संख्यात्मक सेट संख्याओं के संग्रह हैं जिनमें समान विशेषताएं हैं। वे एक निश्चित ऐतिहासिक काल में मानवता की जरूरतों के परिणामस्वरूप पैदा हुए थे। देखें कि वे क्या हैं!
प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय
का समूह प्राकृतिक संख्या यह पहली बार सुना गया था। यह गिनती करने की सरल आवश्यकता से पैदा हुआ था, इसलिए इसके तत्व केवल पूर्ण संख्याएँ हैं और ऋणात्मक नहीं हैं।
N द्वारा निरूपित, प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में निम्नलिखित तत्व होते हैं:
नहीं = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
पूर्णांकों का सेट
का समूह पूर्ण संख्या यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का विस्तार है। यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को ऋणात्मक संख्याओं के साथ मिलाने से बनता है। दूसरे शब्दों में, Z द्वारा दर्शाए गए पूर्णांकों के समुच्चय में निम्नलिखित तत्व होते हैं:
जेड = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
परिमेय संख्याओं का सेट
का समूह परिमेय संख्या मात्राओं को विभाजित करने की आवश्यकता से पैदा हुआ। तो यह संख्याओं का समुच्चय है जिसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। Q द्वारा निरूपित, परिमेय संख्याओं के समुच्चय में निम्नलिखित तत्व होते हैं:
क्यू = {x ∈ Q: x = a/b, a Z और b ∈ N}
उपरोक्त परिभाषा को इस प्रकार पढ़ा जाता है: x परिमेय से संबंधित है, जैसे कि x बराबर है द्वारा विभाजित बी, साथ से पूर्णांकों से संबंधित है और ख प्राकृतिक से संबंधित।
दूसरे शब्दों में, यदि यह एक भिन्न या एक संख्या है जिसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, तो यह एक परिमेय संख्या है।
वे संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है:
1 - सभी पूर्ण संख्याएं;
2 - परिमित दशमलव;
3 - आवधिक दशमांश।
परिमित दशमलव वे होते हैं जिनमें दशमलव स्थानों की एक सीमित संख्या होती है। घड़ी:
1,1
2,32
4,45
आवधिक दशमलव अनंत दशमलव हैं, लेकिन वे अपने दशमलव स्थानों के अंतिम क्रम को दोहराते हैं। घड़ी:
2,333333...
4,45454545...
6,758975897589...
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय
की परिभाषा अपरिमेय संख्या परिमेय संख्याओं की परिभाषा पर निर्भर करता है। इसलिए, वे सभी संख्याएँ जो परिमेय संख्याओं के समुच्चय से संबंधित नहीं हैं, अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय से संबंधित हैं।
इस प्रकार या तो कोई संख्या परिमेय होती है या वह अपरिमेय होती है। इन दो समुच्चयों में एक साथ किसी संख्या के होने की कोई संभावना नहीं है। इस प्रकार अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के ब्रह्मांड में परिमेय संख्याओं के समुच्चय का पूरक होता है।
अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को परिभाषित करने का दूसरा तरीका इस प्रकार है: अपरिमेय संख्याएँ वे हैं जो नहीं न भिन्न रूप में लिखा जा सकता है। क्या वो:
1 - अनंत दशमलव
2 - जड़ें सटीक नहीं
अनंत दशमलव वे संख्याएँ हैं जिनमें अनंत दशमलव स्थान होते हैं और आवधिक दशमांश नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए:
0,12345678910111213...
π
√2
वास्तविक संख्याओं का सेट
का समूह वास्तविक संख्याये ऊपर वर्णित सभी संख्याओं से बनता है। इसकी परिभाषा परिमेय संख्याओं के समुच्चय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच मिलन द्वारा दी गई है। R द्वारा निरूपित इस समुच्चय को गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:
आर = क्यू यू आई = {क्यू + आई}
मैं अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है। इस प्रकार, ऊपर वर्णित सभी संख्याएँ भी वास्तविक संख्याएँ हैं।
जटिल संख्या सेट
का समूह जटिल आंकड़े यह 2 से अधिक या उसके बराबर डिग्री के समीकरणों की गैर-वास्तविक जड़ों को खोजने की आवश्यकता से पैदा हुआ था। x समीकरण को हल करने का प्रयास करते समय2 + 2x + 10 = 0, उदाहरण के लिए, भास्कर के सूत्र से, हमारे पास होगा:
एक्स2 + 2x + 10 = 0
ए = 1, बी = 2 और सी = 10
? = 22 – 4·1·10
? = 4 – 40
? = – 36
उनके पास क्या दूसरी डिग्री समीकरण हैं? <0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है। उनके मूल ज्ञात करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय बनाया गया, जिससे –36 = √36·(–1) = 6·√– 1 = 6i।
C द्वारा निरूपित सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के तत्वों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
z एक सम्मिश्र संख्या है यदि z = a + bi, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i = -1 है।
संख्यात्मक सेटों के बीच संबंध
कुछ अंकीय समुच्चय दूसरों के उपसमुच्चय हैं। इनमें से कुछ संबंधों को पूरे पाठ में हाइलाइट किया गया था, हालांकि, उन सभी को नीचे समझाया जाएगा:
1 - प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है;
2 - पूर्ण संख्याओं का समुच्चय परिमेय संख्याओं के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है;
3 - परिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है;
4 - अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है;
5 - अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय और परिमेय संख्याओं के समुच्चय में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है;
6 - वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
अप्रत्यक्ष रूप से, अन्य संबंध स्थापित करना संभव है। उदाहरण के लिए, यह कहना संभव है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय का उपसमुच्चय है।
ऊपर बताए गए रिश्तों और बनाए जा सकने वाले अप्रत्यक्ष संबंधों के विपरीत पढ़ना भी संभव है। ऐसा करने के लिए, उदाहरण के लिए, यह कहना पर्याप्त है कि पूर्णांकों के समुच्चय में प्राकृत संख्याओं का समुच्चय होता है।
सेट थ्योरी सिम्बोलॉजी का उपयोग करते हुए, इन संबंधों को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm