घातीय समीकरण: वे क्या हैं और कैसे हल करें (उदाहरण के साथ)

एक समीकरण घातांकीय होता है जब अज्ञात (अज्ञात मान) किसी घात के घातांक में होता है। इस प्रकार, एक गणितीय वाक्य जिसमें दो पदों के बीच समानता शामिल होती है, जहां अज्ञात कम से कम एक घातांक में प्रकट होता है, एक घातीय समीकरण कहलाता है।

एक शक्ति स्वयं अपने आधार के गुणनफल का परिणाम होती है, जितनी बार प्रतिपादक द्वारा निर्धारित की जाती है।

एक घातीय समीकरण में हम यह निर्धारित करते हैं कि एक निश्चित परिणाम प्राप्त करने के लिए कितने कारकों को गुणा किया जाता है, यानी आधार को कितनी बार गुणा किया जाता है।

घातीय समीकरण की परिभाषा:

प्रारंभ शैली गणित आकार 18px सीधे b से सीधे x की घात सीधे शैली के अंत के बराबर होती है

कहाँ:

बी आधार है;
x प्रतिपादक (अज्ञात) है;
ए शक्ति है.

किस पर सीधा बी 1 सीधे स्थान के बराबर नहीं है और सीधा बी 0 से अधिक है यह है सीधे ए बराबर नहीं 0 .

घातीय समीकरण का उदाहरण:

अज्ञात चर घातांक में है। हमें यह निर्धारित करना होगा कि 2 को कितनी बार गुणा करने पर परिणाम 8 आएगा। जैसे 2. 2. 2 = 8, x = 3, क्योंकि परिणाम 8 प्राप्त करने के लिए 2 को तीन बार गुणा करना होगा।

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

घातांकीय समीकरण विभिन्न तरीकों से लिखे जा सकते हैं और उन्हें हल करने के लिए, हम समान आधारों वाली समान घातों का उपयोग करेंगे, जिनके घातांक भी समान होने चाहिए।

चूँकि घातांकीय फलन विशेषण है, हमारे पास है:

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घातांक के 1 सबस्क्रिप्ट सिरे के साथ सीधे b की घात सीधी b के घातांक के 2 सबस्क्रिप्ट सिरे के साथ सीधे x की घात तक सीधी b के बराबर घातांकीय स्थान दोहरा तीर बाएँ और दाएँ स्थान सीधा x 1 सबस्क्रिप्ट के साथ सीधा x 2 के साथ बराबर होता है सदस्यता लिया

इसका मतलब यह है कि समान आधार वाली दो घातें समान होंगी यदि और केवल तभी जब उनके घातांक भी समान हों।

इस प्रकार, घातांकीय समीकरणों को हल करने की एक रणनीति है शक्तियों के आधारों को बराबर करना। एक बार जब आधार समान हो जाएं, तो हम उन्हें हटा सकते हैं और घातांकों की तुलना कर सकते हैं।

घातीय समीकरण में शक्तियों के आधारों को बराबर करने के लिए, हम गुणनखंडन और जैसे गणितीय उपकरणों का उपयोग करते हैं पोटेंशिएशन गुण.

घातांकीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1
सीधी रेखा x की घात 2, 64 के बराबर

यह एक घातीय समीकरण है, क्योंकि वाक्य में एक समानता (समीकरण) शामिल है और अज्ञात चर x घातांक (घातांक) में है।

अज्ञात x का मान निर्धारित करने के लिए, हम 64 के गुणनखंड का उपयोग करके, शक्तियों के आधारों को बराबर करते हैं।

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 या 2 की घात 6

समीकरण में प्रतिस्थापित:

हम आधारों की उपेक्षा करते हैं, केवल घातांकों के बीच समानता छोड़ते हैं।

एक्स = 6

इस प्रकार, x = 6 समीकरण का परिणाम है।

उदाहरण 2
सीधी x की घात 9 और घातांक का 1 सिरा 81 के बराबर

हम गुणनखंडन का उपयोग करके आधारों को बराबर करते हैं।

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

समीकरण में प्रतिस्थापित:

खुले कोष्ठक 3 वर्ग कोष्ठक को x की घात के साथ बंद करें और घातांक का 1 सिरा 3 की घात 4 के बराबर है

किसी घात के घात गुण का उपयोग करके, हम बायीं ओर के घातांकों को गुणा करते हैं।

2 की घात 3 x और घातांक का 2 अंत 3 की घात 4 के बराबर

आधार बराबर होने पर, हम उन्हें त्याग सकते हैं और घातांक बराबर कर सकते हैं।

2 सीधे x जोड़ 2 बराबर 4 2 सीधे x बराबर 4 घटा 2 2 सीधे x बराबर 2 सीधे x बराबर 2 बटा 2 बराबर 1

इस प्रकार, x = 1 समीकरण का परिणाम है।

उदाहरण 3

0 अल्पविराम 75 सीधे x की घात 9 बटा 16 स्थान के बराबर

हम आधार 0.75 को सेंटीसिमल भिन्न में बदलते हैं।

100 से अधिक 75 कोष्ठक खोलें, सीधे x की घात से कोष्ठक बंद करें, 9 से अधिक 16 स्थान के बराबर

हम सेंटीसिमल भिन्न को सरल बनाते हैं।

कोष्ठक 3 बटा 4 खोलें कोष्ठक को सीधे x की घात के बराबर 9 बटा 16 स्थान पर बंद करें

हम कारक 9 और 16 हैं।

3 बटा 4 कोष्ठक खोलें, कोष्ठक को सीधे x की घात से बंद करें, 3 वर्ग बटा 4 वर्ग के बराबर

आधारों को बराबर करने पर, हमें x = 2 प्राप्त होता है।

खुले कोष्ठक 3 बटे 4 कोष्ठक को वर्ग में बंद करें घात x खुले कोष्ठक के बराबर 3 बटा 4 कोष्ठक को वर्ग में बंद करें

एक्स = 2

उदाहरण 4

हम जड़ को शक्ति में बदलते हैं।

x की घात 4, घातांक के 1 तिहाई सिरे की घात 32 के बराबर

हम शक्ति आधारों को ध्यान में रखते हैं।

खुले कोष्ठक 2 वर्ग, कोष्ठक को x की घात के बराबर बंद करें, खुले कोष्ठक 2 की घात के बराबर, 5 की घात के करीब कोष्ठक को घातांक के 1 तिहाई की घात के करीब करें।

घातांकों को गुणा करके, हम आधारों को बराबर करते हैं।

घातांक के 2 की घात x घातांक के 3 सिरे की घात 2 के बराबर घातांक के 3 सिरे की घात 5

इसलिए, हमें यह करना होगा:

2 सीधी एक्स बराबर 5 बटा 3 सीधी एक्स बराबर अंश 5 बटा हर 2.3 भिन्न का अंत बराबर 5 बटा 6

उदाहरण 5

फैक्टरिंग 25

कोष्ठक खोलें 5 वर्ग सीधे x की घात के लिए कोष्ठक बंद करें शून्य से 6.5 से सीधी x की शक्ति जमा 5 जोड़ 5 के बराबर 0

हम 5² की घात को x में पुनः लिखते हैं। घातांक का क्रम बदलना.

कोष्ठक 5 को x की घात तक खोलें, कोष्ठक को वर्ग में शून्य से 6.5 के वर्ग को बंद करें, सीधे x की घात तक जमा 5 जोड़ 0 के बराबर है

हम एक सहायक चर का उपयोग करते हैं, जिसे हम y कहेंगे।

सीधे x की घात 5 सीधे y के बराबर होती है (इस समीकरण को रखें, हम इसका उपयोग बाद में करेंगे)।

पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करना.

सीधा y वर्ग शून्य से 6. सीधा y जमा 5 बराबर 0 सीधा y वर्ग घटा 6 सीधा y जमा 5 बराबर 0

द्विघात समीकरण को हल करने पर, हमारे पास है:

वेतन वृद्धि बी वर्ग शून्य से 4 के बराबर है। द. सी वृद्धि बराबर है बायां कोष्ठक शून्य से 6 दायां कोष्ठक वर्ग शून्य से 4.1.5 वृद्धि बराबर 36 शून्य 20 वेतन वृद्धि बराबर 16

1 सबस्क्रिप्ट के साथ सीधा y, अंश को घटाकर सीधा b और हर 2 पर वृद्धि के वर्गमूल के बराबर होता है। अंश के बराबर 1 सबस्क्रिप्ट के साथ सीधे भिन्न y के अंत तक, बायां कोष्ठक घटाकर 6 दायां कोष्ठक और 16 का वर्गमूल घटाएं हर के ऊपर 2.1 सीधे भिन्न y का अंत, 1 अंश के बराबर, अंश के बराबर 6 प्लस 4, हर के ऊपर 2, भिन्न का अंत, बराबर 10 के बराबर 2 5 के बराबर

2 सबस्क्रिप्ट के साथ सीधा y, अंश को घटाकर सीधा b, हर 2 पर वृद्धि के वर्गमूल को घटाकर बराबर करता है। भिन्न के अंत तक सीधा y, 2 अंश के साथ बराबर अंश 6 घटा 4 बटा हर 2 अंश का अंत बराबर 2 बटा 2 बराबर 1

द्विघात समीकरण के लिए निर्धारित समाधान {1, 5} है, हालाँकि, यह घातीय समीकरण का समाधान नहीं है। हमें वेरिएबल x पर वापस जाना होगा सीधे x की घात 5 सीधे y के बराबर होती है।