इंजेक्शन समारोहइंजेक्शन फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है, फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है। किसी फ़ंक्शन को इंजेक्शन लगाने पर विचार करने के लिए, हमारे पास निम्नलिखित घटना होनी चाहिए: दो तत्व दिए गए हैं, x1 और x2, डोमेन सेट से संबंधित, x. के साथ1 x. से भिन्न2, छवियाँ f(x1) और एफ (एक्स2) हमेशा अलग होते हैं, वह है, f(x1) एफ (एक्स2). इस फ़ंक्शन में विशिष्ट विशेषताएं हैं जो इसके ग्राफ की पहचान और गठन कानून के विश्लेषण को भी सक्षम बनाती हैं।
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एक इंजेक्शन समारोह क्या है?
इंजेक्टर फ़ंक्शन के कुछ उदाहरण बनाने के लिए, इस प्रकार के फ़ंक्शन की परिभाषा को समझना महत्वपूर्ण है। एक समारोह एफ: ए → बी को इंजेक्शन लगाने के रूप में वर्गीकृत किया गया है, और केवल अगर, सेट ए से अलग तत्वों के सेट बी में अलग-अलग छवियां हैं, अर्थात:
उदाहरण 1:
नीचे इंजेक्टर फ़ंक्शन का एक उदाहरण है घवी आरेखनहीं ननहीं न:
उदाहरण 2:
नीचे एक गैर-इंजेक्शन फ़ंक्शन का एक उदाहरण है। ध्यान दें कि में सेट ए, दो अलग-अलग तत्व हैं जिनकी सेट बी में एक ही छवि है, जो इंजेक्टर फ़ंक्शन की परिभाषा के विपरीत है।
इंजेक्टर फ़ंक्शन की गणना कैसे करें?
यह सत्यापित करने के लिए कि कोई फ़ंक्शन इंजेक्शन दे रहा है या नहीं, गठन कानून के व्यवहार और उस डोमेन और काउंटर-डोमेन का विश्लेषण करना आवश्यक है जिसमें फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है।
उदाहरण:
समारोह दिया एफ: आर → आर, गठन कानून के साथ एफ(x) = 2x, जांचें कि क्या यह इंजेक्टर है।
गठन कानून के द्वारा, हम देख सकते हैं कि यह लेता है a वास्तविक संख्या डोमेन का और इसे अपने डबल में बदल देता है। दो भिन्न वास्तविक संख्याओं को दो से गुणा करने पर भिन्न परिणाम प्राप्त होते हैं। कब्जेच, जैसा कि हम देख सकते हैं, यह एक इंजेक्टर फ़ंक्शन है, क्योंकि x. के किन्हीं दो मानों के लिए1 और x2,का मान है एफ(एक्स1) ≠ एफ(एक्स2).
उदाहरण 2:
समारोह दिया एफ: आर → आर, गठन कानून के साथ एफ(x) = x², जांचें कि यह इंजेक्टर है या नहीं।
हम देख सकते हैं कि, इस डोमेन के लिए, यह फ़ंक्शन इंजेक्शन नहीं दे रहा है, क्योंकि हमारे पास यह है कि किसी भी संख्या की छवि इसके विपरीत की छवि के बराबर होती है, उदाहरण के लिए:
एफ( 2) = 2² = 4
एफ( --2 ) = (– 2) ² = 4
ध्यान दें कि एफ(2) = एफ (-2), जो एक इंजेक्टर फ़ंक्शन की परिभाषा का खंडन करता है।
उदाहरण 3:
समारोह दिया एफ:R+ → आर, गठन कानून के साथ एफ(x) = x², जांचें कि यह इंजेक्टर है या नहीं।
ध्यान दें कि अब डोमेन सकारात्मक वास्तविक संख्या और शून्य है। फ़ंक्शन वास्तविक संख्या को उसके वर्ग में बदल देता है; इस मामले में, जब डोमेन सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट होता है, तो यह फ़ंक्शन इंजेक्शन होता है, क्योंकि दो अलग-अलग सकारात्मक संख्याओं का वर्ग हमेशा अलग-अलग परिणाम उत्पन्न करेगा। इसलिए, यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि, फ़ंक्शन गठन कानून के अलावा, हमें इसके डोमेन और काउंटर-डोमेन का विश्लेषण करने की आवश्यकता है।
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इंजेक्शन फंक्शन चार्ट
यह पहचानने के लिए कि ग्राफ़ एक इंजेक्टर फ़ंक्शन है या नहीं, बस जाँच करें कि क्या हैं दो अलग-अलग x-मान जो समान y-संवाददाता उत्पन्न करते हैं, यानी इंजेक्टर फ़ंक्शन की परिभाषा की वैधता की जांच करें।
उस सीमा में जहां हम ग्राफ को देखने जा रहे हैं, फ़ंक्शन को विशेष रूप से बढ़ाना या विशेष रूप से घटाना है। like जैसे ग्राफिक्स दृष्टांत या साइन फ़ंक्शन इंजेक्टर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ नहीं हैं।
उदाहरण 1:
राइजिंग लाइन इंजेक्शन फंक्शन का ग्राफ है। ध्यान दें कि यह हमेशा बढ़ रहा है और ऐसा कोई y-मान नहीं है जिसमें दो अलग-अलग संवाददाता हों।
उदाहरण 2:
a. का ग्राफ घातांक प्रकार्य यह एक इंजेक्टर फ़ंक्शन का ग्राफ भी है।
उदाहरण 3:
a. का ग्राफ द्विघात फंक्शन यह हमेशा एक दृष्टान्त है। जब डोमेन में वास्तविक संख्याएँ शामिल होती हैं, तो यह देखना संभव है कि अलग-अलग x मान हैं जिनमें y में समान है, जैसा कि बिंदु F और G में है, जो एक फ़ंक्शन का यह ग्राफ़ बनाता है जो नहीं है इंजेक्टर।
संक्षेप में, यह जानने के लिए कि ग्राफ़ इंजेक्टर फ़ंक्शन का है या नहीं, यह जाँचने के लिए पर्याप्त है कि इंजेक्टर फ़ंक्शन की परिभाषा उस फ़ंक्शन के लिए मान्य है या नहीं।
हल किए गए व्यायाम
प्रश्न 1 - (एनेम 2017 - पीपीएल) एक स्कूल में हाई स्कूल के पहले वर्ष में, छात्रों के लिए जून पार्टी में वर्ग नृत्य करने की प्रथा है। इस साल, कक्षा में 12 लड़कियां और 13 लड़के हैं, और गिरोह के लिए 12 अलग-अलग जोड़े बनाए गए, जिनमें एक लड़की और एक लड़का शामिल हैं। मान लें कि लड़कियां वे तत्व हैं जो सेट ए बनाते हैं और लड़के, बी सेट करते हैं, ताकि गठित जोड़े ए से बी तक एक फ़ंक्शन एफ का प्रतिनिधित्व करते हैं।
इस जानकारी के आधार पर, इस संबंध में मौजूद फ़ंक्शन के प्रकार का वर्गीकरण है
ए) एफ इंजेक्शन लगा रहा है, क्योंकि सेट ए से संबंधित प्रत्येक लड़की के लिए, सेट बी से संबंधित एक अलग लड़का जुड़ा हुआ है।
बी) एफ विशेषण है, क्योंकि प्रत्येक जोड़ी सेट ए से संबंधित एक लड़की और सेट बी से संबंधित एक लड़के द्वारा बनाई गई है, जो एक अयुगल लड़के को छोड़ देता है।
सी) एफ इंजेक्शन लगा रहा है, क्योंकि सेट ए से संबंधित कोई भी दो लड़कियां कक्षा में सभी छात्रों को शामिल करने के लिए सेट बी से संबंधित एक ही लड़के के साथ हैं।
डी) एफ विशेषण है, क्योंकि सेट बी से संबंधित कोई भी दो लड़के सेट ए से संबंधित एक ही लड़की के साथ एक जोड़ी बनाते हैं।
ई) एफ विशेषण है, क्योंकि सेट ए की एक लड़की के लिए सेट बी के दो लड़कों के साथ एक जोड़ी बनाने के लिए पर्याप्त है, ताकि कोई भी लड़का बिना जोड़ी के न रहे।
संकल्प
वैकल्पिक ए.
यह फ़ंक्शन इंजेक्शन है, क्योंकि सेट ए के प्रत्येक तत्व के लिए सेट बी में एक ही संवाददाता होता है। ध्यान दें कि एक ही जोड़ी के साथ दो लड़कियों के नाचने की संभावना नहीं है, इसलिए यह रिश्ता इंजेक्शन लगा रहा है।
प्रश्न 2 - (IME - RJ) समुच्चय A = {(1,2), (1,3), (2,3)} और B = {1, 2, 3, 4, 5} पर विचार करें और फलन f: ए → बी ऐसा है कि f(x, y) = x + y।
यह कहना संभव है कि f एक फलन है:
ए) इंजेक्टर।
बी) विशेषण।
सी) बायजेक्टर।
डी) बराबर।
ई) विषम।
संकल्प
वैकल्पिक ए.
डोमेन का विश्लेषण करते हुए, हमें यह करना होगा:
च (1.2) = 1 + 2 = 3
च (1,3) = 1 + 3 = 4
च(२,३) = २ + ३ = ५
ध्यान दें कि डोमेन में किन्हीं दो अलग-अलग शब्दों के लिए, वे काउंटरडोमेन में अलग-अलग शब्दों से संबंधित हैं, जो इस फ़ंक्शन को इंजेक्टर बनाता है।
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm