रैखिक प्रणाली: वे क्या हैं, कैसे हल करें, प्रकार,

का समाधान प्रणालीरैखिक यह प्राकृतिक विज्ञान और गणित के क्षेत्र में अध्ययन के लिए एक बहुत ही आवर्तक कार्य है। अज्ञात मूल्यों की खोज ने रैखिक प्रणालियों को हल करने के तरीकों का विकास किया, जैसे कि सिस्टम के लिए जोड़, समानता और प्रतिस्थापन विधि दो समीकरण और दो अज्ञात, और क्रैमर का नियम और स्केलिंग, जो दो समीकरणों के रैखिक सिस्टम को हल करते हैं, लेकिन जो अधिक समीकरण वाले सिस्टम के लिए अधिक सुविधाजनक होते हैं। एक रैखिक प्रणाली एक या अधिक अज्ञात के साथ दो या दो से अधिक समीकरणों का एक समूह है।

यह भी पढ़ें:मैट्रिक्स और रैखिक प्रणालियों के बीच क्या संबंध है?

रैखिक प्रणाली।

रेखीय समीकरण

समीकरणों के साथ कार्य के कारण मौजूद है अज्ञात अज्ञात मूल्यों को खोजने की जरूरत है. हम इसे एक समीकरण कहते हैं जब हमारे पास समानता के साथ बीजगणितीय अभिव्यक्ति होती है, और इसे रैखिक के रूप में वर्गीकृत किया जाता है जब इसके अज्ञातों का सबसे बड़ा घातांक 1 होता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में दिखाया गया है:

2x + y = 7 → दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण

a + 4 = -3 → एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण

सामान्यतया, एक रैखिक समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

₁एक्स₁ + द₂एक्स₂ + a3x3... + a_{नहीं न}एक्स_{नहीं न} = सी

हम एक समीकरण प्रणाली के रूप में जानते हैं जब एक से अधिक रैखिक समीकरण होते हैं। हम दो अज्ञात के रैखिक निकाय से प्रारंभ करेंगे।

रैखिक प्रणालियों को हल करना

• दो प्रथम डिग्री समीकरण और दो अज्ञात के साथ रैखिक प्रणाली

दो समीकरणों और दो अज्ञातों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, कई हैं तरीकों, तीन सबसे प्रसिद्ध हैं:

• तुलना विधि
• जोड़ विधि
• प्रतिस्थापन विधि

तीनों में से कोई भी दो समीकरणों और दो अज्ञातों की रैखिक प्रणाली को हल कर सकता है। ये तरीके अधिक समीकरण वाले सिस्टम के लिए उतने कुशल नहीं हैं, क्योंकि उन्हें हल करने के लिए अन्य विशिष्ट तरीके हैं।

• प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि में शामिल हैं अज्ञात में से एक को अलग करें समीकरणों में से एक में और दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापन करें।

उदाहरण:

पहला कदम: अज्ञात में से एक को अलग करें।

हम I को पहला समीकरण और II को दूसरा समीकरण कहते हैं। दोनों का विश्लेषण करते हुए, आइए उस अज्ञात को चुनें जिसे अलग करना सबसे आसान है। ध्यान दें कि में समीकरण I → x + 2y = 5, x का कोई गुणांक नहीं है, जिससे इसे अलग करना आसान हो जाता है, इसलिए हम समीकरण को फिर से लिखेंगे जो मुझे यह पसंद है:

मैं → x + 2y = 5

मैं → एक्स = 5 - 2y

दूसरा चरण: I को II में बदलें।

अब जबकि हमारे पास केवल x के साथ समीकरण I है, समीकरण II में, हम x को 5 – 2y से बदल सकते हैं।

II → 3x - 5y = 4

x को 5 - 2y से बदलने पर:

3 (5 - 2y) - 5y = 4

अब जबकि समीकरण में केवल एक अज्ञात है, y का मान ज्ञात करने के लिए इसे हल करना संभव है।

y का मान जानने पर हम समीकरण I में y के मान के स्थान पर x का मान ज्ञात करेंगे।

मैं → एक्स = 5 - 2y

एक्स = 5 - 2 · 1

एक्स = 5 - 2

एक्स = 3

अतः निकाय का हल S = {3,1} है।

• तुलना विधि

तुलना विधि में शामिल हैं दो समीकरणों में अज्ञात को अलग करें और इन मानों को बराबर करें.

उदाहरण:

पहला कदम: आइए मैं पहला समीकरण और दूसरा दूसरा, आइए I और II में से एक अज्ञात को अलग करें। अज्ञात x को अलग करने के लिए चुनना, हमें यह करना होगा:

दूसरा चरण: दो नए समीकरणों की बराबरी करें, क्योंकि x = x।

तीसरा चरण: किसी एक समीकरण में y के मान को -2 से बदलें।

एक्स = -4 - 3y

एक्स = -4 - 3 (-2)

एक्स = -4 + 6

एक्स = 2

अतः इस निकाय का हल समुच्चय S = {2,-2} है।

यह भी देखें: फ़ंक्शन और समीकरण के बीच अंतर क्या हैं?

• जोड़ विधि

जोड़ विधि में किसी एक समीकरण के सभी पदों का गुणन इस प्रकार किया जाता है कि, जब समीकरण I को समीकरण II में जोड़ने पर, इसका एक अज्ञात शून्य के बराबर है.

उदाहरण:

पहला कदम: समीकरणों में से एक को गुणा करें ताकि गुणांक विपरीत हों।

ध्यान दें कि यदि हम समीकरण II को 2 से गुणा करते हैं, तो हमारे पास समीकरण II में 4y और समीकरण I में -4y होता है, और वह हम I + II जोड़ते हैं, हमें 0y मिलता है, तो आइए समीकरण II के सभी पदों को 2 से गुणा करें ताकि यह घटित।

मैं → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

दूसरा चरण: योग I + 2 · II का प्रदर्शन करें।

तीसरा चरण: x = 3 के मान को किसी एक समीकरण में बदलें।

• तीन प्रथम डिग्री समीकरण और तीन अज्ञात के साथ रैखिक प्रणाली

जब सिस्टम में तीन अज्ञात होते हैं, तो हम अन्य समाधान विधियों को अपनाते हैं। ये सभी विधियाँ गुणांकों को मैट्रिक्स से संबंधित करती हैं, और सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधियाँ क्रैमर का नियम या स्केलिंग हैं। दोनों विधियों में संकल्प के लिए, सिस्टम का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व आवश्यक है, यहां तक ​​कि 2x2 सिस्टम को मैट्रिक्स के माध्यम से भी दर्शाया जा सकता है। दो संभावित अभ्यावेदन हैं, पूर्ण मैट्रिक्स और अपूर्ण मैट्रिक्स:

उदाहरण:

प्रणाली 

द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है पूर्ण मैट्रिक्स

और किसके लिए अधूरा मैट्रिक्स

• क्रैमर का नियम

अज्ञात x, y और z के साथ 3x3 सिस्टम के लिए समाधान खोजने के लिए, का उपयोग करना क्रैमर का नियम, अपूर्ण मैट्रिक्स के निर्धारक और इसकी विविधताओं की गणना करना आवश्यक है। तो हमें करना होगा:

डी → सिस्टम के अपूर्ण मैट्रिक्स का निर्धारक।

घ_एक्स → सिस्टम के अपूर्ण मैट्रिक्स का निर्धारक, x के कॉलम को स्वतंत्र शब्दों के कॉलम से बदल देता है।

घ_आप → सिस्टम के अपूर्ण मैट्रिक्स का निर्धारक, y के कॉलम को स्वतंत्र पदों के कॉलम से बदल देता है।

घ_जेड → सिस्टम के अपूर्ण मैट्रिक्स का निर्धारक, z के कॉलम को स्वतंत्र पदों के कॉलम से बदल देता है।

इसलिए, आपके अज्ञात का मान ज्ञात करने के लिए, हमें सबसे पहले सिद्ध डी, डी_एक्स, डी_आप प्रणाली से जुड़ा हुआ है।

उदाहरण:

पहला कदम: गणना डी.

दूसरा चरण: डी की गणना करें_{एक्स।}

तीसरा चरण: तब हम x का मान ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि:

चौथा चरण: डी की गणना करें_वाई

5वां चरण: तब हम y के मान की गणना कर सकते हैं:

छठा चरण: अब जब हम x और y का मान जानते हैं, तो किसी भी पंक्ति में हम x और y के मान को प्रतिस्थापित करके और z को अलग करके z का मान ज्ञात कर सकते हैं। एक अन्य विकल्प डी. की गणना करना है_जेड.

पहले समीकरण में x = 0 और y = 2 रखने पर:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - जेड = 3

-जेड = 3 - 2

-जेड = -1 (-1)

 जेड = -1

इसलिए, सिस्टम समाधान निविदा (0.2, -1) है।

साथ ही पहुंचें: समीकरण प्रणालियों द्वारा समस्या हल करना

• स्केलिंग

रैखिक प्रणालियों को हल करने का एक अन्य तरीका स्केलिंग है, जिसमें हम केवल उनके अज्ञात को अलग करने के लिए लाइनों के बीच पूर्ण मैट्रिक्स और संचालन का उपयोग करते हैं। आइए नीचे दिए गए सिस्टम को स्केल करें।

पहला कदम: पूरे मैट्रिक्स को लिखें जो सिस्टम का प्रतिनिधित्व करता है।

एल हो₁, ली₂ और मैं₃ मैट्रिक्स की क्रमशः 1, 2 और 3 की पंक्तियाँ, हम L. के बीच संचालन करेंगे₁ और मैं₂ और मैं₁ और मैं₃, ताकि परिणाम दूसरी और तीसरी पंक्ति के पहले कॉलम में मौजूद पदों को शून्य के बराबर बना दे।

मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति का विश्लेषण करते हुए, आइए इसे L2 → -2 · L1 + L2 के परिणाम से बदलें, ताकि a21 पद को शून्य किया जा सके।

₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

तो L₂ 0 -3 7 -17 होगा।

मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति का विश्लेषण करते हुए, आइए इसे L3 → 3L1 + L. के परिणाम से बदलें_2, शब्द को रीसेट करने के लिए_31.

₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

तो L₃ 0 8 -8 24 होगा।

ध्यान दें कि सभी 8 से विभाज्य हैं, इसलिए L रेखा₃ इसे सरल रखें, आइए इसे 8 से भाग दें।

ली₃ → एल₃ : 8 होगा: 0 1-1 3.

तो स्केल किए गए समीकरण का नया मैट्रिक्स होगा:

अब लक्ष्य तीसरी पंक्ति में कॉलम y को रीसेट करना है, हम L. के बीच संचालन करेंगे₂ और मैं₃, उनमें से एक के दूसरे कॉलम को रीसेट करने के उद्देश्य से।

हम L3 को L3 → L. से बदल देंगे₂ + 3ली₃.

₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

तो ली₃ होगा: 0 0 4 -8।

नया स्केल किया गया मैट्रिक्स होगा:

अब, जब हम इस मैट्रिक्स को एक सिस्टम के रूप में फिर से प्रदर्शित करते हैं, तो कॉलम में x, y, और z जोड़कर, हम निम्नलिखित पाएंगे:

तब हम प्रत्येक अज्ञात का मान ज्ञात कर सकते हैं। समीकरण III का विश्लेषण करते हुए, हमें यह करना होगा:

यदि z = -2, आइए z के मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

अंत में, पहले समीकरण में, आइए x का मान ज्ञात करने के लिए y और z के मान को प्रतिस्थापित करें।

यह भी देखें: पहली डिग्री असमानता प्रणाली - इसे कैसे हल करें?

रैखिक प्रणाली वर्गीकरण

एक रैखिक प्रणाली रैखिक समीकरणों का एक समूह है, जिसमें कई अज्ञात और कई समीकरण हो सकते हैं। समीकरणों की संख्या की परवाह किए बिना इसे हल करने के कई तरीके हैं। वहा तीन है रेटिंग्स रैखिक प्रणाली के लिए।

• निर्धारित संभावित प्रणाली (एसपीडी): जब आपके पास एक ही उपाय हो।
• अनिर्धारित संभावित प्रणाली (एसपीआई): जब उसके अनंत समाधान हों।
• असंभव प्रणाली(एसआई): जब कोई उपाय न हो।

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 (आईएफजी 2019) एक आधार के माप और उस आधार के सापेक्ष ऊंचाई के योग पर विचार करें जो 168 सेमी के बराबर है और अंतर 24 सेमी के बराबर है। यह कहना सही है कि इस आधार माप के सापेक्ष आधार और ऊंचाई की माप क्रमशः:

ए) 72 सेमी और 96 सेमी

बी) 144 सेमी और 24 सेमी

सी) 96 सेमी और 72 सेमी

डी) 24 सेमी और 144 सेमी

संकल्प

वैकल्पिक सी.

चलो h → ऊंचाई और b → आधार, तो हमारे पास निम्नलिखित प्रणाली है:

जोड़ने की विधि से, हमें यह करना होगा:

h का मान ज्ञात करने के लिए, पहले समीकरण में b = 96 cm प्रतिस्थापित करें:

बी + एच = 168

९६ + एच = १६८

एच = 168 - 96

एच = 72 सेमी

प्रश्न 2 अपूर्ण मैट्रिक्स जो निम्न रैखिक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है वह है:

संकल्प

वैकल्पिक सी.

अपूर्ण मैट्रिक्स वह है जिसमें x, y और z के गुणांक हैं, इसलिए यह एक 3x3 मैट्रिक्स होगा। विकल्पों का विश्लेषण करते हुए, जिसमें सही संकेतों के साथ 3x3 मैट्रिक्स होता है, वह अक्षर C होता है।

राउल रॉड्रिक्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm