आप समानांतर चतुर्भुज के बहुभुज हैं समतल ज्यामिति हमारे दैनिक जीवन में सामान्य ज्यामितीय आंकड़े होने के लिए व्यापक रूप से खोज की गई। हम एक समांतर चतुर्भुज को एक बहुभुज के रूप में परिभाषित करते हैं जिसमें विपरीत पक्ष समानांतर, एक विशेषता जिसके परिणामस्वरूप अनन्य गुण होते हैं।
समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं वर्ग, आयत और हीरे. इनमें से प्रत्येक बहुभुज के लिए, क्षेत्रफल और परिधि की गणना के लिए विशिष्ट सूत्र हैं।
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समांतर चतुर्भुज के तत्वElement
एक समांतर चतुर्भुज होने के लिए, बहुभुज विपरीत भुजाएँ समानांतर होनी चाहिए. विशिष्ट विशेषताओं के रूप में, हमें यह करना होगा:
प्रत्येक समांतर चतुर्भुज चार भुजाओं से बना होता है, और विपरीत भुजाएँ होती हैं समानताएं.
प्रत्येक समांतर चतुर्भुज में चार आंतरिक कोण होते हैं, और इन कोणों का योग हमेशा 360º के बराबर होता है।
प्रत्येक समांतर चतुर्भुज में दो विकर्ण होते हैं।
याद रखें कि समांतर चतुर्भुज हैं के विशेष मामले चतुर्भुज, इसलिए ऐसी विशेषताएं हैं जो इन ज्यामितीय आकृतियों से विरासत में मिली हैं, जैसे कि दो विकर्णों का अस्तित्व, चार भुजाएँ और चार कोण, साथ ही आंतरिक और बाहरी कोणों का योग हमेशा के बराबर होता है 360º.
समांतर चतुर्भुज के गुण Properties
पहली संपत्ति: एक समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ सर्वांगसम होती हैं, अर्थात् उनकी माप समान होती है।
दूसरी संपत्ति: एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण सर्वांगसम होते हैं, और दो क्रमागत कोण हमेशा संपूरक होते हैं (योग 180° के बराबर होता है)।
यह जानते हुए कि AB और CD समानांतर हैं, तो भुजाएँ BC और AD, AB और CD के अनुप्रस्थ हैं; फलस्वरूप, कोणों गठित (w और x) पूरक हैं क्योंकि वे आंतरिक संपार्श्विक कोण हैं। इसके अलावा, यह प्रदर्शित करना संभव है कि कोण x और z सर्वांगसम हैं।
- तीसरी संपत्ति: एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को आधा काट दिया जाता है।
जब हम एक समांतर चतुर्भुज के दो विकर्ण खींचते हैं, तो उनका मिलन बिंदु प्रत्येक को उसके मध्य बिंदुओं में विभाजित करता है।
एएम = सीएम
बीएम = डीएम
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समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल Area
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, सामान्यतया, आधार और ऊंचाई के उत्पाद द्वारा गणना की जाती है। ऐसे विशेष मामले (आयत, हीरे और वर्ग) हैं जिनके विशिष्ट सूत्र हैं - उन्हें इस पूरे पाठ में प्रस्तुत किया जाएगा - लेकिन वे सामान्य रूप से उत्पन्न होते हैं।
ए = बी.एच.यू
बी: आधार
एच: ऊंचाई
समांतर चतुर्भुज का परिमाप
हे परिमाप द्वारा दिया गया है सभी तरफ से योग। चूंकि एक समांतर चतुर्भुज में आम तौर पर दो समान भुजाएँ होती हैं, इसका परिमाप निम्न द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:
पी = 2 (ए + बी)
समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले
जैसा कि हम जानते हैं, परिभाषा के अनुसार, एक समांतर चतुर्भुज होने के लिए, बहुभुज में समानांतर भुजाएँ होनी चाहिए। तीन चतुर्भुज हैं जिन्हें समांतर चतुर्भुज के विशेष मामलों के रूप में माना जाता है: आयत, हीरा और वर्ग।
वर्ग
हम बुलाते है वर्ग एक चार भुजाओं वाला बहुभुज जिसमें चार भुजाएँ और चार सर्वांगसम कोण होते हैं - प्रत्येक कोण ठीक 90 डिग्री का होता है। चूँकि वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है, वर्ग के लिए सभी गुण मान्य हैं।
एक वर्ग और उसके परिधि के क्षेत्रफल की गणना उसी तरह की जाती है जैसे समांतर चतुर्भुज के साथ की जाती है, लेकिन चूँकि वर्ग की सभी भुजाएँ समान हैं, इसलिए हम वर्ग के क्षेत्रफल और परिमाप को इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं:
ए = एल²
पी = 4.1
आयत
हे आयत यह एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी सर्वांगसम कोण होते हैं। इसे यह नाम इसलिए मिला है क्योंकि आपके सभी कोण सीधे हैंअर्थात् चारों कोणों की माप 90º है। आयत क्षेत्र समांतर चतुर्भुज क्षेत्र के समान है, लेकिन हम ऊर्ध्वाधर पक्ष को ऊंचाई मान सकते हैं, आखिरकार, यह आधार के लंबवत है।
ए =ए.बी
पी = 2 (ए + बी)
हीरा
हे हीरा यह एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ सर्वांगसम हैं। ध्यान दें कि कोणों पर कोई प्रतिबंध नहीं है, वे भिन्न हो सकते हैं या नहीं। पिछले उदाहरणों से अलग, हीरे के क्षेत्रफल की गणना उसके विकर्णों पर आधारित होती है। हीरे के विकर्णों और उसकी भुजाओं के बीच भी बहुत महत्वपूर्ण संबंध होता है।
डी: बड़ा विकर्ण
डी: छोटा विकर्ण
एल: साइड
किसी भी हीरे को देखते हुए, हम जानते हैं कि विकर्ण मध्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे चार समकोण त्रिभुज बनते हैं। इनमें से किसी एक त्रिभुज का विश्लेषण करने पर यह देखा जा सकता है कि a पाइथागोरस संबंध प्रत्येक विकर्ण की भुजा और आधे के बीच।
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समांतर चतुर्भुज के बीच संबंध
समांतर चतुर्भुज की परिभाषा को अच्छी तरह से समझना महत्वपूर्ण है, ताकि वर्गीकरण के दौरान कोई जटिलता न हो। यह याद रखना हमेशा अच्छा होता है कि प्रत्येक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है, लेकिन प्रत्येक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज नहीं है.
हम यह भी कह सकते हैं कि प्रत्येक आयत, प्रत्येक वर्ग और प्रत्येक समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होते हैं। इसके अलावा, समांतर चतुर्भुज के विशेष मामलों की तुलना करते हुए, हम एक और संबंध देख सकते हैं, क्योंकि वर्ग इसमें सर्वांगसम कोण हैं, जो आयत की परिभाषा है, और सर्वांगसम भुजाएँ भी हैं, जो कि की परिभाषा है हीरा। परिणामस्वरूप, हम कह सकते हैं कि हर वर्ग एक आयत है और एक हीरा भी.
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - यह जानते हुए कि नीचे दी गई आकृति एक समांतर चतुर्भुज है, क्रमशः x, y और z का मान क्या होगा?
क) ४०,१४० और १८०
बी) ३०, १०० और १००
ग) 25, 140 और 95
डी) 30, 90 और 145
ई) 45, 55 और 220
संकल्प
पहला कदम: समांतर चतुर्भुज गुण का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि सम्मुख कोण बराबर होते हैं। छवि का विश्लेषण करते समय, इस संपत्ति का उपयोग शीर्ष कोणों बी और डी पर करना अधिक सुविधाजनक होता है, क्योंकि उनके पास एक ही अज्ञात है।
दूसरा चरण: यह जानते हुए कि क्रमागत कोण संपूरक हैं और x = 25, y का मान ज्ञात करना संभव है।
तीसरा चरण: चूँकि शीर्षों C और A के कोण विपरीत हैं, वे सर्वांगसम हैं, इसलिए हम z का मान ज्ञात कर सकते हैं।
वैकल्पिक सी.
प्रश्न 2 - नीचे दिए गए समांतर चतुर्भुज (भुजाओं को सेंटीमीटर में मापा जाता है) के क्षेत्रफल की गणना करें।
ए) 16 सेमी²
बी) 32 सेमी
सी) 8 सेमी²
घ) 64 सेमी²
ई) 40 सेमी²
संकल्प
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पहले h का मान ज्ञात करना आवश्यक है। ध्यान दें कि त्रिभुज AEB 5 के बराबर कर्ण आयत है, इसलिए हम h का मान ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।
वैकल्पिक बी.
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/paralelogramos.htm
