संख्या क्रम, जैसा कि नाम से पता चलता है, संख्याओं का एक क्रम है और आमतौर पर एक पुनरावृत्ति कानून है, जिससे यह अनुमान लगाना संभव हो जाता है कि अगली शर्तें क्या होंगी अपने पूर्ववर्तियों को जानना। हम विभिन्न मानदंडों के साथ संख्या अनुक्रमों को इकट्ठा कर सकते हैं, जैसे कि सम संख्याओं का क्रम, या संख्याओं का क्रम 4 से विभाज्य, अभाज्य संख्याओं का क्रम, पूर्ण वर्गों का क्रम, अंत में, अनुक्रमों की कई संभावनाएँ हैं संख्यात्मक।
जब हम अनुक्रम को पदों की संख्या के आधार पर रैंक करते हैं, अनुक्रम परिमित या अनंत हो सकता है। जब हम शब्दों के व्यवहार के संबंध में अनुक्रम को वर्गीकृत करते हैं, तो यह क्रम हो सकता है आरोही, अवरोही, दोलन या स्थिर. अनुक्रमों के विशेष मामले हैं जिन्हें अंकगणितीय प्रगति और ज्यामितीय प्रगति के रूप में जाना जाता है।
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संख्या अनुक्रम सारांश
संख्यात्मक अनुक्रम संख्याओं के अनुक्रम से अधिक कुछ नहीं है।
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कुछ संख्यात्मक अनुक्रम उदाहरण:
सम संख्याओं का क्रम (0,2,4,6,8…);
6 (1, 2, 3, 4, 5) से कम प्राकृतिक वस्तुओं का क्रम;
अभाज्य संख्याओं का क्रम (2,3,5,7,11,…)
एक प्रगति के गठन का नियम वह नियम है जो इस क्रम को नियंत्रित करता है।
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एक क्रम परिमित या अनंत हो सकता है।
परिमित: जब आपके पास सीमित मात्रा में शर्तें हों।
अनंत: जब आपके पास असीमित मात्रा में शर्तें हों।
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एक क्रम बढ़ रहा है, अविश्वासी, निरंतर या उतार-चढ़ाव वाला हो सकता है।
वर्धमान: जब पद हमेशा उसके उत्तराधिकारी से छोटा होता है।
अवरोही: जब पद हमेशा अपने उत्तराधिकारी से बड़ा होता है।
स्थिरांक: जब पद हमेशा उसके उत्तराधिकारी के बराबर होता है।
ऑसिलेटिंग: जब इसके उत्तराधिकारी से बड़े और छोटे पद हों।
अनुक्रम के विशेष मामले हैं जिन्हें अंकगणितीय प्रगति या ज्यामितीय प्रगति के रूप में जाना जाता है।
संख्या अनुक्रम के घटित होने का नियम
हम संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में जानते हैं संख्याओं द्वारा गठित कोई भी क्रम। हम आमतौर पर अनुक्रमों को उनके शब्दों को सूचीबद्ध करके, कोष्ठक में संलग्न करके और अल्पविराम से अलग करके प्रदर्शित करते हैं। इस सूची को संख्या अनुक्रम के घटित होने के नियम के रूप में जाना जाता है।
(द1, ए2, ए3, …, एनहीं न)
1 → अनुक्रम का पहला पद
2 → अनुक्रम का दूसरा पद
3 → अनुक्रम का तीसरा पद
नहीं न → अनुक्रम का वां पद
आइए नीचे कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 1:
संख्याओं के अनुक्रम के घटित होने का नियम गुणकों 5 में से:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
उदाहरण 2:
अनुक्रम के घटित होने का नियम अभाज्य सँख्या:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
उदाहरण 3:
की घटना का कानून पूरा का पूरा नकारात्मक:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
उदाहरण 4:
10 से कम विषम संख्याओं का क्रम:
(1, 3, 5, 7, 9)
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संख्यात्मक अनुक्रम वर्गीकरण
एक स्ट्रिंग को वर्गीकृत करने के दो अलग-अलग तरीके हैं। पहला है शर्तों की राशि के रूप में, जिस तरह से एक क्रम परिमित या अनंत हो सकता है। अनुक्रमों को वर्गीकृत करने का दूसरा तरीका है उनके व्यवहार के रूप में। इस मामले में, उन्हें बढ़ते, घटते, स्थिर या उतार-चढ़ाव के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
शर्तों की मात्रा द्वारा वर्गीकरण
→ परिमित संख्या अनुक्रम
अनुक्रम परिमित होता है जब यह सीमित मात्रा में शर्तें हैं.
उदाहरण:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ अनंत संख्या अनुक्रम
अनुक्रम अनंत है जब इसमें असीमित मात्रा में शर्तें होती हैं।
उदाहरण:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
व्यवहार रेटिंग
→ आरोही संख्या क्रम
एक क्रम बढ़ रहा है जब कोई पद हमेशा अपने उत्तराधिकारी से छोटा होता है अनुक्रम में।
उदाहरण:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ अवरोही संख्या क्रम
एक क्रम घट रहा है जब कोई पद हमेशा अपने उत्तराधिकारी से बड़ा होता है अनुक्रम में।
उदाहरण:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ निरंतर संख्या अनुक्रम
एक क्रम स्थिर होता है जब अनुक्रम में सभी शब्द समान हैं:
उदाहरण:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ दोलन संख्या अनुक्रम
एक सिलसिला चल रहा है जब ऐसे पद होते हैं जो बड़े होते हैं और पद छोटे होते हैं क्रम में उनके संबंधित उत्तराधिकारी:
उदाहरण:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
संख्या अनुक्रम गठन कानून
कुछ अनुक्रमों का वर्णन a. द्वारा किया जा सकता है सूत्र जो आपकी शर्तों को उत्पन्न करता है। इस सूत्र को गठन के नियम के रूप में जाना जाता है। हम क्रम में किसी भी पद को खोजने के लिए गठन के नियम का उपयोग करते हैं जब हम उसके व्यवहार को जानते हैं।
उदाहरण 1:
निम्नलिखित अनुक्रम द्वारा बनता है पूर्ण वर्ग:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
हम इस क्रम को गठन के नियम द्वारा वर्णित कर सकते हैं:
नहीं न = (एन -1)²
n → पद संख्या
नहीं न → स्थिति पद नहीं न
इस सूत्र के साथ, यह जानना संभव है, उदाहरण के लिए, वह पद जो क्रम में स्थान संख्या 10 रखता है:
10 = ( 10 – 1) ²
10 = 9²
10 = 81
उदाहरण 2:
अनुक्रम की शर्तों की सूची बनाएं जिनके गठन का नियम है lawनहीं न = 2n - 5.
सूचीबद्ध करने के लिए, हम अनुक्रम में पहले शब्द पाएंगे:
पहला कार्यकाल:
नहीं न = 2एन - 5
1 = 2·1 – 5
1 = 2 – 5
1 = – 3
दूसरा कार्यकाल:
नहीं न = 2एन - 5
2 = 2·2 – 5
2 = 4 – 5
2 = – 1
तीसरा कार्यकाल:
नहीं न = 2एन - 5
3 = 2·3 – 5
3 = 6 – 5
3 = 1
चौथा कार्यकाल:
नहीं न = 2एन - 5
4 = 2·4 – 5
4 = 8 – 5
4 = 3
पांचवां कार्यकाल:
5 = 2एन - 5
5 = 2·5 – 5
5 = 10 – 5
5 = 5
तो अनुक्रम है:
(– 1, 1, 3, 5 … )
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अंकगणितीय प्रगति और ज्यामितीय प्रगति
वे जीवित हैं अनुक्रमों के विशेष मामले जिन्हें अंकगणितीय प्रगति और ज्यामितीय प्रगति के रूप में जाना जाता है। एक अनुक्रम एक प्रगति है जब उसके उत्तराधिकारी के लिए एक शब्द का कारण होता है।
अंकगणितीय प्रगति
जब हम अनुक्रम में पहले पद को जानते हैं और दूसरे को खोजने के लिए,हम जोड़ते हैं एक मूल्य के लिए पहला आर और तीसरा पद ज्ञात करने के लिए, हम इसी मान में दूसरा जोड़ देते हैं। आर, और इसी तरह, स्ट्रिंग को a. के रूप में वर्गीकृत किया जाता है अंकगणितीय प्रगति.
उदाहरण:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
यह 4 के बराबर अनुपात की एक समांतर श्रेणी है और पहला पद 1 के बराबर है।
ध्यान दें कि अनुक्रम में किसी संख्या के उत्तराधिकारी को खोजने के लिए, केवल 4 जोड़ें, इसलिए हम कहते हैं कि 4 इस अंकगणितीय प्रगति का कारण है।
ज्यामितीय अनुक्रम
पर ज्यामितीय अनुक्रम, एक कारण भी है, लेकिन इस मामले में, किसी पद का उत्तराधिकारी ज्ञात करने के लिए, हमें पद को अनुपात से गुणा करना होगा.
उदाहरण:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
यह 3 के बराबर अनुपात की एक ज्यामितीय प्रगति है और पहला पद 2 के बराबर है।
ध्यान दें कि इस क्रम में किसी संख्या के उत्तराधिकारी को खोजने के लिए, बस 3 से गुणा करें, जिससे इस ज्यामितीय प्रगति का अनुपात 3 हो जाता है।
हल किए गए अभ्याससंख्या अनुक्रम के बारे में
प्रश्न 1 - अनुक्रम (१, ४, ९, १६, २५,… ) का विश्लेषण करते हुए, हम कह सकते हैं कि अगली दो संख्याएँ होंगी:
ए) 35 और 46।
बी) 36 और 49।
सी) 30 और 41।
डी) 41 और 66।
संकल्प
वैकल्पिक बी.
अनुक्रम की शर्तों को खोजने के लिए, अनुक्रम में एक नियमितता का पता लगाना महत्वपूर्ण है, अर्थात इसकी घटना के नियम को समझना। ध्यान दें कि, पहले पद से दूसरे पद तक, हम 3 जोड़ते हैं; दूसरे से तीसरे पद तक, हम 5 जोड़ते हैं; तीसरे से चौथे पद तक और चौथे से पांचवें पद तक, हम क्रमशः 7 और 9 जोड़ते हैं, इसलिए योग दो से बढ़ जाता है अनुक्रम के प्रत्येक पद में इकाइयाँ, अर्थात् अगले में, हम 11, फिर 13, फिर 15, फिर 17 और इसी तरह जोड़ेंगे। क्रमिक रूप से। 25 का उत्तराधिकारी खोजने के लिए, हम 11 जोड़ेंगे।
25 + 11 = 36.
३६ का उत्तराधिकारी खोजने के लिए, हम १३ जोड़ेंगे।
36 + 13 = 49
अतः अगला पद 36 और 49 होगा।
प्रश्न 2 - (एओसीपी संस्थान) अगला, एक संख्यात्मक अनुक्रम प्रस्तुत किया जाता है, जैसे कि इस अनुक्रम के तत्व थे गठन के एक (तर्क) नियम का पालन करते हुए व्यवस्थित किया गया, जहां x और y पूर्ण संख्याएं हैं: (24, 13, 22, 11, 20, 9, एक्स, वाई)। दिए गए अनुक्रम के निर्माण के नियम का पालन करते हुए, इस क्रम का अवलोकन करते हुए x और y के मान ज्ञात करना, यह कहना सही है कि
ए) x 30 से बड़ी संख्या है।
बी) y 5 से छोटी संख्या है।
सी) एक्स और वाई का योग 25 में परिणाम देता है।
D) x और y का गुणनफल 106 देता है।
ई) उस क्रम में y और x के बीच का अंतर एक सकारात्मक संख्या है।
संकल्प
वैकल्पिक सी.
हम इस क्रम का ७वाँ और ८वाँ पद ज्ञात करना चाहते हैं।
अनुक्रम के घटित होने के नियम (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y) का विश्लेषण करते हुए, यह देखना संभव है कि विषम पदों के लिए एक तर्क है (पहला पद, तीसरा पद, पाँचवाँ पद... ) ध्यान दें कि तीसरा पद पहले पद माइनस 2 के बराबर है, क्योंकि 24 – 2 = 22. इसी तर्क का प्रयोग करते हुए, x द्वारा निरूपित ७वाँ पद, ५वाँ पद ऋण २ होगा, अर्थात x = २० - २ = १८।
सम पदों के लिए एक समान तर्क है (दूसरा पद, चौथा पद, छठा पद…): चौथा पद दूसरा पद माइनस 2 है, क्योंकि 13 – 2 = 11, और इसी तरह। हम चाहते हैं कि 8वां पद y द्वारा निरूपित किया जाए, जो छठा पद घटा 2 होगा, इसलिए y = 9 - 2 = 7।
तो हमारे पास x = 18 और y = 7 है। विकल्पों का विश्लेषण करने पर हमें प्राप्त होता है कि x + y = 25, अर्थात् x और y का योग 25 प्राप्त करता है।
राउल रॉड्रिक्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm