वेन आरेख: यह क्या है, इसके लिए क्या है, उदाहरण

हे वेन आरेख, वेन-यूलर आरेख के रूप में भी जाना जाता है, एक है एक सेट को ग्राफ़ करने का तरीका way, इसके लिए हम एक बंद रेखा का उपयोग करते हैं जिसमें स्व-प्रतिच्छेदन नहीं होता है और हम इस रेखा के अंदर सेट के तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं। आरेख का विचार में समझने की सुविधा प्रदान करना है बुनियादी सेट संचालन, जैसे: समावेश और संबंधित संबंध, मिलन और प्रतिच्छेदन, अंतर और पूरक सेट।

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वेन आरेख प्रतिनिधित्व

जैसा कि दिखाया गया है, वेन आरेख में एक बंद (गैर-इंटरविइनिंग) रेखा होती है, जिस पर हम सेट के तत्वों को "स्थान" रखते हैं, ताकि हम एक या कई सेटों का प्रतिनिधित्व करते हैं एक साथ। उदाहरण देखें:

• सिंगल सेट

हम आपका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं एक बंद लाइन, उदाहरण के लिए, आइए समुच्चय A = {1, 3, 5, 7, 9} का प्रतिनिधित्व करते हैं:

• दो सेटों के बीच

हमें एक समुच्चय को निरूपित करने के लिए एक के समान दो रेखांकन बनाने चाहिए। हालांकि, सेट के साथ संचालन से हम जानते हैं कि: दो सेट दिए गए हैं, वे प्रतिच्छेद कर सकते हैं या नहीं। यदि दो समुच्चय प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो उन्हें नाम दिया जाता है संयुक्त सेट.

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उदाहरण 1

वेन आरेख का उपयोग करके प्लॉट करें, समुच्चय A = {a, b, c, d, e, f} और B = {d, e f, g, h, i}।

ध्यान दें कि प्रतिच्छेदन आरेख का वह भाग है जो दो सेटों से संबंधित है, ठीक वैसे ही जैसे परिभाषा में है।

ए ∩ बी = {डी, ई, एफ}

उदाहरण 2

समुच्चय C = {a, b, c, d} और D = {e, f, g, h} को आलेखित करें।

ध्यान दें कि इन सेटों का प्रतिच्छेदन खाली है, क्योंकि इसमें ऐसा कोई तत्व नहीं है जो एक साथ दोनों से संबंधित हो, अर्थात्:

सी ∩ डी = { }

• तीन सेटों के बीच

तीन सेटों के लिए वेन आरेख का उपयोग करके प्रतिनिधित्व के पीछे का विचार दो सेटों के बीच के प्रतिनिधित्व के समान है। इस अर्थ में, समुच्चय एक-एक करके असंयुक्त हो सकते हैं, अर्थात् उनका कोई प्रतिच्छेदन नहीं होता है; या वे दो-दो विच्छेदित हो सकते हैं, अर्थात् उनमें से केवल दो प्रतिच्छेद करते हैं; या सभी प्रतिच्छेद।

उदाहरण

वेन आरेख का उपयोग करके समुच्चयों A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} और C = {d, e, c, h} का निरूपण।

यह भी देखें: महत्वपूर्ण सेट नोटेशन

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सदस्यता संबंध

सदस्यता संबंध हमें यह कहने की अनुमति देता है कि कोई तत्व किसी निश्चित सेट से संबंधित है या नहीं। इसके लिए हम प्रतीकों का उपयोग करते हैं:

समुच्चय A = {a, b, c, d} पर विचार करें। इसका विश्लेषण करने पर हमें पता चलता है कि जी, उदाहरण के लिए, उसका नहीं है, इसलिए वेन आरेख में, हमारे पास है:

समावेश संबंध

समावेश संबंध हमें यह कहने की अनुमति देता है एक सेट दूसरे सेट में समाहित है या नहीं. जब एक समुच्चय दूसरे में समाहित होता है, तो हम कहते हैं कि यह एक है सबसेट। इसके लिए हम प्रतीकों का उपयोग करते हैं:

इसका एक उदाहरण के सेट के बीच संबंध है प्राकृतिक संख्या और का सेट पूर्ण संख्या. हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अर्थात् प्राकृतिक का सेट पूर्णांकों के सेट में समाहित है.

सेट के बीच संचालन

दो या दो से अधिक सेटों के बीच बुनियादी संचालन हैं: एकता, चौराहा तथा दो सेटों के बीच का अंतर.

• संघ

दो समुच्चयों के बीच का संघ प्रत्येक समुच्चय में निहित तत्वों को मिलाकर बनता है, दूसरे शब्दों में: दो समुच्चयों के सभी तत्वों पर विचार किया जाता है। देखो:

समुच्चय A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 4, 5, 6, 7} पर विचार करें। उनके बीच मिलन द्वारा दिया गया है:

ए यू बी = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

वेन आरेख में, हमने संघ भाग को छायांकित किया, अर्थात दोनों सेट, जाँच करें:

• चौराहा

प्रतिच्छेदन एक नया संख्यात्मक समुच्चय है, जो एक साथ अन्य समुच्चयों से संबंधित तत्वों द्वारा बनता है। सामान्यतया, वेन आरेख में सेटों के बीच का प्रतिच्छेदन शामिल ग्राफ़ के सामान्य भाग द्वारा दिया जाता है। देखो:

समुच्चय A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 4, 5, 6, 7} को फिर से ध्यान में रखते हुए, हमारे पास यह है कि समुच्चय A और समुच्चय B के तत्व एक साथ हैं। :

ए बी = {3,4}

• दो सेटों में अंतर Difference

दो समुच्चय C और D पर विचार करें, उनके बीच का अंतर (C - D) एक नया समुच्चय होगा जो C से संबंधित तत्वों से बनेगा और D से संबंधित नहीं होगा। सामान्य तौर पर, हम इस अंतर को वेन आरेख का उपयोग करके निम्नानुसार प्रदर्शित कर सकते हैं:

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - (उफल) निम्नलिखित आकृति में, असंयुक्त समुच्चय A, B और C को निरूपित किया गया है। रंगीन क्षेत्र सेट का प्रतिनिधित्व करता है:

ए) सी - (ए ∩ बी)

बी) (ए ∩ बी) - सी

सी) (ए यू बी) - सी

d) ए यू बी यू सी

ई) ए बी ∩ सी

समाधान

वैकल्पिक बी.

समुच्चयों के साथ संक्रियाओं को याद करते हुए, हम जानते हैं कि वेन आरेख में दो समुच्चयों के बीच का प्रतिच्छेदन उनके उभयनिष्ठ भाग द्वारा दिया जाता है। सेट ए, बी और सी को ध्यान में रखते हुए और सेट चौराहे ए बी को रंग देने के लिए, हमारे पास है:

शीर्षक: समाधान प्रश्न १ - भाग १

ध्यान दें कि यदि हम सेट सी से तत्वों को हटाते हैं, तो हमें अभ्यास द्वारा अनुरोधित रंगीन भाग मिलता है, अर्थात, हमें शुरू में चौराहे को हाइलाइट करना चाहिए और फिर तत्वों को सी से हटा देना चाहिए।

(ए बी) - सी

प्रश्न 2 - (उर्ज) एक स्कूल के बच्चों ने शिशु पक्षाघात और खसरा के खिलाफ टीकाकरण अभियान में भाग लिया। अभियान के बाद, यह पाया गया कि ८०% बच्चों को लकवा का टीका मिला, ९०% को खसरा का टीका मिला, और ५% को न तो मिला।

इस स्कूल में उन बच्चों का प्रतिशत निर्धारित करें जिन्होंने दोनों टीके प्राप्त किए।

समाधान

चूंकि दोनों टीकों को प्राप्त करने वाले बच्चों का प्रतिशत अज्ञात है, आइए शुरू में इसे x कहते हैं। याद रखें कि हमें % चिन्ह के साथ काम नहीं करना चाहिए, लेकिन व्यायाम प्रतिशत को उनके दशमलव या भिन्नात्मक रूप में लिखना चाहिए।

80 % → 0,8

90% → 0,9

5% → 0,05

100% → 1

केवल पक्षाघात का टीका लेने वाले बच्चों की कुल संख्या का पता लगाने के लिए, हमने सत्यापित प्रतिशत (80%) घटाया दोनों (x) लेने वालों का प्रतिशत, और वही उन बच्चों के लिए किया जाना चाहिए जिन्होंने केवल इसके खिलाफ टीका लिया था खसरा इस प्रकार: