योग और उत्पाद यह एक विधि है जिसका उपयोग a का समाधान खोजने के लिए किया जाता है समीकरण. हम a के मूलों की गणना करने के लिए योग और उत्पाद का उपयोग एक विधि के रूप में करते हैं द्वितीय डिग्री समीकरण, प्रकार ax² + bx + c = 0 का।
समीकरण के समाधान होने पर यह एक दिलचस्प विधि है पूर्ण संख्याएं. ऐसे मामलों में जहां समाधान पूर्णांक नहीं हैं, समीकरण के समाधान खोजने के लिए अन्य आसान तरीकों के साथ योग और उत्पाद का उपयोग करना काफी जटिल हो सकता है।
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इस लेख के विषय
- 1 - योग और उत्पाद के बारे में सारांश
- 2 - योग और उत्पाद क्या है?
- 3 - योग और उत्पाद सूत्र
- 4 - योग और उत्पाद का उपयोग करके मूलों की गणना कैसे करें?
- 5 - योग और उत्पाद पर हल किए गए अभ्यास
योग और उत्पाद के बारे में सारांश
- योग और उत्पाद पूर्ण द्विघात समीकरण के समाधान खोजने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।
- योग और गुणनफल के अनुसार, दूसरी डिग्री ax² + bx + c = 0 का समीकरण दिया गया है, हमारे पास है:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- एक्स1 यह है एक्स2 द्विघात समीकरण के समाधान हैं.
- ए, बी और सी द्वितीय डिग्री समीकरण के गुणांक हैं।
योग और उत्पाद क्या है?
योग और उत्पाद है उन तरीकों में से एक जिसका उपयोग हम किसी समीकरण का समाधान खोजने के लिए कर सकते हैं. द्वितीय डिग्री समीकरणों में प्रयुक्त, योग और उत्पाद का समाधान खोजने के लिए एक अधिक व्यावहारिक तरीका हो सकता है समीकरण, क्योंकि इसमें उन संख्याओं की तलाश होती है जो किसी दिए गए योग और उत्पाद सूत्र को संतुष्ट करती हैं समीकरण.
योग और उत्पाद सूत्र
एक द्विघात समीकरण में, ax² + bx + c = 0 प्रकार का, जिसका समाधान x के बराबर है1 और एक्स2, योग और उत्पाद से, हमारे पास है:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
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योग और उत्पाद का उपयोग करके जड़ों की गणना कैसे करें?
समाधान खोजने के लिए, हम पहले उन पूर्णांकों को देखते हैं जिनका गुणनफल बराबर है \(\frac{c}{a}\).
हम जानते हैं कि समीकरण के समाधान सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं:
- सकारात्मक उत्पाद और सकारात्मक योग: दोनों जड़ें सकारात्मक हैं।
- सकारात्मक उत्पाद और नकारात्मक योग: दोनों जड़ें नकारात्मक हैं।
- नकारात्मक उत्पाद और सकारात्मक योग: एक मूल धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है, और सबसे बड़े मॉड्यूल वाला धनात्मक है।
- नकारात्मक उत्पाद और नकारात्मक योग: एक मूल धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है, और सबसे बड़े मॉड्यूल वाला ऋणात्मक है।
बाद में, समीकरण को संतुष्ट करने वाले सभी उत्पादों को सूचीबद्ध करने के बाद, हम विश्लेषण करते हैं कि कौन सा समीकरण को संतुष्ट करता है। योग का समीकरण, अर्थात वे कौन सी दो संख्याएँ हैं जो गुणनफल और योग के समीकरण को संतुष्ट करती हैं इसके साथ ही।
उदाहरण 1:
समीकरण के हल खोजें:
\(x²-5x+6=0\)
सबसे पहले, हम योग और उत्पाद सूत्र में स्थानापन्न करेंगे। हमारे पास है कि a = 1, b = -5 और c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
चूँकि योग और उत्पाद धनात्मक हैं, मूल भी धनात्मक हैं। उत्पाद का विश्लेषण करते हुए, हम जानते हैं कि:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
अब, हम जाँचेंगे कि इनमें से किस परिणाम का योग 5 के बराबर है, जो इस मामले में है:
\(2+3=5\)
तो, इस समीकरण के समाधान हैं \(x_1=2\ और\ x_2=3\).
उदाहरण 2:
समीकरण के हल खोजें:
\(x^2+2x-24=0\ \)
सबसे पहले, हम योग और उत्पाद सूत्र में स्थानापन्न करेंगे। हमारे पास a = 1, b = 2 और c = -24 है।
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
चूँकि योग और गुणनफल ऋणात्मक हैं, मूल विपरीत चिह्नों के हैं, और सबसे बड़े मापांक वाला ऋणात्मक है। उत्पाद का विश्लेषण करते हुए, हम जानते हैं कि:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\left(-12\right)=-24\)
\(3\cdot\left(-8\right)=-24\)
\(4\cdot\left(-6\right)=-24\)
अब आइए देखें कि इनमें से किस परिणाम का योग बराबर है -2, जो इस मामले में है:
\(4+\left(-6\right)=-2\)
तो, इस समीकरण के समाधान हैं \(x_1=4\ और\ x_2=-6\) .
यह भी पढ़ें: अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें
योग और उत्पाद पर हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1
होना य यह है जेड समीकरण 4 की जड़ेंएक्स2-3एक्स-1=0, 4(y+4)(z का मान+4) é:
ए) 75
बी) 64
सी) 32
डी)18
ई) 16
संकल्प:
वैकल्पिक ए
योग और उत्पाद द्वारा गणना:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
तो, हमें यह करना होगा:
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\left (y+z\right)+16\right )\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ सही)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+3+16\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+19\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(\frac{76-1}{4}\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\बाएं (y+4\दाएं)\बाएं (z+4\दाएं)=75\)
प्रश्न 2
समीकरण पर विचार करते हुए 2एक्स2 + 8x + 6 = 0, मान लीजिए S इस समीकरण के मूलों का योग है और P समीकरण के मूलों का गुणनफल है, तो संक्रिया का मान (एस - पी)2 é:
ए) 36
बी) 49
सी) 64
डी) 81
ई) 100
संकल्प:
वैकल्पिक बी
योग और उत्पाद द्वारा गणना:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
तो, हमें यह करना होगा:
\(\left(-4-3\right)^2=\left(-7\right)^2=49\)
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित शिक्षक
क्या आप इस पाठ का संदर्भ किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में देना चाहेंगे? देखना:
ओलिविरा, राउल रोड्रिग्स डी. "योग और उत्पाद"; ब्राज़ील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm. 22 जुलाई, 2023 को एक्सेस किया गया।
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