उनके द्वारा बनाई गई ज्यामितीय आकृतियों के विपरीत, स्कोर की कोई परिभाषा नहीं है। इसका मतलब है कि, ज्यामिति में, एक बिंदु एक अपरिभाषित वस्तु है जिसका उपयोग अन्य वस्तुओं को परिभाषित करने में किया जाता है। उदाहरण के लिए, रेखाएँ बिंदुओं का समूह हैं। यद्यपि वे अच्छी तरह से परिभाषित दिखते हैं, रेखाओं की भी कोई परिभाषा नहीं होती है, क्योंकि दो या दो से अधिक बिंदुओं वाले किसी भी सेट को सीधा माना जाता है।
दूसरी ओर, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, बिंदु को एक स्थान के रूप में लिया जाता है। किसी भी स्थान को एक बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है और इसके अलावा, उस बिंदु का "पता" निर्देशांक के माध्यम से दिया जाता है।
हालांकि, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, अंक केवल स्थानों को इंगित करने में सक्षम होते हैं। प्रक्षेपवक्र, दिशा, दिशा और तीव्रता को इंगित करने के लिए अन्य वस्तुओं की आवश्यकता होती है। इन अंतिम तीन के मामले में, कार्तीय तल में उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए चुनी गई वस्तु है वेक्टर.
→ वेक्टर क्या है?
वैक्टरइसलिए, वे वस्तुएं हैं जो दिशा, भावना और तीव्रता का संकेत देती हैं। वे आमतौर पर तीरों द्वारा दर्शाए जाते हैं, जो मूल से शुरू होते हैं, और उनके अंतिम बिंदु के निर्देशांक का उपयोग किया जाता है।
ऊपर की छवि में, वैक्टर को इस तरह से दर्शाया गया है, यानी तीर जिनके निर्देशांक उनके अंतिम बिंदु के अनुरूप हैं। सदिश u के निर्देशांक (2,2) हैं और सदिश v के निर्देशांक (4,2) हैं। साथ ही, दिशा और दिशा को इंगित करने के लिए तीर का उपयोग किया जाता है, और इसका आकार तीव्रता को इंगित करता है।
→ एक संख्या से सदिश गुणन
सदिश v = (a, b) को देखते हुए, वास्तविक संख्या k बटा v का गुणनफल व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
के · वी = के · (ए, बी) = (के · ए, के · बी)
दूसरे शब्दों में, किसी वास्तविक संख्या को सदिश से गुणा करने के लिए, आपको वास्तविक संख्या को उसके प्रत्येक निर्देशांक से गुणा करना होगा।
ज्यामितीय रूप से, एक वेक्टर को वास्तविक संख्या से गुणा करने से वेक्टर का आकार रैखिक रूप से बढ़ जाता है:
ध्यान दें कि, ऊपर के उदाहरण में, सदिश u के निर्देशांक (2.2) हैं, और सदिश u·k के निर्देशांक (4.4) हैं। समीकरण (4.4) = k (2.2) को हल करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि k = 2।
→ वैक्टर जोड़ना
दो सदिशों u = (a, b) और v = (c, d) को देखते हुए, उनके बीच का योग व्यंजक द्वारा प्राप्त किया जाएगा:
यू + वी = (ए + सी, बी + डी)
दूसरे शब्दों में, बस प्रत्येक वेक्टर के संगत निर्देशांक जोड़ें। यह ऑपरेशन 3 या अधिक आयामों के साथ 3 या अधिक वैक्टर के योग के लिए विस्तार योग्य है।
ज्यामितीय रूप से, सदिश u के अंतिम बिंदु से प्रारंभ करते हुए, एक सदिश v' सदिश v के समानांतर खींचा जाता है। सदिश v से प्रारंभ करते हुए, सदिश u के समांतर एक सदिश u' खींचा जाता है। ये चार सदिश समांतर चतुर्भुज बनाते हैं। सदिश u + v इस समांतर चतुर्भुज का निम्न विकर्ण है:
सदिशों को घटाने के लिए, घटाव को एक सदिश के योग और दूसरे के विपरीत के योग के रूप में मानें। उदाहरण के लिए, सदिश u को सदिश u से घटाने के लिए, लिखिए: u - v = u + (-v)। -v सदिश v सदिश है, लेकिन निर्देशांक चिह्न उलटे हुए हैं।
बारीकी से देखने पर, संचालन "एक संख्या से एक वेक्टर को गुणा करना" और "वैक्टर जोड़ना" वास्तविक संख्याओं पर गुणन और योग संक्रियाओं का उपयोग करें, लेकिन के प्रत्येक घटक पर वेक्टर। इसलिए, वैक्टर के लिए, वास्तविक संख्याओं के जोड़ और गुणा के सभी गुण मान्य हैं, अर्थात्:
वैक्टर u, v और w और वास्तविक संख्या k और l को देखते हुए,
i) (यू + वी) + डब्ल्यू = यू + (वी + डब्ल्यू)
ii) यू + वी = वी + यू
iii) एक सदिश 0 = (0.0) इस प्रकार है कि v + 0 = v
iv) एक सदिश -v इस प्रकार है कि v + (-v) = 0
वी) के (यू + वी) = केयू + केवी
vi) (के + एल) वी = केवी + एलवी
vii) केएल (वी) = के (एलवी)
viii) 1v = v
→ एक वेक्टर का मानक
एक वेक्टर का मानदंड एक वास्तविक संख्या के परिमाण के बराबर है, अर्थात, एक वेक्टर और बिंदु (0,0) के बीच की दूरी या, संदर्भ के फ्रेम के आधार पर, वेक्टर की लंबाई।
सदिश v = (a, b) का मान ||v||. द्वारा निरूपित किया जाता है और अभिव्यक्ति का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
||वी|| = (ए2 + बी2)
→ आंतरिक उत्पाद
आंतरिक उत्पाद वैक्टर के बीच उत्पाद के बराबर है। ध्यान दें कि ऊपर वर्णित उत्पाद एक वेक्टर और वास्तविक संख्या के बीच का उत्पाद है। अब, प्रश्न में "उत्पाद" दो वैक्टरों के बीच है। हालांकि, किसी को "दो वैक्टरों के बीच उत्पाद" नहीं कहना चाहिए, बल्कि "दो वैक्टरों के बीच आंतरिक उत्पाद" कहना चाहिए। सदिश v = (a, b) और u = (c, d) के बीच का आंतरिक गुणनफल किसके द्वारा निरूपित किया जाता है
यह निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करने के लिए भी प्रथागत है:
ध्यान दें कि, वेक्टर v = (a, b) के मानदंड का उपयोग करके, हम मानदंड और डॉट उत्पाद को जोड़ सकते हैं।
||वी|| = (ए2 + बी2) = √(a·a + b·b) = (
लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm