आप जटिल आंकड़े समाधान की आवश्यकता से उत्पन्न समीकरण है कि ऋणात्मक संख्या जड़, जो तब तक वास्तविक संख्याओं के साथ काम करके हल करना संभव नहीं था। सम्मिश्र संख्याओं को तीन तरीकों से दर्शाया जा सकता है: a बीजीय रूप (जेड = एक + द्वि), एक वास्तविक भाग से बना है और एक काल्पनिक हिस्सा ख; ज्यामितीय रूप, जटिल विमान में प्रतिनिधित्व किया गया जिसे अरगंड-गॉस विमान के रूप में भी जाना जाता है; और तुम्हारा त्रिकोणमितीय रूप, ध्रुवीय रूप के रूप में भी जाना जाता है। उनके प्रतिनिधित्व के आधार पर, जैसा कि हम एक संख्यात्मक सेट के साथ काम कर रहे हैं, जटिल संख्याओं में अच्छी तरह से परिभाषित संचालन होते हैं: जोड़, घटाव, गुणा, भाग और पोटेंशिएशन।
जटिल तल में ज्यामितीय निरूपण के माध्यम से, हम मॉड्यूल को भी परिभाषित करते हैं (द्वारा दर्शाया गया है |जेड|) एक सम्मिश्र संख्या का - जो सम्मिश्र संख्या को मूल बिंदु से निरूपित करने वाले बिंदु से दूरी है - और एक सम्मिश्र संख्या - जो क्षैतिज अक्ष और उस पथ के बीच बनने वाला कोण है जो मूल को संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु से जोड़ता है जटिल।
जटिल संख्याओं की आवश्यकता
गणित में, पूरे इतिहास में एक नए सेट के लिए एक संख्यात्मक सेट का विस्तार, कुछ काफी सामान्य था। यह पता चला है कि, इसके दौरान, गणित विकसित हुआ है, और फिर, करने के लिए समय की जरूरतों को पूरा करें, यह देखा गया कि ऐसी संख्याएँ थीं जो उस संख्यात्मक सेट से संबंधित नहीं थीं, जिसका उसने उल्लेख किया था। यह के उद्भव के साथ ऐसा ही था संख्यात्मक सेट पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय और वास्तविक, और यह तब भिन्न नहीं था जब वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय तक विस्तारित करने की आवश्यकता थी।
जब हम हल करने की कोशिश करते हैं द्विघातीय समीकरण, यह काफी सामान्य है कि हम पाते हैं एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल, जिसे वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में हल करना असंभव है, इसलिए सम्मिश्र संख्याओं की आवश्यकता है। इन संख्याओं के अध्ययन की शुरुआत में महत्वपूर्ण गणितज्ञों, जैसे कि गिराल्मो कार्डोनो से योगदान प्राप्त हुआ, लेकिन उनके सेट को गॉस और अरगंड द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था।
यह भी पढ़ें: सम्मिश्र संख्याओं के योग का ज्यामितीय निरूपण
एक जटिल संख्या का बीजगणितीय रूप
x² = -25 जैसे द्विघात समीकरण को हल करने का प्रयास करते समय, इसे अक्सर अघुलनशील कहा जाता था। हालांकि, बीजगणित करने के प्रयास में, बीजीय निरूपण, जो इन संख्याओं के साथ संक्रिया करना संभव बनाता है, भले ही आप किसी ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल की गणना नहीं कर सकते।
उन स्थितियों के समाधान की सुविधा के लिए जिनमें आप काम करते हैं वर्गमूल एक ऋणात्मक संख्या का, काल्पनिक इकाई.
तो, प्रस्तुत समीकरण का विश्लेषण x presented = -25, हमारे पास वह है:
इस प्रकार, समीकरण के हल हैं -5मैं ई5मैं.
बीजीय रूप को परिभाषित करने के लिए, पत्र मैं, जाना जाता है एक सम्मिश्र संख्या की काल्पनिक इकाई. एक सम्मिश्र संख्या द्वारा दर्शाया जाता है:
जेड = + खमैं
किस पर तथा ख वास्तविक संख्याएँ हैं।
द: वास्तविक भाग, a = Re (z) द्वारा दर्शाया गया है;
ख: आईएम (जेड) द्वारा इंगित काल्पनिक भाग;
मैं: काल्पनिक इकाई।
उदाहरण
द) 2 + 3मैं
बी) -1 + 4मैं
सी) 5 – 0,2मैं
घ) -1 – 3मैं
जब वास्तविक भाग शून्य है, संख्या के रूप में जाना जाता है शुद्ध काल्पनिक, उदाहरण के लिए, -5मैं और 5मैं वे शुद्ध कल्पनाएं हैं क्योंकि उनका कोई वास्तविक हिस्सा नहीं है।
जब काल्पनिक भाग शून्य होता है, तो सम्मिश्र संख्या भी एक वास्तविक संख्या होती है।
जटिल संख्याओं के साथ संचालन
किसी भी संख्यात्मक सेट की तरह, संचालन होना चाहिए अच्छी तरह से परिभाषितइसलिए, प्रस्तुत बीजीय रूप को ध्यान में रखते हुए सम्मिश्र संख्याओं के चार बुनियादी संचालन करना संभव है।
दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ना
को अंजाम देने के लिए इसके अलावा दो सम्मिश्र संख्याओं का z1 ईज़ी2, हम z. के वास्तविक भाग का योग करेंगे1 ईज़ी2 और काल्पनिक भाग का योग, क्रमशः।
हो:
जेड1 = ए + बीमैं
जेड2 = सी + डीमैं
जेड1 +जेड2 = (ए + सी) + (बी + डी)मैं
उदाहरण 1
Z. के योग की प्राप्ति1 और ज़ू2.
जेड1 = 2 + 3मैं
जेड2 = 1 + 2मैं
जेड1 +जेड2= (2 + 1) + (3 + 2)मैं
जेड1 +जेड2= 3 + 5मैं
उदाहरण 2
Z. के योग की प्राप्ति1 और ज़ू2.
जेड1 = 5 – 2मैं
जेड2 = – 3 + 2मैं
जेड1+जेड2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)मैं
जेड1+जेड2 = (5 – 3) + 0मैं
जेड1 +जेड2= 3 + 0मैं = 3
यह भी देखें: सम्मिश्र संख्याओं के योग का ज्यामितीय निरूपण
दो सम्मिश्र संख्याओं का घटाव
इससे पहले कि हम बात करें घटाव, हमें यह परिभाषित करने की आवश्यकता है कि क्या है एक जटिल संख्या के विपरीत, अर्थात्, z = a + bमैं. z का व्युत्क्रम, जिसे –z द्वारा दर्शाया जाता है, सम्मिश्र संख्या है –z = –a –bमैं।
z. के बीच घटाव करने के लिए1और -ज़ू2, साथ ही साथ, हम करेंगे वास्तविक भागों के बीच घटाव और काल्पनिक भागों के बीच अलग-अलग, लेकिन यह समझना आवश्यक है कि -z2 यह एक सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम है, जिससे साइन गेम खेलना आवश्यक हो जाता है।
उदाहरण 1
z. का घटाव करना1 और ज़ू2.
जेड1 = 2 + 3मैं
जेड2 = 1 + 2मैं
जेड1–जेड2 = (2 – 1) + (3 – 2)मैं
जेड1–जेड2= 1 + 1मैं = 1+ मैं
उदाहरण 2
z. का घटाव करना1 और ज़ू2.
जेड1= 5 – 2मैं
जेड2 = – 3 + 2मैं
जेड1–जेड2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)मैं
जेड1–जेड2= (5 + 3) + (–4)मैं
जेड1 –जेड2= 8 + (–4)मैं
जेड1 –जेड2= 8 –4मैं
काल्पनिक इकाई शक्तियां
गुणन के बारे में बात करने से पहले, हमें काल्पनिक इकाई की शक्ति को समझने की जरूरत है। की शक्तियों की गणना के लिए एक विधि की खोज में मैंनहीं न, यह महसूस करना आवश्यक है कि ये शक्तियां चक्रीय तरीके से व्यवहार करती हैं। इसके लिए आइए कुछ गणना करें शक्ति में मैं.
यह पता चला है कि अगली शक्तियां इसकी पुनरावृत्ति से ज्यादा कुछ नहीं हैं, ध्यान दें कि:
मैं 4 = मैं 2 · मैं 2 = (–1) (–1) = 1
मैं 5 = मैं 2 · मैं 3 = (–1) (–मैं) = मैं
जैसे-जैसे हम घातों की गणना करते रहेंगे, उत्तर हमेशा समुच्चय के अवयव होंगे {1,i,–1,–मैं}, फिर इकाई की शक्ति खोजने के लिए मैंनहीं न, हम n (घातांक) को 4 से विभाजित करेंगे, और आरामइस विभाग के (आर = {0, 1, 2, 3}) new का नया घातांक होगा मैं.
उदाहरण1
आई. की गणना25
जब हम 25 को 4 से भाग देते हैं, तो भागफल 6 होगा और शेषफल 1 के बराबर होगा। तो हमें करना होगा:
मैं 25 = मैं1 = मैं
उदाहरण 2
की गणना मैं 403
जब हम ४०३ को ४ से विभाजित करते हैं, तो भागफल १०० होगा, क्योंकि १०० · ४ = ४००, और शेष ३ होगा, इसलिए हमें यह करना होगा:
मैं 403 =मैं 3 = -मैं
सम्मिश्र संख्याओं का गुणन
दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणन करने के लिए, आइए लागू करें वितरण की जाने वाली संपत्ति. हो:
जेड1= ए + बीमैं
जेड2= सी + डीमैं, फिर उत्पाद:
जेड1 · जेड2 = (ए + बीमैं) (सी + डीमैं), वितरण संपत्ति को लागू करना,
जेड1 · जेड2 = एसी + विज्ञापनमैं + सीबीमैं + बीडीमैं 2, लेकिन जैसा कि हमने देखा है, मैं ² = -1
जेड1 · जेड2 = एसी + विज्ञापनमैं + सीबीमैं - बीडीओ
जेड1 · जेड2= (एसी – बीडी) + (विज्ञापन + सीबी)मैं
इस सूत्र का उपयोग करके, किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करना संभव है, लेकिन a. में सामान्य तौर पर, इसे सजाने की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि विचाराधीन गणना के लिए, हम केवल संपत्ति का उपयोग करते हैं वितरण
उदाहरण
(2+3 .) के गुणनफल की गणनामैं) (1 – 4मैं):
(2+3मैं) (1 – 4मैं) = 2 – 8मैं + 3मैं– 12मैं , याद है कि मैं ² = -1:
(2 + 3मैं) (1 – 4मैं) = 2 – 8मैं + 3मैं+ 12
(2 + 3मैं) (1 – 4मैं) = (2 + 12) + (– 8 + 3)मैं
(2+3मैं) (1 – 4मैं) = 14 – 5मैं
साथ ही पहुंचें: जटिल संख्या जोड़, घटाव और गुणा
जटिल संख्या संयुग्म
इससे पहले कि हम भाग के बारे में बात करें, हमें यह समझना होगा कि एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म क्या है। एक जटिल संख्या के संयुग्म को खोजने के लिए अवधारणा सरल है, बस एक्सचेंज कोराज्यमंत्री काल्पनिक भाग का संकेत.
दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन
को अंजाम देने के लिए दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन, हमें भिन्न को हर के संयुग्म से गुणा करने की आवश्यकता है ताकि वास्तविक भाग क्या है और काल्पनिक भाग क्या है यह अच्छी तरह से परिभाषित है।
उदाहरण
(6 - 4 .) के विभाजन की गणनामैं): (4 + 2मैं)
यह भी देखें: सम्मिश्र संख्याओं के विपरीत, संयुग्म और समानता
जटिल विमान या अरगंड-गॉस विमान
जटिल योजना के रूप में जाना जाता है या एक योजनारगंड-गॉस, वह अनुमति देता है ज्यामितीय रूप में प्रतिनिधित्व एक जटिल संख्या का, यह योजना में एक अनुकूलन है adaptation कार्तीय विमान जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए। क्षैतिज अक्ष को के रूप में जाना जाता है वास्तविक भाग अक्ष रे (जेड), और ऊर्ध्वाधर अक्ष को के रूप में जाना जाता है काल्पनिक भाग Im (z) की धुरी. अतः सम्मिश्र संख्या. द्वारा निरूपित की जाती है ए + बीमैं क्रमबद्ध जोड़ी (ए, बी) द्वारा गठित जटिल विमान में बिंदु उत्पन्न करता है।
उदाहरण
संख्या 3 + 2. का प्रतिनिधित्वमैं ज्यामितीय रूप Z(3,2) में।
जटिल संख्या मोडुलो और तर्क
एक ज्यामितीय रूप से जटिल संख्या का मापांक है बिंदु से दूरी (ए, बी) जो इस संख्या को सम्मिश्र तल में निरूपित करता है मूल के लिए, वह है, बिंदु (0,0)।
जैसा कि हम देख सकते हैं, |z| का कर्ण है सही त्रिकोण, इसलिए, इसे लागू करके गणना की जा सकती है पाइथागोरस प्रमेय, तो हमें यह करना होगा:
उदाहरण:
z = 1 + 3. के मापांक की गणनामैं
हे बहस एक जटिल संख्या का, ज्यामितीय रूप से, है कोण क्षैतिज अक्ष और |z|. द्वारा गठित
कोण मान ज्ञात करने के लिए, हमें यह करना होगा:
लक्ष्य कोण = arg z ज्ञात करना है।
उदाहरण:
जटिल संख्या तर्क खोजें: z = 2 + 2मैं:
चूँकि a और b धनात्मक हैं, हम जानते हैं कि यह कोण पहले चतुर्थांश में है, तो चलिए |z| की गणना करते हैं।
|Z| को जानकर, ज्या और कोज्या की गणना करना संभव है।
चूँकि, इस स्थिति में, a और b 2 के बराबर हैं, तो, जब हम sinθ की गणना करते हैं, तो हम कोज्या के लिए समान हल प्राप्त करेंगे।
sinθ और cos consulting के मूल्यों को जानना, उल्लेखनीय कोणों की तालिका से परामर्श करके और यह जानना θ पहले चतुर्थांश से संबंधित है, इसलिए θ डिग्री या रेडियन में पाया जा सकता है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं क्या भ:
त्रिकोणमितीय या ध्रुवीय रूप
में जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व त्रिकोणमितीय रूप मॉड्यूल और तर्क की अवधारणा को समझने के बाद ही यह संभव है। इस निरूपण के आधार पर जटिल संख्याओं के अधिक उन्नत स्तर पर अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण अवधारणाएँ विकसित की जाती हैं। त्रिकोणमितीय निरूपण करने के लिए, हम इसके बीजीय रूप z = a + bi को याद रखेंगे, हालांकि, जटिल तल का विश्लेषण करते समय, हमें यह करना होगा:
बीजीय रूप में प्रतिस्थापित करके, a = |z|. का मान cos और b = |z| सेन, हमें यह करना होगा:
जेड = ए + बीमैं
z = |z|. के साथ cos + |z| सेना मैं, डालने |z| साक्ष्य के रूप में, हम त्रिकोणमितीय रूप के सूत्र पर पहुँचते हैं:
z= |z|(क्योंकि + मैं पाप ) |
उदाहरण: त्रिकोणमितीय रूप में संख्या लिखें
त्रिकोणमितीय रूप में लिखने के लिए, हमें तर्क और z के मापांक की आवश्यकता होती है।
पहला कदम - |z|. की गणना
|z| को जानकर, उल्लेखनीय कोणों की तालिका से परामर्श करके का मान ज्ञात करना संभव है।
अब संख्या z को उसके त्रिकोणमितीय रूप में डिग्री में कोण के साथ या रेडियन में मापे गए कोण के साथ लिखना संभव है।
यह भी पढ़ें: त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं का विकिरण
हल किए गए व्यायाम
प्रश्न 1 - (UFRGS) सम्मिश्र संख्याओं को देखते हुए z1 = (2,-1) और z2 = (3, x), यह ज्ञात है कि z. के बीच का गुणनफल1 और ज़ू2 एक वास्तविक संख्या है। तो x बराबर है:
ए) -6
बी) -3/2
सी) 0
घ) 3/2
ई) 6
संकल्प
वैकल्पिक डी.
गुणनफल एक वास्तविक संख्या हो, तो काल्पनिक भाग शून्य के बराबर होता है।
इन संख्याओं को बीजगणितीय रूप में लिखने पर, हमें यह करना होता है:
जेड1 = 2 – 1मैं और ज़ू2 = 3 + xमैं
जेड1 · ज़ू2 = (2 – 1मैं) (3 + xमैं)
जेड1 · ज़ू2 = 6 + 2xमैं –3मैं - एक्समैं ²
जेड1 · ज़ू2 = 6 + 2xमैं –3मैं + एक्स
जेड1 · ज़ू2 = 6+ x + (2x - 3)मैं
चूँकि हमारी रुचि यह है कि काल्पनिक भाग शून्य के बराबर है, तो हम 2x - 3 = 0. के लिए हल करेंगे
प्रश्न 2 - (UECE) यदि i वह सम्मिश्र संख्या है जिसका वर्ग -1 के बराबर है, तो 5. का मानमैं 227 + मैं 6 – मैं 13 यह वैसा ही है जैसे:
द) मैं + 1
बी 4मैं –1
ग) -6मैं –1
घ) -6मैं
संकल्प
वैकल्पिक सी.
इस व्यंजक को हल करने के लिए, 4 से भाग देने वाली प्रत्येक संख्या का शेषफल ज्ञात करना आवश्यक है।
२२७: ४ का परिणाम ५६ का भागफल और ३ का शेषफल होता है।
मैं 227 = मैं 3 = –मैं
6: 4 का परिणाम भागफल 1 और शेषफल 2 में आता है।
मैं 6 = मैं 2 = –1
13: 4 का परिणाम भागफल 3 और शेषफल 1 है।
मैं 13 = मैं1 = मैं
तो हमें करना होगा:
5मैं 227 + मैं 6 – मैं 13
5 (–मैं) + (–1) – मैं
–5मैं –1 – मैं
–6मैं – 1
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
