हैं कि:

ए) केवल कथन I सत्य है।

बी) केवल कथन II सत्य है।

सी) केवल कथन III सत्य है।

D) केवल कथन I और II सत्य हैं।

ई) सभी कथन सत्य हैं।

संकल्प

वैकल्पिक डी

I → सत्य, क्योंकि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की परिभाषा परिमेय और अपरिमेय के बीच का मिलन है।

II → सत्य, जब हम किसी संख्या को इसके विपरीत में जोड़ते हैं, तो परिणाम 0 होगा, जो परिमेय है।

III → असत्य, गैर-आवधिक दशमांश अपरिमेय हैं।

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक