क्रमपरिवर्तन अभ्यासों को हल किया गया और समझाया गया

क्रमपरिवर्तन गिनती की समस्याओं का हिस्सा हैं। हम किसी समुच्चय में तत्वों के क्रम की संख्या जानने के लिए क्रमपरिवर्तन का उपयोग करते हैं। क्रमपरिवर्तन के बारे में अपने ज्ञान का अभ्यास करें और हल किए गए अभ्यासों से अपनी शंकाओं का समाधान करें।

अभ्यास 1

दो दोस्त छह भुजाओं वाले पासों से खेल रहे थे। यह ज्ञात है कि संख्याएँ 4, 1, 2 और 5 निकलीं, जरूरी नहीं कि इसी क्रम में हों। परिणामों के कितने क्रम हो सकते थे?

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उत्तर: 24

परिणामों का कुछ क्रम इस प्रकार हो सकता है:

1, 2, 4 और 5 या
5, 4, 5 और 1 या
4, 5, 1 और 2

संभावित आदेशों की कुल संख्या निर्धारित करने के लिए, हम चार अलग-अलग तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन की गणना करते हैं।

व्यायाम 2

छह दोस्तों का एक समूह सिनेमा में फिल्म देखने गया और सीटों की एक ही पंक्ति के लिए अपने टिकट खरीदे। यह मानते हुए कि वहाँ एक जोड़ा है और वे पड़ोसी कुर्सियों पर बैठे हैं, ये दोस्त कुर्सियों की पंक्ति में कितने तरीकों से फिट हो सकते हैं?

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उत्तर: 240

चूंकि गणना में "मित्र" सेट के सभी तत्वों पर विचार किया जाता है, यह एक क्रमपरिवर्तन समस्या है।

क्रमपरिवर्तन की कुल संभावित संख्या की गणना करने के लिए, हमने 5 तत्वों पर विचार किया, क्योंकि जोड़े को हमेशा एक साथ रहना चाहिए।

इसके अलावा, इन 120 संभावनाओं में से, हमें दो से गुणा करना होगा, क्योंकि जोड़े एक-दूसरे के साथ स्थानों का आदान-प्रदान कर सकते हैं।

इस प्रकार, दोस्तों के लिए खुद को कुर्सियों की पंक्ति में व्यवस्थित करने के संभावित तरीकों की संख्या है:

120. 2 = 240

व्यायाम 3

7 छात्रों की एक कक्षा अपने अवकाश के समय का लाभ उठाते हुए आंगन में खेल रही है। कक्षाओं में लौटने की सूचना देने वाला संकेत सुनकर, छात्र एक पंक्ति बनाने के लिए आगे बढ़ते हैं। छात्र कितने अलग-अलग तरीकों से कतार अनुक्रम बना सकते हैं?

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उत्तर: 5040

कतार को व्यवस्थित करने के संभावित तरीकों की कुल संख्या 7 अलग-अलग तत्वों का क्रमपरिवर्तन है।

व्यायाम 4

एक फोटोग्राफर एक बेंच पर बैठे 5 बच्चों की तस्वीर लेने के लिए अपने कैमरे को समायोजित कर रहा है। इस ग्रुप में 3 लड़कियां और 2 लड़के हैं. फोटो के लिए बच्चों की संभावित व्यवस्था इस प्रकार होगी:

उस स्थिति को ध्यान में रखते हुए जिसमें बच्चे बेंच पर बैठ सकते हैं, फोटोग्राफर कितने तरीकों से लड़कों और लड़कियों को अलग-अलग तस्वीरें प्राप्त करके व्यवस्थित कर सकता है?

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उत्तर: 10

यह दोहराए गए तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन का मामला है। हमें दोहराए जाने वाले तत्वों के क्रमपरिवर्तन के बीच उत्पाद द्वारा क्रमपरिवर्तन की कुल संख्या को विभाजित करना होगा।

व्यायाम 5

PREFEITURA शब्द के अक्षरों से कितने अनाग्राम बनाए जा सकते हैं?

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उत्तर: 907 200

CITY HALL शब्द में 10 अक्षर हैं, जिनमें से कुछ दोहराए गए हैं। अक्षर E दो बार आता है, साथ ही R भी।

हम 10 तत्वों के क्रमपरिवर्तन के बीच विभाजन की गणना करते हैं और दोहराए गए तत्वों के क्रमपरिवर्तन के उत्पाद से विभाजित करते हैं।

व्यायाम 6

(UEMG 2019) PONTA शब्द में अक्षरों के सभी क्रमपरिवर्तनों के सेट से, एक को यादृच्छिक रूप से हटा दिया जाता है। उस शब्द को हटाने की प्रायिकता क्या है जो एक स्वर से प्रारंभ और समाप्त होता है?

ए) 1/20

बी) 1/10

ग) 1/6

घ) 1/5

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उत्तर कुंजी समझाई गई

स्टेप 1: पोंटा शब्द के अक्षरों के साथ सभी क्रमपरिवर्तनों की संख्या।

चूँकि पाँच अलग-अलग अक्षर हैं, हमारे पास हैं:

चरण दो: एक स्वर से प्रारंभ और समाप्त होने वाले क्रमपरिवर्तनों की संख्या।

पहले अक्षर के लिए दो स्वर विकल्प हैं, अंतिम अक्षर के लिए केवल 1 होगा।

व्यंजन के लिए 3 हैं! संभावनाएं.

2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12

चरण 3: संभाव्यता अनुपात निर्धारित करें.

व्यायाम 7

(EsPCex 2012) अंक 1, 2, 3, 4, 5 के क्रमपरिवर्तनों में से किसी एक को यादृच्छिक रूप से चुनने पर 2 से विभाज्य संख्या प्राप्त करने की संभावना है

ए) 1/5

बी) 2/5

ग) 3/4

घ) 1/4

ई) 1/2

प्रतिक्रिया सत्यापित करें

उत्तर कुंजी समझाई गई

स्टेप 1: कुल क्रमपरिवर्तन.

चूंकि पांच अलग-अलग तत्व हैं, हमारे पास है कि 5 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या 5 फैक्टोरियल के बराबर है।

चरण दो: पाँच अंकों वाली दो से विभाज्य संख्याओं का क्रमपरिवर्तन।

2 से विभाज्य होने के लिए शर्त यह है कि वह सम हो। इस प्रकार, अंतिम अंक के लिए दो विकल्प हैं, 2 और 4।

अन्य पदों के लिए 4 हैं! संभावनाएं.

चरण 3: संभाव्यता गणना.

व्यायाम 8

(EsFCEx 2022) मान लीजिए कि P अनुक्रम 1, 3, 6, 9, 12 के क्रमपरिवर्तन का सेट है जिसके लिए पहला पद 1 से भिन्न है। यदि इनमें से एक अनुक्रम को यादृच्छिक रूप से खींचा जाता है, तो संभावना है कि दूसरा पद 3 है, पी/क्यू के बराबर है, पी, क्यू ∈ आईएन* और जीसीडी (पी, क्यू) = 1 के साथ। इसलिए, q – p बराबर है

ए) 13.

बी) 15.

ग) 12.

घ) 14.

ई) 11.

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उत्तर कुंजी समझाई गई

स्टेप 1: नमूना स्थान में कुल संभावित मामलों की संख्या निर्धारित करें।

दाएँ से बाएँ, पहली संख्या एक नहीं हो सकती, इसलिए पहले स्थान पर रहने की 4 संभावनाएँ हैं।

अन्य पदों पर कब्जा करने के लिए 4 हैं! संभावनाएं.

क्रमपरिवर्तन हैं:

1.4! = 4.4.3.2.1 = 96

चरण दो: घटना घटित होने की संभावनाएँ निर्धारित करें, दूसरा तीन है, पहला एक से भिन्न है।

क्रमपरिवर्तन हैं:

3.1.3.2.1 = 18

चरण 3: संभाव्यता अनुपात।

संभाव्यता अनुपात है:

पी = 18 और क्यू = 96 के साथ।

हालाँकि, अभी भी यह शर्त है कि p और q के बीच सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है, जो 18 और 96 के साथ नहीं होता है।

हमें 18/96 के समतुल्य भिन्नों को सरल बनाना और उनका परीक्षण करना चाहिए।

चरण 4: संभाव्यता अंश का सरलीकरण और पी और क्यू का निर्धारण।

चूँकि gcd (3, 16) = 1, p = 3 और q = 16।

चरण 5: निष्कर्ष।

क्यू - पी = 16 - 3 = 13

बारे में और सीखो परिवर्तन.

अधिक अभ्यासों के लिए देखें:

संयुक्त विश्लेषण अभ्यास

कैसे उद्धृत करें?

एएसटीएच, राफेल. क्रमपरिवर्तन अभ्यासों को हल किया गया और समझाया गया।सब मायने रखता है, [रा।]. में उपलब्ध: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. यहां पहुंचें:

आप भी देखें

• संयुक्त विश्लेषण
• संयुक्त विश्लेषण अभ्यास
• क्रमपरिवर्तन: सरल और दोहराव के साथ
• गणित में व्यवस्था: यह क्या है, गणना कैसे करें, उदाहरण
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