सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय

प्राकृतिक संख्याएँ वस्तुओं को मात्राओं से जोड़ने की मनुष्य की आवश्यकता से उत्पन्न हुईं, जो तत्व इस समुच्चय से संबंधित हैं वे हैं:
एन = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}, शून्य बाद में आया, ताकि स्थितीय भरने में कुछ शून्य व्यक्त किया जा सके।
प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल गिनने के उद्देश्य से प्रकट हुआ, वाणिज्य में इसका उपयोग उन स्थितियों के विरुद्ध हुआ जिनमें हानियों को व्यक्त करना आवश्यक था। उस समय के गणितज्ञों ने इस स्थिति को हल करने के लिए, Z अक्षर के प्रतीक के रूप में पूर्ण संख्याओं का समुच्चय बनाया।
जेड = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... }
लाभ या हानि का प्रतिनिधित्व करने वाले वाणिज्यिक संचालन की गणना की जा सकती है, उदाहरण के लिए:
20 - 25 = - 5 (नुकसान)
-10 + 30 = 20 (लाभ)
-100 + 70 = - 30 (हानि)
गणनाओं के विकास के साथ, पूर्ण संख्याओं का समुच्चय कुछ संक्रियाओं को संतुष्ट नहीं कर रहा था, इसलिए एक नया संख्यात्मक समुच्चय निर्धारित किया गया: परिमेय संख्याओं का समूह। इस समुच्चय में प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के साथ पूर्ण संख्याएँ और संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न या दशमलव संख्याओं के रूप में लिखा जा सकता है।

क्यू = {..., -5;...; - 4,7;...; - 2;...; -1;...; 0;...; 2,65;...; 4;... }
कुछ दशमलव संख्याओं को भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, इसलिए वे परिमेय संख्याओं के समुच्चय से संबंधित नहीं हैं, वे अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाते हैं। इस सेट में गणित के लिए महत्वपूर्ण संख्याएँ हैं, जैसे कि संख्या pi (~3.14) और स्वर्ण संख्या (~1.6)।
प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के मिलन से वास्तविक संख्याओं का समूह बनता है।
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का निर्माण समाज की जरूरतों को पूरा करते हुए संपूर्ण गणित विकास प्रक्रिया के दौरान हुआ। नई खोजों की खोज में, गणितज्ञों को एक द्वितीय डिग्री समीकरण के समाधान से उत्पन्न होने वाली स्थिति का सामना करना पड़ा। आइए भास्कर के प्रमेय को लागू करके समीकरण x² + 2x + 5 = 0 हल करें:

ध्यान दें कि प्रमेय विकसित करते समय हमें एक ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का सामना करना पड़ता है, जिससे इसे हल करना असंभव हो जाता है वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के भीतर, क्योंकि संख्या में परिणाम के लिए कोई ऋणात्मक संख्या चुकता नहीं है नकारात्मक। लियोनहार्ड यूलर द्वारा जटिल संख्याओं के निर्माण और अनुकूलन के साथ ही इन जड़ों का समाधान संभव था। सम्मिश्र संख्याओं को अक्षर C द्वारा दर्शाया जाता है और अक्षर i की संख्या के रूप में बेहतर जाना जाता है, इस सेट में निम्नलिखित तर्क दिए जा रहे हैं: i² = -1।
इन अध्ययनों ने गणितज्ञों को ऋणात्मक संख्याओं की जड़ों की गणना करने के लिए प्रेरित किया, क्योंकि का उपयोग करते हुए पद i² = -1, जिसे काल्पनिक संख्या के रूप में भी जाना जाता है, संख्याओं का वर्गमूल निकालना संभव है नकारात्मक। प्रक्रिया का निरीक्षण करें:

सम्मिश्र संख्याएँ अस्तित्व में संख्याओं का सबसे बड़ा समुच्चय हैं।
N: प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
Z: पूर्णांक संख्याओं का समुच्चय
प्रश्न: परिमेय संख्याओं का समुच्चय
I: अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय
आर: वास्तविक संख्याओं का सेट
सी: जटिल संख्याओं का सेट

मार्क नूह द्वारा
गणित में स्नातक
ब्राजील स्कूल टीम

जटिल आंकड़े - गणित - ब्राजील स्कूल

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-complexos.htm