बीजगणितीय अभिव्यक्ति गुणनखंडन

बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ वे अभिव्यक्तियाँ हैं जो संख्याएँ और चर प्रदर्शित करती हैं, और बनाती हैं बीजगणितीय अभिव्यक्ति गुणनखंडन इसका अर्थ है अभिव्यक्ति को दो या दो से अधिक पदों के गुणन के रूप में लिखना।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का गुणनखंडन कई बीजगणितीय गणनाओं को आसान बना सकता है, क्योंकि जब हम गुणनखंड करते हैं, तो हम अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं। लेकिन बीजीय व्यंजकों का गुणनखंड कैसे करें?

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बीजीय व्यंजकों को गुणनखंडित करने के लिए, हम उन तकनीकों का उपयोग करते हैं जिन्हें हम आगे देखेंगे।

साक्ष्य द्वारा फैक्टरिंग

साक्ष्य द्वारा गुणनखंडन में बीजगणितीय अभिव्यक्ति में एक सामान्य शब्द को उजागर करना शामिल है।

यह सामान्य पद केवल एक संख्या, एक चर या दोनों का गुणन हो सकता है, अर्थात यह एक है एकपद.

उदाहरण:

अभिव्यक्ति का कारक $\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2}$ .

ध्यान दें कि इस अभिव्यक्ति के दोनों पदों में चर प्रकट होता है $\dpi{120} \mathrm{x}$ , तो आइए इसे साक्ष्य के रूप में प्रस्तुत करें:

$\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2 x\cdot (3y-2x)}$

समूहीकरण द्वारा गुणनखंडन

पर द्वारा फैक्टरिंगसमूहन

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, हम उन शब्दों को समूहित करते हैं जिनमें एक कारक समान होता है। फिर हम सामान्य कारक को सामने लाते हैं।

इस प्रकार, उभयनिष्ठ कारक एक है बहुपद और अब एकपदी नहीं रहा, जैसा कि पिछले मामले में था।

उदाहरण:

अभिव्यक्ति का कारक $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y}$ .

ध्यान दें कि व्यंजक कई पदों के योग से बनता है और कुछ पदों में वह प्रकट होता है $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ और दूसरों में यह प्रकट होता है $\dpi{120} \mathrm{y}$ .

आइए इन शब्दों को एक साथ समूहित करते हुए अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

$\dpi{120} \mathrm{ax^2 + 5x^2 - 10y - 2ay}$

चलिए वेरिएबल डालते हैं $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ यह है $\dpi{120} \mathrm{y}$ प्रमाण के रूप में:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-y (2a+10)}$

अब, देखें कि शब्द $\dpi{120} \mathrm{y (2y + 10)}$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है $\dpi{120} \mathrm{y (2a + 2\cdot 5)}$ , जिससे हम संख्या 2 को भी साक्ष्य में रख सकते हैं:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-2y (a+5)}$

बहुपद की तरह $\dpi{120} \mathrm{(a+5)}$ दोनों शब्दों में प्रकट होता है, हम इसे एक बार फिर साक्ष्य में रख सकते हैं:

$\dpi{120} \mathrm{(a+5)\cdot (x^2-2y)}$

इसलिए, $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y (a+5)\cdot (x^2 - 2y)}$ .

दो वर्गों के अंतर का गुणनखंड करना

यदि अभिव्यक्ति दो वर्गों का अंतर है, तो इसे आधारों के योग और आधारों के अंतर के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। यह में से एक है उल्लेखनीय उत्पाद:

$\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) (a +b)\cdot (a-b)}$

उदाहरण:

अभिव्यक्ति का कारक $\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2}$ .

ध्यान दें कि इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार दोबारा लिखा जा सकता है $\dpi{120} \mathrm{9^2 - (2x)^2}$ अर्थात् यह दो वर्ग पदों का अंतर है, जिनका आधार 9 और 2x है।

तो आइए व्यंजक को आधारों के योग और आधारों के अंतर के गुणनफल के रूप में लिखें:

$\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2 (9+2x)\cdot (9-2x)}$

पूर्ण वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन

पूर्ण वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन करने में, हम उल्लेखनीय उत्पादों का भी उपयोग करते हैं और अभिव्यक्ति को दो पदों के योग के वर्ग या अंतर के वर्ग के रूप में लिखते हैं:

$\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 (a + b)\cdot (a+b) (a+b)^2}$

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 2ab+b^2 (a - b)\cdot (a-b) (a-b)^2}$

उदाहरण:

अभिव्यक्ति का कारक $\dpi{120} \mathrm{x^2 + 22y + 121}$ .

ध्यान दें कि अभिव्यक्ति एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है, जैसे $\dpi{120} \mathrm{\sqrt{x^2} x}$ , $\dpi{120} \sqrt{121}11$ यह है $\dpi{120} \mathrm{2\cdot x\cdot 11 22y}$ .