मैट्रिक्स: यह क्या है, प्रकार, संचालन, उदाहरण

मुख्यालय यह आमतौर पर समस्या समाधान की सुविधा के लिए सारणीबद्ध डेटा को व्यवस्थित करने के लिए उपयोग किया जाता है। मैट्रिक्स की जानकारी, चाहे संख्यात्मक हो या नहीं, पंक्तियों और स्तंभों में बड़े करीने से व्यवस्थित की जाती है।

के संचालन से लैस मैट्रिक्स का सेट इसके अलावा, घटाव तथा गुणा और विशेषताएँ, एक तटस्थ और व्युत्क्रम तत्व के रूप में, एक गणितीय संरचना बनाती हैं जो विभिन्न क्षेत्रों में इसके आवेदन को सक्षम बनाता है ज्ञान के इस विशाल क्षेत्र में।

यह भी देखें: मैट्रिक्स और रैखिक प्रणालियों के बीच संबंध

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

मैट्रिक्स पर अध्ययन शुरू करने से पहले, उनके अभ्यावेदन के संबंध में कुछ संकेतन स्थापित करना आवश्यक है। पर मैट्रिक्स को हमेशा बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। (ए, बी, सी…), जो इंडेक्स के साथ हैं, जिसमें पहली संख्या पंक्तियों की संख्या को इंगित करती है, और दूसरी, स्तंभों की संख्या.

पंक्तियों की संख्या (क्षैतिज पंक्तियाँ) और कॉलम मैट्रिक्स की (ऊर्ध्वाधर पंक्तियाँ) इसका निर्धारण करती हैं गण। आव्यूह A का क्रम m बटा n है। एक सरणी में निहित जानकारी को कहा जाता है तत्वों और कोष्ठकों, वर्गाकार कोष्ठकों या दो लंबवत पट्टियों में व्यवस्थित हैं, उदाहरण देखें:

मैट्रिक्स A में दो पंक्तियाँ और तीन स्तंभ हैं, इसलिए इसका क्रम दो बटा तीन → A. है_2x3.

मैट्रिक्स बी में एक पंक्ति और चार स्तंभ हैं, इसलिए इसका क्रम एक बटा चार है, इसलिए इसे कहा जाता है लाइन मैट्रिक्स → बी_1x4.

मैट्रिक्स सी में तीन पंक्तियाँ और एक कॉलम होता है, और इसलिए इसे कहा जाता है कॉलम मैट्रिक्स और इसका क्रम तीन बटा एक → C. है_3x1.

हम सामान्य रूप से एक सरणी के तत्वों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, अर्थात, हम गणितीय प्रतिनिधित्व का उपयोग करके इस तत्व को लिख सकते हैं। हेसामान्य तत्व को लोअरकेस अक्षरों द्वारा दर्शाया जाएगा (ए, बी, सी…), और, जैसा कि सरणियों के प्रतिनिधित्व में है, इसमें एक सूचकांक भी है जो इसके स्थान को इंगित करता है। पहली संख्या उस पंक्ति को इंगित करती है जिसमें तत्व है, और दूसरी संख्या उस कॉलम को इंगित करती है जिसमें वह स्थित है।

निम्नलिखित मैट्रिक्स ए पर विचार करें, हम इसके तत्वों को सूचीबद्ध करेंगे।

पहली पंक्ति और पहले कॉलम में स्थित पहले तत्व को देखते हुए, यानी पंक्ति एक और कॉलम एक में, हमारे पास संख्या 4 है। लेखन को आसान बनाने के लिए, हम इसे निम्न प्रकार से प्रदर्शित करेंगे:

₁₁ → पंक्ति एक तत्व, स्तंभ एक

तो हमारे पास मैट्रिक्स ए के निम्नलिखित तत्व हैं:_2x3:

₁₁ = 4

₁₂ =16

₁₃ = 25

₂₁ = 81

₂₂ = 100

₂₃ = 9

सामान्य तौर पर, हम एक सरणी को उसके सामान्य तत्वों के एक फ़ंक्शन के रूप में लिख सकते हैं, यह है सामान्य मैट्रिक्स.

एम पंक्ति और एन कॉलम का एक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है:

• उदाहरण

मैट्रिक्स A = [a. निर्धारित करें_{आईजेयू} ]_2x2, जिसमें निम्नलिखित प्रशिक्षण कानून है_{आईजेयू} = जे² - २i. स्टेटमेंट डेटा से, हमारे पास मैट्रिक्स ए दो बटा दो क्रम का है, यानी इसमें दो लाइनें और दो कॉलम हैं, इसलिए:

इसके अलावा, मैट्रिक्स गठन कानून दिया गया था, अर्थात, प्रत्येक तत्व के संबंध से संतुष्ट है_{आईजेयू} = जे² - २i. सूत्र में i और j के मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

इसलिए, मैट्रिक्स ए है:

सरणी प्रकार

कुछ मैट्रिक्स विशेष ध्यान देने योग्य हैं, अब इन्हें देखें सरणियों के प्रकार उदाहरणों के साथ।

• वर्ग मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है. हम उस मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करते हैं जिसमें n पंक्तियाँ और n कॉलम हैं A_{नहीं न} (पढ़ें: क्रम n का वर्ग मैट्रिक्स)।

वर्ग आव्यूह में, हमारे पास दो बहुत ही महत्वपूर्ण अवयव हैं, विकर्ण: मुख्य और माध्यमिक. मुख्य विकर्ण उन तत्वों से बनता है जिनके समान सूचकांक होते हैं, अर्थात यह प्रत्येक तत्व a. होता है_{आईजेयू} मैं = जे के साथ द्वितीयक विकर्ण a. तत्वों द्वारा बनता है_{आईजेयू} i + j = n +1 के साथ, जहाँ n आव्यूह क्रम है।

• पहचान मैट्रिक्स

पहचान मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें है सबआप1. के बराबर मुख्य विकर्ण के तत्व और यह 0. के बराबर अन्य तत्व, इसका गठन कानून है:

हम इस मैट्रिक्स को I से निरूपित करते हैं, जहां n वर्ग मैट्रिक्स का क्रम है, कुछ उदाहरण देखें:

• इकाई मैट्रिक्स

यह क्रम एक का वर्गाकार आव्यूह है, अर्थात इसमें एक पंक्ति और एक स्तंभ है और इसलिए, सिर्फ एक तत्व.

ए = [-1]_1x1, बी = मैं₁ = (1)_1x1 और सी = || 5||_1x1

मैट्रिक्स बी पर जोर देने के साथ ये एकात्मक मैट्रिक्स के उदाहरण हैं, जो कि एक है इकाई पहचान मैट्रिक्स.

• अशक्त मैट्रिक्स

एक सरणी को शून्य कहा जाता है यदि उसके सभी तत्व शून्य के बराबर हों। हम क्रम m बटा n बटा O. के एक अशक्त आव्यूह को निरूपित करते हैं_{एमएक्सएन}.

मैट्रिक्स O क्रम 4 का शून्य है।

• विपरीत मैट्रिक्स

दो समान-क्रम वाले आव्यूहों पर विचार करें: A = [a_{आईजेयू}]_{एमएक्सएन} और बी = [बी_{आईजेयू}]_{एमएक्सएन}. इन आव्यूहों को विपरीत कहा जाएगा यदि, और केवल यदि,_{आईजेयू} = -बी_{आईजेयू}. इस प्रकार, संबंधित तत्व होना चाहिए विपरीत संख्या.

हम मैट्रिक्स बी = -ए का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

• ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स

दो आव्यूह A = [a_{आईजेयू}]_{एमएक्सएन} और बी = [बी_{आईजेयू}]_{एनएक्सएम} वो हैं स्थानांतरित अगर, और केवल अगर,_{आईजेयू} = बी_जी , अर्थात्, एक मैट्रिक्स ए दिया गया है, इसके स्थानान्तरण को खोजने के लिए, बस पंक्तियों को कॉलम के रूप में लें।

मैट्रिक्स A के स्थानान्तरण को A द्वारा दर्शाया जाता है^टी. उदाहरण देखें:

और देखें: उलटा मैट्रिक्स: यह क्या है और कैसे सत्यापित करें

मैट्रिक्स संचालन

एक एन एक्स एम मैट्रिक्स का सामान्य प्रतिनिधित्व।

मैट्रिक्स के सेट में a. का संचालन होता हैबहुत अच्छी तरह से परिभाषित जोड़ और गुणायानी, जब भी हम दो या दो से अधिक मैट्रिक्स संचालित करते हैं, तो ऑपरेशन का परिणाम अभी भी मैट्रिक्स के सेट से संबंधित होता है। हालांकि, घटाव ऑपरेशन के बारे में क्या? हम इस ऑपरेशन को जोड़ (विपरीत मैट्रिक्स) के विलोम के रूप में समझते हैं, जो कि बहुत अच्छी तरह से परिभाषित भी है।

संचालन को परिभाषित करने से पहले, आइए के विचारों को समझते हैं ideas संबंधित तत्व तथा मैट्रिक्स की समानता. संगत तत्व वे होते हैं जो विभिन्न आव्यूहों में एक ही स्थान पर होते हैं, अर्थात वे एक ही पंक्ति और स्तंभ में स्थित होते हैं। स्पष्ट रूप से मिलान करने वाले तत्वों के अस्तित्व के लिए सरणी को उसी क्रम में होना चाहिए। देखो:

तत्व 14 और -14 विपरीत आव्यूह ए और बी के संगत तत्व हैं, क्योंकि वे एक ही स्थिति (समान पंक्ति और स्तंभ) पर कब्जा करते हैं।

दो आव्यूहों को समान कहा जाएगा यदि और केवल यदि संगत तत्व समान हों। अत: दिए गए आव्यूह A = [a_{आईजेयू}]_{एमएक्सएन} और बी = [बी_{आईजेयू}]_{एमएक्सएन}, ये वही होंगे यदि, और केवल यदि,_{आईजेयू} = बी_{आईजेयू} किसी के लिए मैं जे.

• उदाहरण

यह जानते हुए कि आव्यूह A और B बराबर हैं, x और t के मान ज्ञात कीजिए।

चूँकि आव्यूह A और B बराबर हैं, तो संगत अवयव समान होने चाहिए, इसलिए:

एक्स = -1 और टी = 1

• मैट्रिक्स का जोड़ और घटाव

के संचालन मैट्रिक्स के बीच जोड़ और घटाव वे काफी सहज हैं, लेकिन पहले एक शर्त पूरी होनी चाहिए। इन कार्यों को करने के लिए, पहले यह सत्यापित करना आवश्यक है कि सरणी आदेश बराबर हैं।

एक बार जब यह स्थिति सत्यापित हो जाती है, तो मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों को जोड़कर या घटाकर मैट्रिक्स का जोड़ और घटाव होता है। आव्यूहों पर विचार करें A = [a_{आईजेयू}]_{एमएक्सएन} और बी = [बी_{आईजेयू}]_{एमएक्सएन}, तब फिर:

ए + बी = [ए_{आईजेयू} + बी_{आईजेयू}] _{एमएक्सएन}

ए - बी = [ए_{आईजेयू} - बी_{आईजेयू}] _{एमएक्सएन}

• उदाहरण

नीचे दिए गए मैट्रिक्स ए और बी पर विचार करें, ए + बी और ए - बी निर्धारित करें।

यह भी पढ़ें: पूर्ण संख्या संचालन

• मैट्रिक्स द्वारा वास्तविक संख्या का गुणन

एक मैट्रिक्स में एक वास्तविक संख्या का गुणन (जिसे मैट्रिक्स गुणन भी कहा जाता है) एक अदिश द्वारा मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को गुणा करके दिया जाता है।

माना A = [a_{आईजेयू}]_{एमएक्सएन} एक मैट्रिक्स और टी एक वास्तविक संख्या, इसलिए:

टी · ए = [टी · ए_{आईजेयू}]_{एमएक्सएन}

उदाहरण देखें:

• मैट्रिक्स गुणन

आव्यूहों का गुणन उनके जोड़ और घटाव जितना तुच्छ नहीं है। गुणन करने से पहले, आव्यूहों के क्रम के संबंध में एक शर्त भी पूरी होनी चाहिए। मैट्रिक्स ए पर विचार करें_{एमएक्सएन} और बी_{एनएक्सआर}

गुणा करने के लिए, पहले मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए. उत्पाद मैट्रिक्स (जो गुणा से आता है) में पहले में पंक्तियों की संख्या और दूसरे में स्तंभों की संख्या द्वारा दिया गया क्रम है।

मैट्रिक्स ए और बी के बीच गुणा करने के लिए, हमें प्रत्येक पंक्ति को सभी स्तंभों से गुणा करना होगा: पहला तत्व ए के बी के पहले तत्व से गुणा किया जाता है और फिर ए के दूसरे तत्व में जोड़ा जाता है और बी के दूसरे तत्व से गुणा किया जाता है, और इसलिए क्रमिक रूप से। उदाहरण देखें:

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हल किए गए व्यायाम

प्रश्न 1 - (यू. तथा। Londrina - PR) मान लीजिए कि आव्यूह A और B क्रमशः 3 x 4 और p x q हैं, और यदि आव्यूह A · B का क्रम 3 x 5 है, तो यह सत्य है कि:

ए) पी = 5 और क्यू = 5

बी) पी = 4 और क्यू = 5

सी) पी = 3 और क्यू = 5

डी) पी = 3 और क्यू = 4

ई) पी = 3 और क्यू = 3

समाधान

हमारे पास यह कथन है कि:

_3x4 · बी_{पीएक्सक्यू} = सी_3x5

दो आव्यूहों को गुणा करने की शर्त से, हमारे पास यह है कि उत्पाद केवल तभी मौजूद है जब पहले में स्तंभों की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो, इसलिए p = 4। और हम यह भी जानते हैं कि उत्पाद मैट्रिक्स पहले में पंक्तियों की संख्या के साथ दूसरे में स्तंभों की संख्या के द्वारा दिया जाता है, इसलिए q = 5।

इसलिए, पी = 4 और क्यू = 5।

ए: वैकल्पिक बी

प्रश्न 2 - (Vunesp) 2 x 2 वास्तविक आव्यूहों को शामिल करते हुए, निम्नलिखित समानता पर x, y, और z के मान निर्धारित करें।

समाधान

आइए सरणियों के बीच संचालन करें और फिर उनके बीच समानता करें।

x, y और z का मान ज्ञात करने के लिए, हम रैखिक निकाय को हल करेंगे। प्रारंभ में, आइए समीकरण (1) और (2) जोड़ें।

2x - 4 = 0

2x = 4

एक्स = 2

समीकरण (3) में पाए गए x के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

2² = 2z

2z = 4

जेड = 2

और अंत में, समीकरण (1) या (2) में पाए गए x और z के मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

एक्स + वाई - जेड = 0

2 +y - 2 = 0

वाई = 0

अतः समस्या का समाधान S = {(2, 0, 2)} द्वारा दिया जाता है।

रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक