इसपर विचार करें बहुपद समीकरण नीचे जहां सभी गुणांक नहीं नपूर्णांक हैं:
नहीं नएक्सनहीं न + दएन-1एक्सएन-1 + दएन-2एक्सएन-2 + … +2एक्स2 + द1एक्स + ए0 = 0
हे परिमेय मूल प्रमेय गारंटी देता है कि यदि यह समीकरण परिमेय संख्या को स्वीकार करता है पी/क्या भ जड़ के रूप में (के साथ पी
, क्या भ 
तथा एमडीसी (पी, क्यू) = 1), तब फिर 0 से विभाज्य है पी तथा नहीं न से विभाज्य है क्या भ.
टिप्पणियाँ:
1º) परिमेय मूल प्रमेय यह गारंटी नहीं देता है कि बहुपद समीकरण के मूल हैं, लेकिन यदि वे मौजूद हैं, तो प्रमेय हमें पहचानने की अनुमति देता है सभी जड़ें समीकरण का;
2º) अगर नहीं न= 1 और अन्य गुणांक सभी पूर्णांक हैं, समीकरण में केवल पूर्णांक मूल हैं।
3°) अगर क्यू = 1 और तर्कसंगत जड़ें हैं, ये पूरे हैं और के भाजक हैं 0.
परिमेय मूल प्रमेय का अनुप्रयोग:
आइए बहुपद समीकरण के सभी मूल ज्ञात करने के लिए प्रमेय का उपयोग करें 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
सबसे पहले, आइए इस समीकरण के संभावित परिमेय मूलों की पहचान करें, अर्थात् रूप की जड़ें पी/क्या भ. प्रमेय के अनुसार, 0 से विभाज्य है पी; इस तरह, कैसे 0 = 12, तो के संभावित मान पी {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} हैं। समान रूप से, हमें करना होगा
नहीं न से विभाज्य है क्या भ तथा नहीं न = 2, तब फिर क्या भ निम्नलिखित मान हो सकते हैं: {±1, ±2}। इसलिए, के मूल्यों को विभाजित करना पी प्रति क्या भ, हमें संभावित मान मिलते हैं पी/क्या भ समीकरण के मूल: {+½, – ½, +1, – 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.यह पुष्टि करने के लिए कि हमें जो मान मिले हैं, वे वास्तव में बहुपद समीकरण की जड़ हैं, आइए प्रत्येक मान को इसके स्थान पर प्रतिस्थापित करें एक्स समीकरण का। के ज़रिये बीजगणितीय कलन, यदि बहुपद का परिणाम होता है शून्य, अतः प्रतिस्थापित संख्या वास्तव में समीकरण का मूल है।
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
x = + ½. के लिए
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
x = - ½. के लिए
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
एक्स = + 1. के लिए
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
x = - 1. के लिए
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
एक्स = +. के लिए 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
एक्स के लिए = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
एक्स = + 2. के लिए
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
x = - 2. के लिए
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
एक्स = + 3. के लिए
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
x = - 3. के लिए
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
एक्स = + 4. के लिए
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
x = - 4. के लिए
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
एक्स = + 6. के लिए
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
x = - 6. के लिए
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
एक्स = + 12. के लिए
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
x = - 12. के लिए
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
इसलिए, बहुपद समीकरण के मूल 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 वो हैं {– 3, – 2, ½, 2}. के ज़रिये बहुपद अपघटन प्रमेय, हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं (एक्स + 3)। (एक्स + 2)। (एक्स – ½)। (एक्स – 2)= 0.
अमांडा गोंसाल्वेस द्वारा
गणित में स्नातक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm
