ए पक्ष यह जोड़, घटाव, गुणा, भाग और पोटेंशियेशन की तरह ही एक गणितीय संक्रिया है। जिस प्रकार घटाना जोड़ की विपरीत क्रिया है और विभाजन गुणन की विपरीत क्रिया है, उसी प्रकार रेडिएशन पोटेंशियेशन की विपरीत क्रिया है। इस प्रकार, वास्तविक सकारात्मक x और y और पूर्णांक n (2 से बड़ा या उसके बराबर) के लिए, यदि x को n तक बढ़ाया गया है तो वह y के बराबर है, हम कह सकते हैं कि y का nवाँ मूल x के बराबर है। गणितीय संकेतन में: \(x^n=y\राइटएरो\sqrt[n]{y}=x\).
यह भी पढ़ें:भिन्नों का पोटेंशिएशन और विकिरण - यह कैसे करें?
रूटिंग के बारे में सारांश
रूटिफिकेशन एक गणितीय ऑपरेशन है।
रेडिएशन और पोटेंशियेशन विपरीत संक्रियाएं हैं, यानी सकारात्मक x और y के लिए, \(x^n=y\राइटएरो\sqrt[n]{y}=x\).
किसी संख्या y के nवें मूल की गणना करने का अर्थ है संख्या x को इस प्रकार ज्ञात करना कि x को n तक बढ़ाया जाना y के बराबर हो।
रूट को पढ़ना सूचकांक n पर निर्भर करता है। यदि n = 2 है, तो हम इसे वर्गमूल कहते हैं, और यदि n = 3 है, तो हम इसे घनमूल कहते हैं।
रेडिकल के साथ संचालन में, हम समान सूचकांक वाले शब्दों का उपयोग करते हैं।
विकिरण में महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो इसकी गणना को सुविधाजनक बनाते हैं।
रूटिंग पर वीडियो पाठ
जड़ का प्रतिनिधित्व
एक रूटिंग का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हमें इसमें शामिल तीन तत्वों पर विचार करना चाहिए: रेडिकैंड, इंडेक्स और रूट। प्रतीक \(√\) कट्टरपंथी कहा जाता है.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
इस उदाहरण में, y मूलांक है, n सूचकांक है और x मूल है. इसमें लिखा है "y का nवाँ मूल x है"। जबकि x और y सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, n 2 के बराबर या उससे अधिक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि n = 2 के लिए, सूचकांक को छोड़ा जा सकता है। तो, उदाहरण के लिए, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
हम भिन्नात्मक घातांक के साथ मूलांक का उपयोग करके एक विकिरण का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं. औपचारिक रूप से, हम कहते हैं कि nवाँ मूल \(y^m\) y को भिन्नात्मक घातांक तक बढ़ाकर लिखा जा सकता है \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
उदाहरण देखें:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
रेडिएशन और पोटेंशिएशन के बीच अंतर
पोटेंशिएशन और विकिरण व्युत्क्रम गणितीय संक्रियाएँ हैं. इसका मतलब यह है कि अगर \(x^n=y\), तब \(\sqrt[n]{y}=x\). यह कठिन लगता है? आइए कुछ उदाहरण देखें.
अगर \(3^2=9\), तब \(\sqrt[2]{9}=3\).
अगर \(2^3=8\), तब \(\sqrt[3]{8}=2\).
अगर \(5^4=625\), तब \(\sqrt[4]{625}=5\).
रूट कैसे पढ़ें?
एक जड़ को पढ़ने के लिए, हमें सूचकांक पर विचार करना चाहिए एन. यदि n = 2, हम इसे वर्गमूल कहते हैं. यदि n = 3 है, तो हम इसे घनमूल कहते हैं। के मूल्यों के लिए एन बड़ा, हम क्रमसूचक संख्याओं के लिए नामकरण का उपयोग करते हैं: चौथा मूल (यदि n = 4), पांचवां मूल (यदि n = 5) और इसी तरह। कुछ उदाहरण देखें:
\(\sqrt[2]{9}\) – 9 का वर्गमूल.
\(\sqrt[3]{8}\) – 8 का घनमूल.
\(\sqrt[4]{625}\) - 625 का चौथा मूल।
किसी संख्या के मूल की गणना कैसे करें?
हम नीचे देखेंगे कि किसी धनात्मक वास्तविक संख्या के मूल की गणना कैसे करें। किसी संख्या के मूल की गणना करने के लिए, हमें संबंधित व्युत्क्रम संक्रिया पर विचार करना चाहिए। अर्थात्, यदि हम किसी संख्या y के nवें मूल की तलाश करते हैं, तो हमें ऐसी संख्या x की भी तलाश करनी चाहिए \(x^n=y\).
Y के मान (अर्थात मूलांक) के आधार पर, यह प्रक्रिया सरल या श्रमसाध्य हो सकती है। आइए किसी संख्या के मूल की गणना कैसे करें इसके कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 1:
144 का वर्गमूल क्या है?
संकल्प:
आइए उस नंबर पर कॉल करें जिसे हम x ढूंढ रहे हैं, यानी, \(\sqrt{144}=x\). ध्यान दें कि इसका मतलब ऐसी संख्या x की तलाश करना है \(x^2=144\). आइए प्राकृतिक संख्याओं के साथ कुछ संभावनाओं का परीक्षण करें:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
इसलिए, \(\sqrt{144}=12\).
उदाहरण 2:
100 का घनमूल क्या है?
संकल्प:
आइए उस नंबर पर कॉल करें जिसे हम x ढूंढ रहे हैं, यानी, \(\sqrt[3]{100}=x\). इस का मतलब है कि \(x^3=100\). आइए कुछ संभावनाओं का परीक्षण करें:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
ध्यान दें कि हम एक ऐसी संख्या की तलाश कर रहे हैं जो 4 और 5 के बीच हो \(4^3=64\) यह है \(5^3=125\). तो, आइए 4 और 5 के बीच की संख्याओं के साथ कुछ संभावनाओं का परीक्षण करें:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
जैसा \(4,6^3 \) 100 के करीब और उससे कम संख्या है, हम कह सकते हैं कि 4.6 100 के घनमूल का एक अनुमान है। इसलिए, \(\sqrt[3]{100}≈4.6\).
महत्वपूर्ण:जब मूल एक परिमेय संख्या होती है, तो हम कहते हैं कि मूल सटीक है; अन्यथा, जड़ सटीक नहीं है. उपरोक्त उदाहरण में, हम सटीक जड़ों के बीच एक सीमा निर्धारित करते हैं जहां खोजा गया रूट पाया जाता है:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
यह रणनीति किसी मूल के सन्निकटन की गणना के लिए बहुत उपयोगी है।
कट्टरपंथियों के साथ संचालन
रेडिकल के साथ संचालन में, हम समान सूचकांक वाले शब्दों का उपयोग करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए निम्नलिखित जानकारी को ध्यानपूर्वक पढ़ें।
→ मूलकों के बीच जोड़ और घटाव
मूलांकों के बीच जोड़ या घटाव को हल करने के लिए, हमें प्रत्येक मूलांक की जड़ की अलग से गणना करनी होगी।
उदाहरण:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
महत्वपूर्ण: जोड़ और घटाव की संक्रियाओं में मूलांक का संचालन संभव नहीं है। ध्यान दें, उदाहरण के लिए, ऑपरेशन \(\sqrt4+\sqrt9\) की एक अलग संख्या में परिणाम \(\sqrt{13}\), भले ही \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3.6\)
→ मूलकों के बीच गुणन और विभाजन
मूलकों के बीच गुणन या विभाजन को हल करने के लिए, हम प्रत्येक मूलांक की जड़ की अलग से गणना कर सकते हैं, लेकिन हम विकिरण गुणों का भी उपयोग कर सकते हैं, जिसे हम नीचे देखेंगे।
उदाहरण:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
विकिरण के गुण क्या हैं?
→ विकिरण का गुण 1
यदि y एक धनात्मक संख्या है, तो nवाँ मूल \(y^n\) y के बराबर है.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
उदाहरण देखें:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
इस गुण का उपयोग अक्सर मूलांक वाले व्यंजकों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।
→ विकिरण का गुण 2
उत्पाद की nवीं जड़ \(y⋅z\) y और z के nवें मूलों के गुणनफल के बराबर है।
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
उदाहरण देखें:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
महत्वपूर्ण: जब हम किसी बड़ी संख्या का मूल निकालते हैं तो यह बहुत उपयोगी होता है मूलांक को अभाज्य संख्याओं में गुणनखंड (विघटित) करें और गुण 1 और 2 लागू करें। निम्नलिखित उदाहरण देखें, जिसमें हम गणना करना चाहते हैं \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
इस कदर,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ संपत्ति 3जड़ने का
भागफल का nवाँ मूल \(\frac{y}z\), साथ \(z≠0\), y और z के nवें मूल के भागफल के बराबर है।
\(\sqrt[ n]
उदाहरण देखें:
\(\sqrt[ a]
→ विकिरण का गुण 4
y का nवाँ मूल एक घातांक m तक बढ़ाया गया nवाँ मूल के बराबर है \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
उदाहरण देखें:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
यह भी देखें: पोटेंशिएशन के गुण क्या हैं?
विकिरण पर हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1
(एफजीवी) सरलीकरण \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), आपको मिला:
ए) 0
बी) - 23
सी) - 43
डी) - 63
डी) - 83
संकल्प:
वैकल्पिक सी.
ध्यान दें कि विकिरण गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
इस प्रकार, हम कथन की अभिव्यक्ति को फिर से लिख सकते हैं
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
शब्द लगाना \(\sqrt3\) साक्ष्य, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
प्रश्न 2
(सीफेट) हमें संख्या 0.75 को किस संख्या से गुणा करना चाहिए ताकि प्राप्त उत्पाद का वर्गमूल 45 के बराबर हो?
ए) 2700
बी) 2800
सी) 2900
डी) 3000
संकल्प:
वैकल्पिक ए.
मांगी गई संख्या x है. इस प्रकार, कथन के अनुसार,
\(\sqrt{0.75⋅x}=45\)
इसलिए,
\(0.75⋅x=45^2\)
\(0.75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0.75}\)
\(x = 2700\)
