सम्मिश्र संख्याओं वाले गुण

सभी मौजूदा संख्याएँ सृष्टि के समय मानवीय आवश्यकताओं के अनुसार बनाई गई थीं, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं के मामले में होता है, जो "स्टॉक" और अपरिमेय संख्याओं को गिनने और नियंत्रित करने के लिए बनाए गए थे, जिन्हें. के संबंध में समस्याओं को हल करने के लिए स्थापित किया गया था जड़ें जड़ से जुड़ी समस्याओं ने ही इसके बारे में ज्ञान की शुरुआत की थी जटिल आंकड़े।

द्विघात समीकरण x² + 4x + 5 = 0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है। इसका अर्थ यह है कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के भीतर, x के लिए ऐसे मान ज्ञात करना असंभव है जो इस समीकरण के पहले पद के बराबर हो। हम इस घटना को भास्कर के सूत्र की शुरुआत से देखते हैं:

Δ = 4² – 4·1·5

Δ = 16 – 20

Δ = – 4

एक बार के लिए ऋणात्मक मान मिल जाने पर, भास्कर के सूत्र के साथ आगे बढ़ना असंभव हो जाता है, क्योंकि इसके लिए requires (डेल्टा की जड़) की गणना की आवश्यकता होती है। अब, हम जानते हैं कि √–4 की गणना नहीं की जा सकती क्योंकि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसे स्वयं से गुणा करने पर – 4 प्राप्त हो।

इन जरूरतों को पूरा करने के लिए कॉम्प्लेक्स नंबर बनाए गए। इसके निर्माण से, -4 को निम्नानुसार विकसित किया जा सकता है:

√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·2² = 2√(– 1)

A (-1) को एक नए प्रकार की संख्या के रूप में समझा जाता है। इन सभी संख्याओं के समुच्चय को सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के रूप में जाना जाता है, और इस नए समुच्चय के प्रत्येक प्रतिनिधि को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: मान लीजिए कि A एक सम्मिश्र संख्या है, तो,

ए = + खमैं कहां तथा ख वास्तविक संख्याएँ हैं और i = (-1)

इस परिभाषा में, इसे यह भी कहा जाता है A. का वास्तविक भाग तथा ख इसे यह भी कहा जाता है ए का काल्पनिक हिस्सा।

सम्मिश्र संख्याओं के गुण

वास्तविक संख्याएँ, उनकी संपूर्णता में और ज्यामितीय रूप से, एक रेखा का प्रतिनिधित्व करती हैं। जटिल संख्याएं, बदले में, एक संपूर्ण विमान का प्रतिनिधित्व करती हैं। सम्मिश्र संख्याओं को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त कार्टेशियन तल को Argand-Gauss समतल के रूप में जाना जाता है।

प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को आर्गंड-गॉस तल पर निर्देशांक के एक बिंदु (ए, बी) के रूप में दर्शाया जा सकता है। किसी सम्मिश्र संख्या को निरूपित करने वाले बिंदु से बिंदु (0,0) तक की दूरी सम्मिश्र संख्या का मापांक कहलाती है।, जिसे परिभाषित किया गया है:

मान लीजिए A = a + bi एक सम्मिश्र संख्या है, इसका मापांक है |A| = ए² + बी²

सम्मिश्र संख्याओं में एक व्युत्क्रम तत्व भी होता है, जिसे संयुग्म कहा जाता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

मान लीजिए A = a + bi एक सम्मिश्र संख्या है,

Ā = a – bi इस संख्या का संयुग्म है।

संपत्ति 1: एक सम्मिश्र संख्या और उसके संयुग्म का गुणनफल वास्तविक भाग के वर्गों और सम्मिश्र संख्या के काल्पनिक भाग के योग के बराबर होता है। गणितीय रूप से:

एĀ = ए² + बी²

उदाहरण: A = 2 + 5i का उसके संयुग्म से गुणनफल क्या है?

बस गणना करें: a² + बी² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29. यदि हम A का संयुग्म लिखना चुनते हैं और उसके बाद, गुणन AĀ करते हैं, तो हमारे पास होगा:

एĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)

एĀ = 4 - 10i + 10i + 25

एĀ = 4 + 25

एĀ = 29

यानी प्रस्तावित संपत्ति का उपयोग करके लंबी गणना के साथ-साथ इन गणनाओं के दौरान त्रुटियों से बचना संभव है।

संपत्ति 2: यदि एक सम्मिश्र संख्या A उसके संयुग्म के बराबर है, तो A एक वास्तविक संख्या है।

मान लीजिए ए = ए + द्वि। यदि ए =, तो:

ए + द्वि = ए - द्वि

द्वि = - द्वि

बी = - बी

इसलिए, बी = 0

अतः यह अनिवार्य है कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या अपने संयुग्म के बराबर भी एक वास्तविक संख्या हो।

संपत्ति 3: दो सम्मिश्र संख्याओं के योग का संयुग्म इन संख्याओं के संयुग्मों के योग के बराबर होता है।, अर्थात्:

_____ _ _ 
ए + बी = ए + बी

उदाहरण: 7 + 9i और 2 + 4i के योग का संयुग्म क्या है?

____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i

आप पहले जोड़ सकते हैं और फिर परिणाम के संयुग्म की गणना कर सकते हैं, या पहले संयुग्मित कर सकते हैं और बाद में परिणाम जोड़ सकते हैं।

संपत्ति 4: दो सम्मिश्र संख्याओं के बीच गुणनफल का संयुग्म उनके संयुग्मों के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात:

__ _ _
एबी = ए · बी

उदाहरण: A = 7i + 10 और B = 4 + 3i के संयुग्मों का गुणनफल क्या है?

(10 + 7i)·(4 + 3i) = (10 – 7i)·(4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i

अभ्यास की आवश्यकता के आधार पर, पहले गुणा करना और बाद में संयुग्म की गणना करना संभव है, या गुणन करने से पहले संयुग्मों को प्रदर्शित करना संभव है।

संपत्ति 5: एक सम्मिश्र संख्या A और उसके संयुग्म का गुणनफल A के मापांक के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात:

एĀ = |ए|²

उदाहरण: ए = 2 + 6i, फिर एĀ = |ए|² = (√a² + बी²)² = (√2² + 6²)² = 2² + 6² = 4 + 16 = 20. ध्यान दें कि संयुग्म को खोजने और गुणन की वितरण संपत्ति के माध्यम से गुणा करने के लिए आवश्यक नहीं है (जिसे छोटे शावरहेड के रूप में जाना जाता है)।

संपत्ति 6: एक सम्मिश्र संख्या का मापांक उसके संयुग्म के मापांक के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में:

|ए| = |Ā|

उदाहरण: सम्मिश्र संख्या A = 3 + 4i के संयुग्म का मापांक ज्ञात कीजिए।

ध्यान दें कि संयुग्म को खोजना आवश्यक नहीं है, क्योंकि मॉड्यूल समान हैं।

|ए| = (ए² + बी²)= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

अगर |Ā| की गणना की जाती, तो केवल एक ही परिवर्तन होता ख नकारात्मक वर्ग, जिसका सकारात्मक परिणाम है। इस प्रकार, परिणाम अभी भी 25 का मूल होगा।

संपत्ति 7: यदि A और B सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो A और B का मापांक गुणनफल A और B के गुणनफल के मापांक के बराबर होता है।, अर्थात:

|एबी| = |ए||बी|

उदाहरण: मान लीजिए A = 6 + 8i और B = 4 + 3i, कितना है |AB|?

ध्यान दें कि मापांक की गणना करने से पहले जटिल संख्याओं को गुणा करना आवश्यक नहीं है। प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के मापांक की अलग से गणना करना और फिर परिणामों को गुणा करना संभव है।

|ए| = (६ .)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

|बी| = (४ .)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

|एबी| = |ए||बी| = १०·५ = ५०

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm