त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदु: वे क्या हैं?

आप त्रिकोण में कई अनुप्रयोगों के साथ उल्लेखनीय बिंदु हैं।. इनमें से कुछ तत्व, जैसे ऊँचाई, माध्यिका, समद्विभाजक और समद्विभाजक, जो. द्वारा दिए गए हैं सीधे खंड त्रिभुज के अंदर, न केवल गणित में, बल्कि उनके पास महत्वपूर्ण विशेषताएं और अनुप्रयोग हैं।

हम जानते हैं कि दो या दो से अधिक सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन एक बिंदु द्वारा दिया जाता है, इसलिए इन खंडों के मिलने से ऐसे बिंदु बनते हैं जिनमें महत्वपूर्ण विशेषताएं और गुण होते हैं, वे हैं:

• ऑर्थोसेंटर
• केन्द्रक
• circumcenter
• केन्द्र

त्रिभुज प्राथमिक ज्यामितीय आकृतियों में से एक है। इसके गुणों को समझना बहुत जरूरी है।

त्रिकोण ऊंचाई

ए की ऊंचाई त्रिकोण इसके विपरीत पक्ष या इसके विस्तार के साथ एक कोने के संघ द्वारा गठित खंड है, जिसमें खंड और पक्ष के बीच एक 90 ° कोण बनता है। प्रत्येक त्रिभुज में तीन. खींचना संभव है सापेक्ष ऊंचाई प्रत्येक पक्ष को। देखो:

खंड एजी भुजा BC के सापेक्ष ऊँचाई है, और खंड धनबाद के EF पक्ष के सापेक्ष ऊँचाई है। ध्यान दें कि ईएफ पक्ष के सापेक्ष ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, पक्ष का विस्तार करना आवश्यक था।

ऑर्थोसेंटर

लंबकेन्द्र तीन शीर्षों के सापेक्ष ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन है, अर्थात् यह है त्रिभुज की सभी ऊँचाइयों के बीच मिलन बिंदु.

बिंदु हे त्रिभुज ABC का लम्बकेन्द्र है।

कुछ प्रकार के त्रिभुजों में ऑर्थोसेंटर के कुछ महत्वपूर्ण गुण होते हैं, देखें:

→ नहीं न्यून त्रिकोण, ऊँचाई और लंबकेन्द्र आकृति के अंदर हैं।

→ एक में सही त्रिकोण, दो ऊँचाईयाँ दो भुजाओं के साथ संपाती होती हैं, एक अन्य ऊँचाई त्रिभुज के अंदर होती है, और लंबकेन्द्र उस त्रिभुज के शीर्ष पर स्थित होता है, जिसका कोण 90° होता है।

→ एक में अधिक त्रिभुज, एक ऊँचाई त्रिभुज के अंदर है, और अन्य दो इसके बाहर हैं, लंबकेन्द्र भी इसी के बाहर स्थित है।

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मंझला

त्रिभुज की माध्यिका द्वारा बनाया गया खंड है इसके एक शीर्ष का उस शीर्ष के विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से मिलन. ध्यान दें कि, एक त्रिभुज में, प्रत्येक भुजा के सापेक्ष तीन माध्यिकाएँ निर्धारित करना संभव है, देखें:

रेखाखंड CD भुजा AB के सापेक्ष माध्यिका है। ध्यान दें कि इस खंड ने भुजा AB को दो बराबर भागों में विभाजित किया है, यानी आधे में।

केन्द्रक

बैरीसेंटर किसके द्वारा दिया जाता है? त्रिभुज की तीन माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन, यानी तीन माध्यिकाओं के मिलन बिंदु से, देखें:

बिंदु जी त्रिभुज ABC का केंद्र है।

ऑर्थोसेंटर की तरह, बैरीसेंटर में कुछ महत्वपूर्ण गुण होते हैं, देखें:

→ बैरीसेंटर प्रत्येक माध्य खंड में निर्धारित करेगा जो प्रत्येक समानता को संतुष्ट करता है।

उदाहरण 1

यह जानते हुए कि नीचे दी गई छवि में बिंदु G त्रिभुज ABC का द्विकेंद्र है और GD = 3 सेमी, खंड CG की लंबाई निर्धारित करें।

बैरीसेंटर गुणों से, हम जानते हैं कि जीडी और सीजी खंड के बीच का अनुपात डेढ़ के बराबर है। इस प्रकार, इन मूल्यों को रिश्ते में बदलकर, हमारे पास है:

→ माध्यिका की परिभाषा पर विचार करते हुए देखें कि सभी माध्यिकाएँ त्रिभुज के अंदर हैं, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी त्रिभुज का बायसेंटर भी हमेशा आकृति के अंदर होता है।. यह प्रेक्षण किसी भी त्रिभुज के लिए मान्य है।

बैरीसेंटर हमें त्रिभुजों की एक महत्वपूर्ण भौतिक विशेषता भी देता है, क्योंकि यह हमें उन्हें संतुलित करने की अनुमति देता है, अर्थात बैरीसेंटर है त्रिभुज के द्रव्यमान का केंद्र.

यह भी देखें: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा - त्रिकोणमितीय अनुपात ratio

बीच-बचाव करनेवाली

त्रिभुज का समद्विभाजक a. द्वारा दिया जाता है लंब रेखा जो इस त्रिभुज के एक तरफ के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है.

circumcenter

परिधि को द्वारा परिभाषित किया गया है द्विभाजक की बैठक meeting, यानी उनके बीच के चौराहे से। यदि हम a. में अंकित त्रिभुज को निरूपित करते हैं परिधि, हम देखेंगे कि परिधि इस परिधि का केंद्र है, देखें:

बिंदु मत्रिभुज ABC का परिकेन्द्र और परिधि का केंद्र है। बिंदु H, I और J क्रमशः भुजाओं CB, CA और AB के मध्य बिंदु हैं।

समकोण त्रिभुज, अधिक कोण और न्यूनकोण पर खींचे जाने पर परिकेंद्र में भी कुछ गुण होते हैं।

→ परिधि में सही त्रिकोण कर्ण का मध्यबिंदु है।

→ परिकेन्द्र a. में अधिक त्रिभुज बाहर पर है।

→ परिकेन्द्र a. में न्यून त्रिकोण यह अंदर रहता है।

साथ ही पहुंचें: वृत्त और परिधि - क्या अंतर हैं?

द्विभाजक

त्रिभुज का समद्विभाजक is द्वारा दिया जाता है त्रिभुज के आंतरिक कोण को विभाजित करने वाली सीधी रेखा line. आंतरिक द्विभाजक खींचते समय, देखें कि हमारे पास त्रिभुज के तीन पक्षों के सापेक्ष तीन आंतरिक द्विभाजक होंगे:

केन्द्र

केंद्र द्वारा दिया गया है त्रिभुज के आंतरिक समद्विभाजक का प्रतिच्छेदनअर्थात् इन अर्ध-सीधे के मिलने से दिया जाता है। चूँकि समद्विभाजक आंतरिक होते हैं, अत: केंद्र हमेशा त्रिभुज के अंदर भी रहेगा।

कुछ समस्याओं को हल करने के लिए Incentro में कुछ उपयोगी गुण हैं, उनमें से कुछ देखें:

→ त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र उस आकृति के केंद्र के साथ मेल खाता है।

→ त्रिभुज का अंतःकेंद्र उसकी सभी भुजाओं से समान दूरी पर होता है, अर्थात त्रिभुज के केंद्र और तीनों भुजाओं के बीच की दूरियां बराबर होती हैं।

हल किए गए व्यायाम

प्रश्न 1 - यह जानते हुए कि इंटीरियर में खंड एसी के सापेक्ष द्विभाजक है और आकृति में दिखाए गए माप द्विभाजक द्वारा विभाजित कोण का प्रतिनिधित्व करते हैं, x का मान निर्धारित करते हैं।

संकल्प

एक द्विभाजक को परिभाषित करके, हम जानते हैं कि यह त्रिभुज के आंतरिक कोण को आधे में विभाजित करता है, अर्थात दो बराबर भागों में, इसलिए हमें यह करना होगा:

5x -10 = 3x + 20

हल करना पहली डिग्री समीकरण, हमें यह करना होगा:

5x - 10 = 3x + 20

5x - 3x = 20 + 10

2x = 30

एक्स = 15

इसलिए, x = 15.

प्रश्न 2 - किसी त्रिभुज के एक शीर्ष से उसकी एक भुजा पर खींचा गया लंब रेखाखंड कहलाता है:

ऊँचाईं

बी) द्विभाजक

सी) द्विभाजक

घ) माध्यिका

ई) आधार

संकल्प

हमने जिन परिभाषाओं का अध्ययन किया, उनसे हमने देखा कि उच्चारण की स्थिति को संतुष्ट करने वाला केवल ऊंचाई है। याद रखें कि ऊँचाई एक त्रिभुज की एक भुजा के लंबवत खंड है।

रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/pontos-notaveis-de-um-triangulo.htm