न्यूनतम सामान्य एकाधिक (एमएमसी)

हे न्यूनतम सामान्य एकाधिक (एमएमसी) दो पूर्णांकों के बीच x और y सबसे छोटा पूर्णांक है जो एक साथ x और y का गुणज है। इस तरह, खोजने का कम से कम एक तरीका है एमएमसी दो संख्याओं x और y के बीच: सबसे छोटे उभयनिष्ठ तत्व के लिए x और y के गुणजों के समुच्चय खोजें। बेशक, इस संख्या को खोजने की एक व्यावहारिक विधि है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी। हालांकि, एक पूर्णांक के गुणकों की अवधारणा को अच्छी तरह से समझना आवश्यक है।
गुणक क्या होते हैं?

एक पूर्णांक k को a. कहा जाता है विभिन्न x का यदि कोई प्राकृत संख्या n है जैसे कि n·x = k. 110 नंबर का उदाहरण लें। वह है विभिन्न 10 का, क्योंकि 110 प्राकृतिक संख्या 11 से 10 को गुणा करने का परिणाम है।

इस तरह, यह पहचानना संभव है कि क्या पूर्णांक k है विभिन्न x का परीक्षण और त्रुटि द्वारा या गुणन (भाग) के व्युत्क्रम संचालन करके। संख्या k x का गुणज है यदि कोई प्राकृत संख्या n इस प्रकार है कि:

एन = क
एक्स

दूसरे शब्दों में, यह पता लगाने के लिए कि क्या 110, 10 का गुणज है, 110 को 10 से भाग दें। यदि पाया गया परिणाम एक प्राकृत संख्या है, तो 110, 10 का गुणज है; अन्यथा, नहीं।

चूँकि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत है, इसलिए का समुच्चय

गुणकों किसी भी पूर्णांक का भी अनंत होता है। हालांकि, एकाधिक और शामिल अभ्यासों को हल करने के लिए एमएमसी, किसी संख्या के गुणजों के व्यवहार का बेहतर विश्लेषण प्राप्त करने के लिए किसी संख्या के पहले गुणकों की सूची लिखना अच्छा होता है।

नीचे 8, 10, 12, 20 और 40 के पहले 10 गुणकों की सूची दी गई है। वे पहले 10 हैं क्योंकि वे इन संख्याओं को पहले 10 प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करने का परिणाम हैं।

10 पहले प्राकृतिक: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

8 के गुणज: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80

10 के गुणज: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

12 के गुणज: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120

20 के गुणज: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200

40 के गुणज: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400

आम एकाधिक

खोजने के लिए आम एकाधिक दो संख्याओं के बीच, ज्ञात कीजिए माइनर मल्टीपल कि उनमें समानता है। एमएमसी को खोजने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली पहली तकनीक दो संख्याओं के गुणकों के बीच इसकी तलाश करना है। उदाहरण देखो:

10 और 12 के बीच सबसे छोटा सामान्य गुणज 60 है, क्योंकि 10 और 12 के गुणजों के बीच 60 सबसे छोटी संख्या है जो दोनों का गुणज है। घड़ी:

10 के गुणज: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

12 के गुणज: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120

इन दो संख्याओं के लिए, जो छोटी हैं, MMC को खोजना आसान है। लेकिन जब 256 और 384 के बीच एमएमसी की गणना की आवश्यकता हो तो क्या होगा? यदि आप इस विधि से आगे बढ़ना चाहते हैं तो कई थकाऊ गुणाओं की आवश्यकता होगी। उसके लिए एक है व्यावहारिक तरीका जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।
एमएमसी की गणना के लिए अपघटन विधि

गणना करने के लिए आम एकाधिक दो संख्याओं के बीच, आप बना सकते हैं प्रमुख कारक अपघटन जो अपने। उदाहरण के लिए, 10 और 12 के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन हैं:

10 = 2·5

12 = 2·2·3 = 2²·3

नोट: जब भी बार-बार गुणनखंड प्रकट हों तो उन्हें घात के रूप में लिखें, जैसा कि संख्या 12 के अपघटन में किया गया था।

१० और १२ के बीच का एमएमसी, सबसे छोटे घातांक वाले दोहराए जाने वाले कारकों को छोड़कर, प्रमुख कारकों का उत्पाद होगा। इस प्रकार, न्यूनतम होगा:

2²·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60

ध्यान दें कि संख्या 10 के अपघटन से कारक 2 को नजरअंदाज कर दिया गया था, क्योंकि संख्या 12 के अपघटन से समान कारक को चुकता किया गया था।

इससे 256 और 384 के बीच MMC की गणना करना आसान हो जाता है। देखो:

256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 2⁸

384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 2⁷·3

एमएमसी उत्पाद 2. होगा⁸·3 = 256·3 = 768.

उदाहरण 2: एमएमसी ७६८ और ४६०८ के बीच

768 = 2⁸·3

4608 = 2⁹·3²

एमएमसी उत्पाद होगा: 2⁹·3².

उदाहरण 3: 2700 और 4608 के बीच एमएमसी की गणना करें

2700 = 3³·2²·5²

4608 = 2⁹·3²

ध्यान दें कि गुणनखंड 2, 3 और 5 हैं। उच्चतम घातांक वाले 2. हैं⁹, 3³ और 5². तो एमएमसी होगा:

2⁹·3³·5² = 345600

एमएमसी की गणना करने की व्यावहारिक विधि

यह नोट करना संभव है कि संख्याओं को में विघटित करना प्रधान कारण, यह आवश्यक है कि उन्हें सबसे छोटे संभव अभाज्य भाजक से विभाजित किया जाए और फिर भी उसी विभाजन में दोहराए जाने वाले कारकों की उपेक्षा की जाए। इस कार्य को करने में सक्षम एक विधि है। आपको सिखाने के लिए, हम. के उदाहरण का उपयोग करेंगे एमएमसी 1000 और 1024 के बीच।

इन दो नंबरों को एक साथ लिखें, अल्पविराम से अलग करें, और उनके दाईं ओर एक लंबवत साइड स्ट्रोक पास करें:

1000, 1024 |
|
|

उस ट्रेस के दाईं ओर, सबसे छोटी अभाज्य संख्या लिखिए जो कम से कम एक को 1000 और 1024 के बीच विभाजित करती है। इस स्थिति में, संख्या 2 है और यह दोनों को विभाजित करती है।

1000, 1024 | 2
|
|

उनमें से प्रत्येक के ठीक नीचे, अपने विभाजन के परिणाम को 2 से लिखें और इन परिणामों के लिए, उपरोक्त प्रक्रिया को तब तक दोहराएं जब तक कि किसी भी संख्या को 2 से विभाजित करना संभव न हो।

1000, 1024 |2 
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |

ध्यान दें कि एक बिंदु पर हम परिणाम 125 को 1000 कॉलम में पाते हैं, लेकिन 125 2 से विभाज्य नहीं है। कॉलम संख्या 1024 में, हमें केवल 2 से विभाज्य परिणाम मिलते हैं। इस स्थिति में, हम 1024 कॉलम में संख्याओं को 2 से विभाजित करना जारी रखते हैं और संख्या 125 को दोहराते हैं।

जब १००० और १०२४ दोनों स्तंभों की संख्याएँ २ से विभाज्य न रह जाएँ, तो अगला अभाज्य संख्या आज़माएँ: संख्या ३। जब 3 के और अधिक भाजक न हों, तब तक अगले एक और इसी तरह का प्रयास करें जब तक कि आपको परिणाम "1,1" न मिल जाए। उदाहरण के मामले में, 125 3 से नहीं, बल्कि 5 से विभाज्य है, इसलिए हम डैश के दाईं ओर 5 लगाकर प्रक्रिया को दोहराएंगे। घड़ी:

1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 | 

एक बार ऐसा करने के बाद, लंबवत रेखा के दाईं ओर पाए जाने वाले कारकों को गुणा करें:

2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 2¹⁰·5³ = 128000

उदाहरण 2: ४३२ और ३८४ के बीच एमएमसी की गणना करें:

432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |

एमएमसी होगा: =

2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 2⁷·3³ = 128·9 = 1152

तीन या अधिक संख्याओं के एमएमसी की गणना करने के लिए, इन सभी संख्याओं को एक साथ रखते हुए, यहां चर्चा की गई व्यावहारिक विधि का उपयोग करें।
लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm