प्राकृतिक संख्याएँ: इस सेट के बारे में और जानें!

आप प्राकृतिक संख्या ऐतिहासिक रूप से ध्यान में रखे जाने वाले पहले संख्यात्मक सेट थे। वे से उभरे हैं गिनने की जरूरत इंसान की। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में अवयव होते हैं सकारात्मक संख्या और पूर्णांक, जैसे १, २, ३, ४,…. इस सेट में अतिरिक्त संचालन है, घटाव, गुणा, भाग, पोटेंशिएशन और विकिरण.

प्राकृतिक संख्याएँ क्या हैं?

प्राकृतिक संख्याएँ संख्याएँ हैं सख्ती से सकारात्मक जिनके पास अल्पविराम नहीं है, अर्थात वे मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं पूरा का पूरा. प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है:

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है a अनंत समुच्चयअर्थात किसी भी प्राकृत संख्या को देखते हुए उससे कम से कम एक संख्या बड़ी होती है। तत्वों के कुछ उदाहरण देखें जो इस समुच्चय से संबंधित हैं और नहीं हैं।

ऊपर के उदाहरण से, हमारे पास है कि संख्या 10, 2 और 100 प्राकृतिक सेट से संबंधित हैं, और संख्याएं 1.65, -2 और 0 प्राकृतिक सेट से संबंधित नहीं हैं।

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एक प्राकृतिक संख्या का उत्तराधिकारी

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय वह पहला है जो हमने स्कूल में सीखा।

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जैसा कि हमने ऊपर कहा, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय एक अनंत समुच्चय होता है, अर्थात कोई भी संख्या दी जाती है नहीं न प्राकृतिक, हमेशा होता है एन+1, प्राकृतिक भी। जो नंबर एन+1 का उत्तराधिकारी कहा जाता है एन किसी भी प्राकृत संख्या का उत्तराधिकारी ज्ञात करने के लिए, बस जोड़ना उस नंबर पर 1। एक उदाहरण के रूप में, आइए संख्या 3, 1, 5 और 2p + 1 के उत्तराधिकारियों को निर्धारित करें।

संख्या 3 का उत्तराधिकारी 3+1 द्वारा दिया जाता है, अर्थात संख्या 4। इसी प्रकार, १ और ५ के उत्तराधिकारी क्रमशः २ और ६ हैं। उत्तराधिकारी की परिभाषा के बाद, मान लें कि 2p + 1 का उत्तराधिकारी 2p + 1 + 1 है, यानी 2p + 2।

उत्तराधिकारी की परिभाषा के साथ, यह विचार स्पष्ट हो जाता है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत है, क्योंकि प्राकृतिक संख्या के किसी भी उत्तराधिकारी को खोजना हमेशा संभव होता है।

एक प्राकृतिक संख्या का पूर्वज

एक प्राकृतिक संख्या के पूर्ववर्ती नहीं न वह है जो इस संख्या से पहले है नहीं न. हम लिख सकते हैं के पूर्ववर्ती नहीं न पसंद एन - 1. एक उदाहरण के रूप में, आइए संख्या 2, 5, 1000 और 2p + 1 के पूर्ववर्तियों को निर्धारित करें।

2 का पूर्ववर्ती 2 - 1 द्वारा दिया गया है, इसलिए यह संख्या 1 है। इसी तरह, ५ और १००० के पूर्ववर्ती क्रमशः संख्या ४ और ९९९ हैं। संख्या 2p + 1 का पूर्ववर्ती 2p + 1-1 है, अर्थात 2p +1 का पूर्ववर्ती संख्या 2p है।

यह कहना ज़रूरी है कि हर प्राकृतिक संख्या का पूर्ववर्ती नहीं होता, नंबर 1 का मामला है। पूर्वज की परिभाषा को लागू करते हुए, हमारे पास यह है कि संख्या 1 का पूर्ववर्ती 1 - 1 = 0 है, लेकिन रेखावृत्त शून्य प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित नहीं है. इसलिए, संख्या 1 के अपवाद के साथ, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का एक पूर्ववर्ती होता है। इसी कारण संख्या 1 को प्राकृतों का न्यूनतम तत्व कहा जाता है, अर्थात यह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है। हम इस जानकारी को इस तरह लिख सकते हैं:

प्राकृत संख्याओं का उपसमुच्चय

हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णतः धनात्मक संख्याओं से बना होता है, अर्थात् शून्य से बड़ी संख्याएँ। theory के सिद्धांत से सेट, हमारे पास वह है, समुच्चय ए और बी को देखते हुए, हम कहते हैं कि B, A का एक उपसमुच्चय है यदि B का प्रत्येक अवयव A का एक अवयव है, यानी, बी ए (बी ⸦ ए) में निहित है।

इस प्रकार, प्राकृत संख्याओं द्वारा निर्मित कोई भी समुच्चय प्राकृत संख्याओं का उपसमुच्चय होगा। कुछ उदाहरण देखें:

सेट पर विचार करें:

ए = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

बी = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

सी = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}

डी = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

समुच्चय A, B और C प्राकृत संख्याओं के उपसमुच्चय हैं, क्योंकि इन समुच्चयों के सभी अवयव भी प्राकृत संख्याओं के अवयव हैं, अर्थात् हम कह सकते हैं कि:

अब सेट डी को देखें। ध्यान दें कि इस समुच्चय में प्रत्येक अवयव प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से संबंधित नहीं है। यह संख्या 0 के मामले में है। इसलिए, डी यह सबसेट नहीं है प्राकृत संख्याओं का, अर्थात्, D प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में समाहित नहीं है। हम इस तथ्य को इस प्रकार निरूपित करते हैं:

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सम प्राकृत संख्याएं

हम कहते हैं कि एक संख्या तब भी होती है जब वह संख्या 2 का गुणज हो, जो यह कहने के बराबर है कि यह संख्या 2 से विभाज्य है। देखो:

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}

चूँकि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय एक अनंत समुच्चय है, इसलिए सम संख्याओं का समुच्चय भी है। यह भी ध्यान दें कि सम संख्याओं के समुच्चय का प्रत्येक अवयव भी प्राकृत संख्याओं का एक अवयव है और इसलिए का समुच्चय है सम संख्याएँ प्राकृतिक का एक उपसमुच्चय है।.

देखना है कि:

2 = 2 · 1

4 = 2 · 2

6 = 2 · 3

8 = 2 · 4

10 = 2 ·5

12 = 2 · 6

सभी प्राकृत संख्याओं को संख्या 2 से गुणा करके सम संख्याओं का समुच्चय प्राप्त किया जा सकता है। अतः एक प्राकृत संख्या पर विचार करते हुए नहीं न, हम व्यंजक 2n का उपयोग करके एक सम संख्या लिख सकते हैं, इसलिए सम संख्याओं के समुच्चय को सामान्य रूप से लिखा जा सकता है:

उदाहरण के तौर पर, आइए जानें कि क्या संख्याएं 1000, 2098 और 55 सम हैं।

चूँकि १००० = २ · ५०० और २०९८ = २ · १०४९, वे सम हैं क्योंकि एक प्राकृत संख्या है जिसे 2 से गुणा करने पर उन्हें प्राप्त होता है। अब, 55 सम नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई प्राकृत संख्या नहीं है जिसे 2 से गुणा करने पर 55 प्राप्त होता है। देखो:

54 = 2 · 27

56 = 2 · 28

जैसा कि हम अच्छी तरह जानते हैं, 27 और 28 के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं है, इसलिए 55 सम नहीं है।

विषम प्राकृत संख्याएं

एक संख्या विषम होती है यदि वह सम नहीं है, अर्थात जब वह 2 से न तो बहु है और न ही विभाज्य है। इस प्रकार, का सेट विषम प्राकृत संख्याएँ वे प्राकृत संख्याएँ हैं जो 2 की गुणज नहीं हैं। इस सेट को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}

सम संख्याओं के समुच्चय में हमने जो किया उसके अनुरूप, हमारे पास है:

3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1

विषम संख्याओं का समुच्चय गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है सभी प्राकृत संख्याओं को 2 से जोड़कर 1. एक प्राकृतिक संख्या पर विचार नहीं न कोई भी, हम व्यंजक 2n + 1 का प्रयोग करके कोई भी विषम संख्या लिख सकते हैं। सामान्यतया, हम विषम संख्याओं के समुच्चय को निम्न द्वारा निरूपित करते हैं:

ध्यान दें कि विषम संख्याओं का समुच्चय भी एक अनंत समुच्चय है, क्योंकि विषम संख्याएँ प्राप्त करने के लिए हम प्राकृत संख्याओं को 2 से गुणा करते हैं और फिर 1 जोड़ते हैं। इस कारण से, विषम संख्याओं का समुच्चय भी प्राकृत संख्याओं का उपसमुच्चय है।, क्योंकि इस समुच्चय का प्रत्येक अवयव भी प्राकृतिक तत्वों का ही एक अवयव है।

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हल किए गए व्यायाम

प्रश्न 1 - नीचे सूचीबद्ध संख्याओं की केवल प्राकृत संख्याओं की सूची बनाएं:

0, 1, 2, 0,43; -1, - 0.5 और 98,765

समाधान

हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णतः धनात्मक संख्याओं से बना होता है जिनमें अल्पविराम नहीं होता है, इसलिए सूची में प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 1, 2 और 98,765।

प्रश्न 2 - एक सम संख्या के सामान्य रूप को ध्यान में रखते हुए, क्या यह सच है कि दो सम संख्याओं को जोड़ने पर भी परिणाम सम होता है? वही विषम संख्याओं के लिए जाता है?

समाधान

हम जानते हैं कि किसी भी प्राकृत संख्या को 2 से गुणा करके सामान्य रूप से एक सम संख्या लिखी जा सकती है। दो भिन्न प्राकृत संख्याओं, 2n और 2m पर विचार कीजिए, जहाँ म तथा नहीं न कोई भी प्राकृत संख्या, दोनों का योग किसके द्वारा निर्धारित होता है:

2n + 2m

संख्या 2 को प्रमाण में रखते हुए, हमारे पास है:

2 ·(एन+एम)

पसंद नहीं न तथा म दो प्राकृत संख्याएँ हैं, उनका योग भी है, इसलिए n + m = k, जहाँ क एक प्राकृतिक संख्या।

2 ·(एन+एम)

2 · के

इसलिए, दो सम प्राकृत संख्याओं का योग भी एक सम संख्या होती है, क्योंकि योग के परिणामस्वरूप 2 का गुणज होता है।

अब हम जानते हैं कि एक प्राकृत संख्या को संख्या 1 में जोड़ने पर 2 से गुणा करने पर एक विषम संख्या प्राप्त होती है। अब दो भिन्न विषम संख्याओं, 2n +1 और 2m + 1 पर विचार करें म तथा नहीं न प्राकृतिक। इन संख्याओं को एक साथ जोड़ने पर, हमारे पास है:

2एन+1 + 2मी +1

2एन + 2 एम +2

फिर से संख्या 2 को प्रमाण में रखते हुए, हमारे पास है:

2 (एन+एम+1)

ध्यान दें कि n + m + 1 एक प्राकृत संख्या है और हम इसे p द्वारा निरूपित कर सकते हैं, अर्थात्, एन + एम + 1 = पी, जल्द ही:

2 ·(एन+एम+1)

2 · पी

ध्यान दें कि दो विषम संख्याओं को जोड़ने के परिणाम में 2 का गुणज होता है, जो कि सम होता है। अतः दो विषम संख्याओं का योग एक सम संख्या होती है।

प्रश्न 3 - (निविदा / प्रीफ। इटाबोराई से) दो प्राकृत संख्याओं के बीच का भागफल 10 है। लाभांश को 5 से गुणा करने और भाजक को आधा करने पर, नए भाग का भागफल होगा:

ए) 2

बी) 5

ग) 25

घ) 50

ई) 100

समाधान

कथन के अनुसार, दो प्राकृत संख्याओं के बीच भागफल (भाग) 10 है। जैसा कि हम अभी भी नहीं जानते हैं कि ये संख्याएँ क्या हैं, आइए इन्हें नाम दें म तथा नहीं न, तब फिर: