द्वितीय डिग्री फ़ंक्शन या द्विघात फ़ंक्शन

द्वितीय डिग्री फ़ंक्शन या द्विघात फ़ंक्शन है कब्जे वास्तविक डोमेन, अर्थात कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है एक्स और, प्रत्येक वास्तविक संख्या x से, हम ax² + bx + c के रूप की एक संख्या को जोड़ते हैं।

दूसरे शब्दों में, द्विघात फलन f द्वारा परिभाषित किया गया है:

हम नीचे देखेंगे कि इस प्रकार के फलन की गणना कैसे करें, फलन के मूल ज्ञात करने के लिए भास्कर के सूत्र को याद करते हुए ग्राफ के प्रकार, उसके तत्वों को जानने के अलावा और प्राप्त आंकड़ों की व्याख्या के आधार पर इसे कैसे खींचना है besides समाधान।

द्विघात फलन कार्तीय तल पर एक परवलय बनाता है।

दूसरा डिग्री फ़ंक्शन क्या है?

एक फलन f: R à → को द्वितीय डिग्री फलन या द्विघात फलन कहा जाता है, जब a, b, c € R a 0 के साथ हो, ताकि एफ (एक्स) = कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी, सभी x € R के लिए।

उदाहरण:

• एफ (एक्स) = 6x² - 4x + 5 → = 6; ख = -4; सी = 5.
• एफ (एक्स) = एक्स² - 9 → = 1; ख = 0; सी = -9.
• एफ (एक्स) = 3x² +3x → = 3; ख = 3; सी = 0.
• एफ (एक्स) = एक्स² - एक्स → = 1; ख = -1; सी = 0.

प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए एक्स, हमें आवश्यक कार्यों को प्रतिस्थापित करना चाहिए और उन्हें पूरा करना चाहिए अपनी तस्वीर ढूंढें. निम्नलिखित उदाहरण देखें:

आइए फलन f(x) = 6x. की वास्तविक संख्या -2 का प्रतिबिंब ज्ञात करें² - 4x + 5. ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन में दिए गए वास्तविक नंबर को इस तरह बदलें:

च(-2) = 6(-2)² – 4(-2) +5

च (-2) = 6(4) + 8 +5

च (-2) = 24 + 8 + 5

च (-2) = 37

अत: संख्या -2 का प्रतिबिम्ब 27 है, जिसके परिणामस्वरूप क्रमित युग्म (-2; 37).

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द्विघात फलन का ग्राफ

स्केचिंग करते समय द्विघात फलन ग्राफ, हमें एक वक्र मिला, जिसे हम कहेंगे दृष्टान्त। तुम्हारी अवतलता गुणांक पर निर्भर करती है समारोह के एफ. जब फ़ंक्शन में गुणांक होता है 0 से अधिक, परवलय ऊपर की ओर अवतल होगा; जब गुणांक 0 से कम है, परवलय अवतल नीचे होगा।

द्विघात फलन की जड़ें

द्विघात फलन के मूल फलन के अक्षों के साथ फलन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु प्रदान करते हैं। कार्तीय विमान. जब हम y = ax. के रूप के द्विघात फलन पर विचार करते हैं² + बीएक्स + सी और हम शुरू में लेते हैं एक्स = 0, आइए O अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करें_यू. अब अगर हम वाई = 0, आइए अक्ष O. के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करें_{एक्स,}अर्थात्, समीकरण के मूल X अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन प्रदान करते हैं। एक उदाहरण देखें:

ए) वाई = एक्स² - 4x

आइए x = 0 लेते हैं और इसे दिए गए फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं। तो, y = 0² – 4 (0) = 0. ध्यान दें कि जब x = 0 होता है, तो हमारे पास y = 0 होता है। अतः हमें निम्नलिखित क्रमित युग्म (0, 0) प्राप्त होता है। यह क्रमित युग्म y-अवरोधन देता है। अब, y = 0 लेते हुए और फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करने पर, हम निम्नलिखित प्राप्त करेंगे:

एक्स² - 4x = 0

एक्स। (एक्स - 4) = 0

एक्स' = 0

एक्स ''-4 = 0

एक्स '' = 4

इसलिए, हमारे पास दो प्रतिच्छेदन बिंदु (0, 0) और (4, 0) हैं और, कार्तीय तल में, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

महसूस करें कि हम के संबंध का उपयोग कर सकते हैं भास्कर फ़ंक्शन के शून्य को खोजने के लिए। इसके साथ, हम एक बहुत ही महत्वपूर्ण उपकरण प्राप्त करते हैं: विवेचक को देखते हुए, हम यह जान सकते हैं कि ग्राफ़ X अक्ष को कितने स्थानों पर काटता है।

• यदि डेल्टा शून्य (सकारात्मक) से अधिक है, तो ग्राफ़ x अक्ष को दो बिंदुओं में "काटता" है, अर्थात हमारे पास x' और x'' है।
• यदि डेल्टा शून्य के बराबर है, तो ग्राफ़ x-अक्ष को एक बिंदु, यानी x' = x'' पर "काटता है"।
• यदि डेल्टा शून्य (ऋणात्मक) से कम है, तो ग्राफ x-अक्ष को "काट" नहीं करता है क्योंकि कोई मूल नहीं है।

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - फलन दिया गया है f (x) = -x² + 2x - 4। निर्धारित करें:

क) ओ अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन_वाई

बी) ओ अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन_{एक्स।}

c) फंक्शन का ग्राफ बनाएं।

समाधान:

ए) ओ अक्ष के साथ चौराहे का निर्धारण करने के लिए_यू , बस x =. का मान लें

बी) 0. -(0)² +2(0) – 4

0 + 0 – 4

-4

अतः हमें क्रमित युग्म (0, -4) प्राप्त होता है।

ग) O अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए_एक्स, बस y = 0 का मान लें। इस प्रकार:

-एक्स² +2x - 4 = 0

भास्कर की विधि का उपयोग करते हुए, हमें यह करना होगा:

= बी² - 4ac

Δ = (2)² - 4(-1)(-4)

Δ = 4 - 16

Δ = -12

चूँकि विवेचक का मान शून्य से कम है, फलन X अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है।

d) ग्राफ को स्केच करने के लिए, हमें प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखना चाहिए और परवलय की अंतराल का विश्लेषण करना चाहिए। चूँकि a <0, परवलय नीचे की ओर अवतल होगा। इस प्रकार:

रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-de-segundo-grau.htm