दोहराए गए तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन

दोहराए गए तत्वों के क्रमपरिवर्तन को क्रमपरिवर्तन से अलग रूप का पालन करना चाहिए, क्योंकि दोहराए गए तत्व एक दूसरे के साथ आदान-प्रदान करते हैं। यह कैसे होता है, यह समझने के लिए नीचे दिया गया उदाहरण देखें:
MATHEMATICS शब्द का क्रमपरिवर्तन इस तरह दिखेगा:
दोहराए गए अक्षरों (तत्वों) को ध्यान में रखे बिना, क्रमचय इस तरह दिखेगा:
पी₁₀ = 10! = 3.628.800
अब, चूंकि MATHEMATICS शब्द में ऐसे तत्व हैं जो दोहराते हैं, जैसे अक्षर A जो 3 बार दोहराता है, अक्षर T 2 बार दोहराता है और अक्षर M 2 बार दोहराता है, इसलिए इन दोहरावों में से एक दूसरे के बीच क्रमपरिवर्तन होगा 3!. 2!. 2!. इसलिए, MATHEMATICS शब्द का क्रमपरिवर्तन होगा:

इसलिए, MATHEMATICS शब्द से हम 151200 विपर्यय एकत्र कर सकते हैं।
इस तर्क के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, सामान्य तौर पर, दोहराए गए तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
n तत्वों के साथ एक सेट के क्रमपरिवर्तन को देखते हुए, कुछ तत्व n. दोहराते हैं₁ कभी-कभी नहीं₂ बार और नहीं_{नहीं न} बार। फिर क्रमपरिवर्तन की गणना की जाती है:

उदाहरण 1:
MARAJOARA शब्द से कितने विपर्यय बन सकते हैं, क्रमचय को लागू करने पर हमारे पास होगा:

इसलिए, मारजोरा शब्द से हम 7560 विपर्यय बना सकते हैं।
उदाहरण 2:
इटालियन शब्द के साथ कितने विपर्यय बनाए जा सकते हैं, क्रमपरिवर्तन को लागू करने पर हमारे पास होगा:

तो इटालियन शब्द से हम 3360 विपर्यय बना सकते हैं।
उदाहरण 3:
BARRIER शब्द से कितने विपर्यय बन सकते हैं, जो B अक्षर से शुरू होने चाहिए?
बी ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
↓ ↓
1पी^2,3₇
1. पी^2,3₇ = 7! = 420
2!. 3!
इसलिए, BARRIER शब्द से हम 420 विपर्यय बना सकते हैं।

मिरांडा से डेनिएल द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/permutacao-com-elementos-repetidos.htm