ममैट्रिक्स गुणन एक एल्गोरिथ्म के माध्यम से किया जाता है जिस पर बहुत अधिक ध्यान देने की आवश्यकता होती है। मैट्रिक्स ए और मैट्रिक्स बी के बीच मौजूद उत्पाद के लिए, यह आवश्यक है कि की संख्या कॉलम देता है प्रथम मुख्यालय, यदि ए, की संख्या के बराबर है पंक्तियां देता है सोमवार मुख्यालय, मामले में बी.
मैट्रिक्स के बीच गुणन से, यह समझना संभव है कि पहचान मैट्रिक्स क्या है, जो है मैट्रिक्स गुणन का तटस्थ तत्व, और मैट्रिक्स M का उलटा मैट्रिक्स क्या है, जो मैट्रिक्स M. है-1 जिसका गुणनफल M by M-1 पहचान मैट्रिक्स के बराबर है। एक मैट्रिक्स को वास्तविक संख्या से गुणा करना भी संभव है - इस मामले में, हम प्रत्येक की शर्तों को गुणा करते हैं मुख्यालय संख्या से।
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अस्तित्व की स्थिति
दो मैट्रिक्स को गुणा करने के लिए, पहले अस्तित्व की स्थिति की जांच करना आवश्यक है। उत्पाद के अस्तित्व के लिए, पहले मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या दूसरे मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। साथ ही, गुणन का परिणाम एक मैट्रिक्स है जिसमें पहले मैट्रिक्स के समान पंक्तियों की संख्या और दूसरे मैट्रिक्स के समान कॉलम होते हैं।
उदाहरण के लिए, आव्यूह A mat के बीच गुणनफल AB3x2 और बी2x5 मौजूद है क्योंकि ए (2 कॉलम) में कॉलम की संख्या बी (2 पंक्तियों) में पंक्तियों की संख्या के बराबर है, और परिणाम मैट्रिक्स एबी है3x5. सी मैट्रिसेस के बीच पहले से ही उत्पाद3x5 और मैट्रिक्स डी2x5 मौजूद नहीं है, क्योंकि C में 5 कॉलम हैं और D में 3 पंक्तियाँ हैं।
दो मैट्रिक्स के बीच उत्पाद की गणना कैसे करें?
मैट्रिक्स गुणन करने के लिए, कुछ चरणों का पालन करना आवश्यक है। हम एक बीजीय आव्यूह A के गुणन का उदाहरण देंगे2x3 मैट्रिक्स बी द्वारा3x2
हम जानते हैं कि उत्पाद मौजूद है, क्योंकि मैट्रिक्स ए में 3 कॉलम हैं, और मैट्रिक्स बी, 3 पंक्तियां हैं। हम C को गुणन A·B का परिणाम कहेंगे। इसके अलावा, हम यह भी जानते हैं कि परिणाम एक सी मैट्रिक्स है।2x2, क्योंकि मैट्रिक्स ए में 2 पंक्तियां हैं, और मैट्रिक्स बी, 2 कॉलम हैं।
मैट्रिक्स A. के बीच उत्पाद की गणना करने के लिए2x3 और मैट्रिक्स बी3एक्स2, आइए कुछ चरणों का पालन करें।
पहले हम मैट्रिक्स C के प्रत्येक पद को ज्ञात करेंगे2x2:
शर्तों को खोजने के लिए, आइए मैट्रिक्स ए की पंक्तियों को मैट्रिक्स बी के कॉलम से हमेशा संबंधित करें:
सी11 → A. की पहली पंक्ति तथा बी. का पहला कॉलम
सी12 → A. की पहली पंक्ति तथा बी. का दूसरा कॉलम
सी21 → A. की दूसरी पंक्ति तथा बी. का पहला कॉलम
सी22 → A. की दूसरी पंक्ति तथा बी. का दूसरा कॉलम
हम प्रत्येक पद की गणना A की पंक्ति के पदों और B के स्तंभ के पदों को गुणा करके करते हैं। अब हमें इन उत्पादों को जोड़ना होगा, इसकी शुरुआत सी11:
A. की पहली पंक्ति
बी. का पहला कॉलम
सी11 = 11·बी11 + 12·बी21+ 13·बी31
की गणना सी12:
A. की पहली पंक्ति
बी. का दूसरा कॉलम
सी12 = 11·बी12 + 12·बी22+13·बी32
की गणना सी21:
A. की दूसरी पंक्ति
बी. का पहला कॉलम
सी21 = 21·बी11 + 22·बी21+23·बी31
पद की गणना सी22:
A. की दूसरी पंक्ति
बी. का दूसरा कॉलम
सी22 = 21·बी12 + 22·बी22+23·बी32
इस प्रकार, मैट्रिक्स सी शर्तों से बनता है:
उदाहरण:
आइए मैट्रिक्स ए और बी के बीच गुणन की गणना करें।
हम जानते हैं कि A. में2x2 और बी2x3, पहले में स्तंभों की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या के बराबर है, इसलिए उत्पाद मौजूद है। तो हम C = A· B बनाएंगे और हम जानते हैं कि C2x3.
गुणा करना, हमें करना है:
यह भी देखें: एक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स क्या है?
पहचान मैट्रिक्स
मैट्रिक्स के बीच गुणन में, कुछ विशेष मामले होते हैं, जैसे पहचान मैट्रिक्स, जो मैट्रिक्स के बीच गुणन का तटस्थ तत्व है।. पहचान मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है, अर्थात पंक्तियों की संख्या हमेशा स्तंभों की संख्या के बराबर होती है। इसके अलावा, इसमें केवल विकर्ण के पद 1 के बराबर हैं, और अन्य सभी पद शून्य के बराबर हैं। जब हम एक मैट्रिक्स M को पहचान मैट्रिक्स I से गुणा करते हैंनहीं न, हमें करना ही होगा:
एम · आईनहीं न = एम
उदाहरण:
उलटा मैट्रिक्स क्या है?
एक मैट्रिक्स M को देखते हुए, हम इसे M के व्युत्क्रम मैट्रिक्स के रूप में जानते हैं। मैट्रिक्स एम-1जिसका उत्पाद एम · एम-1 बराबरी à पहचान मैट्रिक्स Iनहीं न. एक मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम होना चाहिए, यह वर्ग होना चाहिए, और इसका सिद्ध 0 से भिन्न होना चाहिए। आइए उन आव्यूहों के उदाहरण देखें जो प्रतिलोम हैं:
उत्पाद ए · बी की गणना करते हुए, हमें यह करना होगा:
ध्यान दें कि ए और बी के बीच उत्पाद उत्पन्न मैट्रिक्स I product2. जब ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि B, A का व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। इस प्रकार के मैट्रिक्स के बारे में अधिक जानने के लिए पढ़ें: उलटा मैट्रिक्स.
एक वास्तविक संख्या से मैट्रिक्स गुणा multi
मैट्रिक्स के बीच गुणा के विपरीत, एक से मैट्रिक्स गुणा भी होता है वास्तविक संख्या, जो समाधान खोजने के लिए एक बहुत ही सरल ऑपरेशन है।
एक मैट्रिक्स एम दिया गया है, मैट्रिक्स को वास्तविक संख्या से गुणा करना क मैट्रिक्स के बराबर है कम। इस मैट्रिक्स को खोजने के लिए कएम, पर्याप्त मैट्रिक्स में सभी पदों को स्थिरांक से गुणा करें क.
उदाहरण:
अगर क = 5 और नीचे मैट्रिक्स M पर विचार करते हुए, मैट्रिक्स 5M ज्ञात कीजिए।
गुणा करना:
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - (यूनिटौ) दिए गए आव्यूह A और B,
तत्व c. का मान11 मैट्रिक्स का C = AB है:
ए) 10.
बी) 28.
सी) 38.
डी) 18.
ई) 8.
संकल्प
वैकल्पिक ए.
हम शब्द c. कैसे चाहते हैं11, आइए पहली पंक्ति के पदों को और A को B के पहले कॉलम के पदों से गुणा करें।
c calculating की गणना11 = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10
प्रश्न 2 - (एनेम २०१२) एक छात्र ने अपने कुछ विषयों के द्विमासिक ग्रेड को एक तालिका में पंजीकृत किया। उन्होंने नोट किया कि तालिका में संख्यात्मक प्रविष्टियों ने 4×4 मैट्रिक्स का गठन किया, और वह मैट्रिक्स के उत्पाद का उपयोग करके इन विषयों के लिए वार्षिक औसत की गणना कर सकते हैं। सभी परीक्षणों का वजन समान था, और उन्हें जो तालिका मिली वह नीचे दिखाई गई है।
इन औसतों को प्राप्त करने के लिए, उन्होंने मैट्रिक्स द्वारा तालिका से प्राप्त मैट्रिक्स को गुणा किया:
संकल्प
वैकल्पिक ई.
औसत तत्वों की संख्या से विभाजित तत्वों के योग से अधिक कुछ नहीं है। ध्यान दें कि प्रति पंक्ति 4 नोट हैं, इसलिए औसत उन नोटों का योग 4 से विभाजित होगा। 4 से भाग देना. से गुणा करने के समान है अंश ¼. इसके अलावा, ग्रेड का मैट्रिक्स एक 4x4 मैट्रिक्स है, इसलिए हमें ग्रेड के औसत वाले मैट्रिक्स को खोजने के लिए 4x1 मैट्रिक्स से गुणा करना होगा, यानी इसमें 4 पंक्तियां और 1 कॉलम है।
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm