संयुक्त विश्लेषण गिनती के नियमों से जुड़े गणित में अध्ययन का एक क्षेत्र है। १८वीं शताब्दी की शुरुआत में, पासा और ताश से जुड़े खेलों के अध्ययन से गिनती के सिद्धांतों का बहुत विकास हुआ।
कॉम्बिनेटरिक्स का काम तेजी से सटीक गणना की प्राप्ति को सक्षम बनाता है।गिनती का मूल सिद्धांत (पीएफसी)फैक्टोरियल और ग्रुपिंग के प्रकार कॉम्बीनेटरियल विश्लेषण में अध्ययन की गई अवधारणाओं के उदाहरण हैं, जो प्रदान करने के अलावा बड़ा सटीक मदद करता है नहीं नगणित के अन्य क्षेत्रों का विकास, जैसे संभावना और हे न्यूटन का द्विपद.
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संयोजक विश्लेषण किसके लिए है?
संयुक्त विश्लेषण मतगणना प्रक्रिया से जुड़ा है, अर्थात्, गणित के इस क्षेत्र का अध्ययन हमें ऐसे उपकरण विकसित करने की अनुमति देता है जो हमें प्रदर्शन करने में मदद करते हैं। अधिक कुशलता से गिना जाता है. आइए एक सामान्य गिनती समस्या को देखें, देखें:
उदाहरण 1
राजमार्ग R. से जुड़े तीन शहरों A, B और C पर विचार करें1, र2, र3, र4 और आर5. निर्धारित करें कि हम शहर A से शहर B होते हुए शहर C तक कितने रास्ते पहुँच सकते हैं।
ध्यान दें कि हमें शहर ए को छोड़कर शहर बी जाना है, और उसके बाद ही हम शहर सी की यात्रा कर सकते हैं, तो आइए सभी का विश्लेषण करें संभावनाओं राजमार्गों के बाद घटना को अंजाम देने के लिए।
पहला तरीका: आर1 → आर3
दूसरा तरीका: आर1 → आर4
तीसरा तरीका: आर1 → आर5
चौथा तरीका: आर2 → आर3
पाँचवाँ रास्ता: आर2 → आर4
छठा तरीका: आर2 → आर5
इसलिए हमारे पास शहर A से शहर C होते हुए शहर B तक जाने के लिए छह अलग-अलग रास्ते हैं। हालांकि, ध्यान दें कि प्रस्तावित समस्या अपेक्षाकृत सरल है और किया गया विश्लेषण थोड़ा श्रमसाध्य था। इसलिए, अब से, हम और अधिक परिष्कृत उपकरणों का अध्ययन करने जा रहे हैं जो बहुत कम काम में समस्याओं को हल करना संभव बनाते हैं।
मतगणना का मूल सिद्धांत (पीएफसी)
एक घटना E पर विचार करें जिसे n स्वतंत्र और लगातार चरणों में किया जा सकता है। अब, विचार करें कि पहला चरण करने की संभावनाओं की संख्या P. के बराबर है1, यह भी कल्पना करें कि दूसरे चरण को पूरा करने की संभावनाओं की संख्या P है।2, और इसी तरह, जब तक हम अंतिम चरण तक नहीं पहुँच जाते, जिसमें P. हैनहीं न प्रदर्शन करने की संभावनाएं।
मतगणना के मौलिक सिद्धांत (पीएफसी) में कहा गया है कि कुल संभावनाएं घटना E को आयोजित करने के द्वारा दिया जाता है:
पी1 · पी2 ·… · पीनहीं न
इस प्रकार, घटना E का गठन करने वाले प्रत्येक चरण की संभावनाओं के गुणनफल द्वारा कुल दिया जाता है। ध्यान दें कि, घटना E के आयोजन की कुल संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक चरण के लिए कुल संभावनाओं को जानना आवश्यक है।
उदाहरण 2
आइए गिनती के मूल सिद्धांत का उपयोग करके उदाहरण 1 को फिर से करें।
उदाहरण 1 में छवि पर विचार करें।
ध्यान दें कि ईवेंट को दो चरणों में चलाया जा सकता है, पहला शहर A से शहर B तक जा रहा है, और दूसरा शहर B से शहर C तक जा रहा है। पहला कदम उठाने के लिए, हमारे पास दो संभावनाएं हैं (सड़कें R1 और आर2), और दूसरे चरण को पूरा करने के लिए, हमारे पास तीन संभावनाएं हैं (R .)3, र4 और आर5).
पहला चरण → दो संभावनाएं
दूसरा चरण → तीन संभावनाएं
मतगणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, हमें अवश्य करना चाहिए गुणा प्रत्येक चरण की कुल संभावनाएं.
2 · 3
6
इसलिए, शहर ए से शहर सी तक शहर बी के माध्यम से जाने के लिए, हमारे पास कुल छह संभावनाएं हैं।
उदाहरण 3
Olympic की प्रतियोगिता में तीन ओलंपिक पदक कितने तरीकों से वितरित किए जा सकते हैं? पहाड़ी साइकिल पांच प्रतियोगियों के साथ?
पदकों के वितरण का आयोजन एक ऐसी घटना है जिसे तीन चरणों में किया जा सकता है। स्वर्ण पदक किसे मिलेगा, इसकी कुल संभावनाओं का विश्लेषण करने के लिए पहला कदम है, पांच संभावनाएं।
दूसरा कदम यह है कि रजत पदक किसे मिलेगा, इसकी संभावनाओं का विश्लेषण करना, यानी चार, चूंकि पहला स्थान इस विकल्प में प्रवेश नहीं करता है। तीसरा चरण कांस्य पदक किसे मिलेगा, इसकी कुल संभावनाओं का विश्लेषण करना है। तीन, चूंकि पहले दो पहले ही चुने जा चुके हैं।
पहला चरण → पांच संभावनाएं
दूसरा चरण → चार संभावनाएं
तीसरा चरण → तीन संभावनाएं
तो, गिनती के मूल सिद्धांत से, हमारे पास है:
5 · 4 · 3
60 संभावनाएं
यह भी देखें: योगात्मक गणना सिद्धांत - एक या एक से अधिक समुच्चयों का मिलन
कारख़ाने का
हे कारख़ाने का का एक तरीका है एक प्राकृतिक संख्या को विघटित करें. किसी संख्या के भाज्य की गणना करने के लिए, बस इसे उसके सभी पूर्ववर्तियों से संख्या 1 तक गुणा करें। भाज्य को विस्मयादिबोधक चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है - "!"।
कुछ संख्याओं के भाज्य की गणना कैसे करें, इसके कुछ उदाहरण देखें।
द) 2! (पढ़ें: टू फैक्टोरियल)
गणना के लिए, भाज्य के साथ आने वाली संख्या को उसके सभी पूर्ववर्तियों द्वारा संख्या 1 तक इस प्रकार गुणा करें:
2! = 2 ·1 = 2
बी) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
सी) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
घ) 1! = 1
औपचारिक रूप से हम भाज्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
एक प्राकृत संख्या n > 2 पर विचार करें। n का भाज्य n द्वारा दर्शाया गया है! और n को उसके सभी धनात्मक पूर्णांक पूर्ववर्तियों से गुणा करके दिया जाता है।
नहीं न! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1
निम्नलिखित फैक्टोरियल पर ध्यान दें:
4! और 5!
अब दोनों का विकास करें:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
ध्यान दें कि 5 के विकास में! 4 का विकास प्रतीत होता है! तो हम 5 लिख सकते हैं! इस प्रकार:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
उदाहरण 4
भाज्य सेकंड की गणना करेंगरजना:
देखें कि 15! 13 तक विकसित किया गया था!. यह भी ध्यान दें कि, भिन्न के अंश में, तत्वों को गुणा किया जा रहा है, इसलिए हम 13 को "काट" सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप केवल 15 · 14 होता है।
अवलोकन:0! = 1
समूहीकरण प्रकार
कुछ गिनती की समस्याएं अधिक जटिल हैं और नए उपकरणों के साथ अधिक आसानी से हल हो जाती हैं। इन उपकरणों को समूहीकरण कहा जाता है क्योंकि ये तत्वों को अलग-अलग तरीकों से समूहित करते हैं, जिससे गिनती प्रक्रिया आसान हो जाती है। ये समूह हैं: सरल व्यवस्था, क्रमपरिवर्तन और सरल संयोजन।
सरल व्यवस्था
n भिन्न तत्वों वाले समुच्चय पर विचार करें। चलो इसे कहते हैं व्यवस्था n से p से p तक लिए गए तत्व, p द्वारा क्रमित कोई भी क्रम और तत्वों में से चुने गए अलग-अलग तत्व।
इस प्रकार, p तत्वों द्वारा गठित उपसमुच्चय की संख्या p से p तक n तत्वों की व्यवस्था होगी। वह सूत्र जो हमें व्यवस्थाओं की संख्या की गणना करने की अनुमति देता है, निम्न द्वारा दिया गया है:
उदाहरण 5
A. के मान की गणना करें4,2 + ए5,2.
व्यंजक के मान की गणना करने के लिए, आइए प्रत्येक सरणी का निर्धारण करें और फिर उन मानों को एक साथ जोड़ें। प्रत्येक सरणी का मान निर्धारित करने के लिए, हमें सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना होगा।
ध्यान दें कि n = 4 और p = 2, दोनों को सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है। अब, हमें दो बटा दो लेकर पांच तत्वों की सरणी के मूल्य की गणना करनी चाहिए।
तो, हमें करना होगा:
4,2 + ए5,2
12 + 20
32
उदाहरण 6
संख्या 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 का उपयोग करके चार अंकों की कितनी भिन्न प्राकृत संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
इस समस्या में हम 2435 4235 से साधारण व्यवस्था का उपयोग कर सकते हैं। हम देखेंगे कि, कुछ मामलों में, तत्वों का क्रम उन्हें अलग नहीं करता है, और इस प्रकार हम व्यवस्था का उपयोग नहीं कर सकते हैं।
चूँकि हम बनने वाली कुल संख्याओं का निर्धारण करना चाहते हैं, ध्यान दें कि तत्वों का योग बराबर है आठ, और हम उन्हें चार बटा चार समूहित करना चाहते हैं, इसलिए:
सरल क्रमपरिवर्तन
एन तत्वों के साथ एक सेट पर विचार करें। चलो इसे कहते हैं सरल क्रमपरिवर्तन n तत्वों का n तत्वों की प्रत्येक व्यवस्था को n से n. तक ले जाया गया. तो हमें करना होगा:
ताकि अवधारणाओं के बीच कोई भ्रम न हो, आइए हम n तत्वों के सरल क्रमपरिवर्तन को P. द्वारा निरूपित करेंनहीं न. तो हमें करना होगा:
पीनहीं न = एन!
उदाहरण 7
पी की गणना करें7 और पी3.
इन क्रमपरिवर्तनों की गणना करने के लिए, हमें सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना होगा। देखो:
पी7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
पी7 = 5040
पी3 = 3 · 2 · 1
पी3 = 6
उदाहरण 8
निर्धारित करें कि ब्राज़ील शब्द में कितने विपर्यय हो सकते हैं।
हम शब्द के अक्षरों के सभी संभावित ट्रांसपोज़िशन को विपर्यय के रूप में समझते हैं, उदाहरण के लिए, "लिसर्ब" एक है अनाग्राम ब्राजील शब्द से। विपर्यय की संख्या निर्धारित करने के लिए, हमें शब्द में अक्षरों के क्रमपरिवर्तन की गणना करनी चाहिए, इसलिए हमें यह करना होगा:
पी6 = 6!
पी6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
पी6 = 720
इसलिए, ब्राजील शब्द में 720 विपर्यय हैं।
साथ ही पहुंचें: दोहराए गए तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन
सरल संयोजन
एक सेट ए पर विचार करें जिसमें n अलग-अलग तत्व हों। चलो इसे कहते हैं मेल p से p तक ले जाने वाले n तत्वों में से पी तत्वों द्वारा गठित ए का कोई सबसेट. संयोजन की गणना के लिए सूत्र द्वारा दिया गया है:
उदाहरण 9
चार से चार तक लिए गए 10 तत्वों के संयोजन की गणना करें।
उदाहरण 10
कितने चतुर्भुज क्या हम बिंदुओं A, B, C, D, E और F पर शीर्षों के साथ भिन्न बना सकते हैं?
ध्यान दें कि ABCD चतुर्भुज इस संदर्भ में CDBA चतुर्भुज के समान है, इसलिए हमें संयोजन का उपयोग करना चाहिए न कि सरणियों का। हमारे पास कुल छह अंक हैं और हम उन्हें इस तरह चार से चार जोड़ना चाहते हैं:
इसलिए, हम 15 अलग-अलग चतुर्भुज बना सकते हैं।
संयुक्त विश्लेषण और संभाव्यता
की पढ़ाई संभाव्यता संयोजनीय विश्लेषण के अध्ययन से निकटता से संबंधित है।. कुछ संभाव्यता समस्याओं में, नमूना स्थान निर्धारित करना आवश्यक है, जिसमें किसी दिए गए घटना के सभी संभावित परिणामों द्वारा गठित एक सेट होता है।
कुछ मामलों में, नमूना स्थान ई बहुत सीधे लिखा जाता है, जैसे कि एक निष्पक्ष सिक्के के फ्लिप में, जहां संभावित परिणाम शीर्ष या पूंछ होते हैं और निम्नानुसार दर्शाए जाते हैं:
ई = {सिर, पूंछ}
अब निम्नलिखित स्थिति की कल्पना करें: एक पासे को लगातार तीन बार फेंका जाता है और हम इस प्रयोग के लिए नमूना स्थान निर्धारित करने में रुचि रखते हैं। ध्यान दें कि सभी संभावनाओं को लिखना अब कोई आसान काम नहीं है, हमें गिनती के मूल सिद्धांत (पीएफसी) का उपयोग करने की आवश्यकता है। घटना को तीन चरणों में अंजाम दिया जा सकता है, उनमें से प्रत्येक में हमारे पास छह संभावनाएं हैं, क्योंकि एक पासे के छह चेहरे हैं, जैसे:
पहला चरण → छह संभावनाएं
दूसरा चरण → छह संभावनाएं
तीसरा चरण → छह संभावनाएं
पीएफसी द्वारा, हमारे पास कुल संभावनाएं हैं:
6 · 6 · 6
216
अतः हम कह सकते हैं कि इस घटना का प्रतिदर्श समष्टि 216 है।
देखें कि प्रायिकता के अध्ययन के लिए यह है संयोजक विश्लेषण का एक बुनियादी ज्ञान आवश्यक है।, क्योंकि, किसी प्रयोग के प्रतिदर्श समष्टि का निर्धारण किए बिना, प्रायिकता अभ्यासों के विशाल बहुमत को हल करना असंभव है। अधिक जानकारी के लिए गणित के इस क्षेत्र के बारे में, पाठ पढ़ें:संभावना.
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - महल शब्द के विपर्यय की संख्या निर्धारित करें। फिर c अक्षर से शुरू होने वाले विपर्यय की संख्या निर्धारित करें।
संकल्प
विपर्यय की संख्या निर्धारित करने के लिए, हमें अक्षरों की संख्या के क्रमपरिवर्तन की गणना इस तरह करनी चाहिए:
पी7 = 7!
पी7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
पी7 = 5040
इस शब्द में 5040 विपर्यय हैं। अब, अक्षर c से शुरू होने वाले विपर्यय की संख्या निर्धारित करने के लिए, हमें अक्षर को ठीक करना चाहिए और दूसरों के विपर्यय की गणना करनी चाहिए, देखें:
सी__ __ __ __ __ __
जब हम अक्षर c को ठीक करते हैं, तो ध्यान दें कि क्रमपरिवर्तन की गणना करने के लिए छह फ़ील्ड शेष हैं, जैसे:
पी6 = 6!
पी6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
पी6 = 720
तो हमारे पास महल शब्द के 720 विपर्यय हैं जो अक्षर c से शुरू होते हैं।
प्रश्न 2 - एक कक्षा में पांच पुरुष और सात महिलाएं हैं। तीन पुरुषों और चार महिलाओं के कितने समूह बनाए जा सकते हैं?
संकल्प
सबसे पहले, देखें कि जिस क्रम में हम लोगों को चुनते हैं, कोई फर्क नहीं पड़ता, उदाहरण के लिए जोआओ द्वारा गठित समूह, मार्कोस और जोस मार्कोस, जोआओ और जोस द्वारा गठित एक ही समूह है, इसलिए, हमें संयोजन का उपयोग करना चाहिए गणना।
आइए अलग-अलग समूहों की संख्या की गणना करें जो पुरुषों और महिलाओं द्वारा बनाई जा सकती हैं, और में फिर आइए इन परिणामों को गुणा करें, क्योंकि पुरुषों का प्रत्येक समूह के प्रत्येक समूह के साथ मिल सकता है महिलाओं।
पुरुषों
कुल → 5
समूह में मात्रा → 3
महिलाओं
कुल → 7
समूह में मात्रा → 4
इसलिए, तीन पुरुषों और चार महिलाओं द्वारा बनाए जा सकने वाले समूहों की कुल संख्या है:
सी5,3 · सी7,4
10 · 35
350
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
