वर्ग पूर्णता विधि

x का संख्यात्मक मान ज्ञात करने के तरीकों में, एक प्रक्रिया जिसे के रूप में भी जाना जाता है एक समीकरण की जड़ें खोजें या एक समीकरण का हल खोजें, अलग दिखना: भास्कर सूत्र यह है वर्गों को पूरा करने की प्रक्रिया। उत्तरार्द्ध आज के पाठ का फोकस है।

किसी समीकरण के हलों की संख्या उसकी घात से दी जाती है। इसलिए, प्रथम-डिग्री समीकरणों का केवल एक ही हल होता है, तृतीय-डिग्री समीकरणों के तीन हल होते हैं, और द्विघात समीकरणों के दो हल होते हैं, जिन्हें मूल भी कहते हैं।.

दूसरी डिग्री समीकरण, उनके कम रूप में, निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी = 0

वर्ग पूर्णता विधि

किस स्थिति में द्विघात समीकरण एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है

एक उल्लेखनीय उत्पाद से उत्पन्न द्वितीय डिग्री समीकरणों को के रूप में जाना जाता है पूर्ण वर्ग त्रिपद। इसकी जड़ों को खोजने के लिए, हम नीचे दी गई विधि का उपयोग करेंगे:

उदाहरण: x समीकरण की जड़ों की गणना करें² + 6x + 9 = 0.

ध्यान दें कि गुणांक b 6 = 2·3 है। इसे एक उल्लेखनीय उत्पाद के रूप में लिखने के लिए, जाँच करें कि क्या c = 3², जो सत्य है, 3. से² = 9 = सी। इस प्रकार, हम लिख सकते हैं:

एक्स² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0

ध्यान दें कि एक उल्लेखनीय उत्पाद दो समान बहुपदों के बीच का उत्पाद है। इस समीकरण के मामले में, हमारे पास होगा:

(एक्स + 3)² = (एक्स + 3) (एक्स + 3) = 0

एक उत्पाद केवल शून्य के बराबर होता है जब उसका एक कारक शून्य के बराबर होता है। इसलिए, (x + 3)(x + 3) = 0 के लिए, यह आवश्यक है कि (x + 3) = 0 या (x + 3) = 0। अत: x समीकरण के दो समान परिणाम² + 6x + 9 = 0, जो हैं: x = - 3 या x = - 3।

संक्षेप में: x समीकरण को हल करने के लिए² + 6x + 9 = 0, लिखिए:

एक्स² + 6x + 9 = 0

(एक्स + 3)² = 0

(एक्स + 3) (एक्स + 3) = 0

एक्स = - ३ या एक्स = - ३

किस स्थिति में द्विघात समीकरण एक पूर्ण वर्ग त्रिपद नहीं है

दूसरे का एक समीकरण जिसमें गुणांक b और गुणांक c ऊपर स्थापित संबंधों को पूरा नहीं करते हैं, एक पूर्ण वर्ग त्रिपद नहीं है। इस मामले में, ऊपर हाइलाइट की गई हल करने की विधि का उपयोग कुछ चरणों को जोड़कर किया जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरण पर ध्यान दें:

उदाहरण: x समीकरण की जड़ों की गणना करें² + 6x - 7 = 0।

ध्यान दें कि यह समीकरण एक पूर्ण वर्ग त्रिपद नहीं है। ऐसा होने के लिए, हम निम्नलिखित कार्यों का उपयोग कर सकते हैं:

ध्यान दें कि b = 2·3, इसलिए पहले सदस्य में जो व्यंजक प्रकट होना चाहिए वह x. है² + 6x + 9, क्योंकि इस व्यंजक में b = 2·3 और c = 3².

इस "परिवर्तन" के लिए, 3 add जोड़ें² इस समीकरण के दो सदस्यों पर, -7 को दूसरे सदस्य को "पास" करें, संभावित संचालन करें और परिणामों का निरीक्षण करें:

एक्स² + 6x - 7 + 3² = 0 + 3²

एक्स² + 6x + 3² = 3² + 7

एक्स² + 6x + 9 = 9 + 7

एक्स² + 6x + 9 = 16

(एक्स + 3)² = 16

(एक्स + 3)² = √16

एक्स + 3 = 4 या एक्स + 3 = - 4

इस अंतिम चरण को दो समीकरणों में विभाजित किया जाना चाहिए, क्योंकि 16 का मूल या तो 4 या - 4 हो सकता है (यह केवल समीकरणों में होता है। अगर पूछा जाए कि 16 का मूल क्या है, तो जवाब सिर्फ 4 है)। इसलिए, सभी संभावित परिणामों को खोजना आवश्यक है। जारी है:

एक्स + 3 = 4 या एक्स + 3 = - 4

एक्स = 4 - 3 या एक्स = - 4 - 3

एक्स = 1 या एक्स = - 7

किस मामले में गुणांक "ए" 1. के बराबर नहीं है

पिछले मामले द्विघात समीकरणों के लिए अभिप्रेत हैं जहां गुणांक "ए" 1 के बराबर है। यदि गुणांक "ए" 1 से अलग है, तो पूरे समीकरण को "ए" के मान से विभाजित करें और पिछले मामले की तरह ही गणना के साथ आगे बढ़ें।

उदाहरण: 2x जड़ों की गणना करें² + 16x - 18 = 0

ध्यान दें कि ए = 2. तो पूरे समीकरण को 2 से विभाजित करें और परिणामों को सरल बनाएं:

2x² + 16x – 18 = 0
 2 2 2 2

एक्स² + 8x - 9 = 0

एक बार यह हो जाने के बाद, पिछले मामले की प्रक्रियाओं को दोहराएं।

एक्स² + 8x - 9 = 0

एक्स² + 8x - 9 + 16 = 0 + 16

एक्स² + 8x + 16 = 9 + 16

(एक्स + 4)² = 25

(एक्स + 4)² = √25

एक्स + 4 = 5 या एक्स + 4 = -5

एक्स = 5 - 4 या एक्स = - 5 - 4

एक्स = 1 या एक्स = - 9

उल्लेखनीय उत्पाद और दूसरी डिग्री समीकरण: वर्ग पूर्णता विधि की उत्पत्ति

द्विघात समीकरण उल्लेखनीय उत्पादों की तरह हैं योग वर्ग तथा अंतर का वर्ग।

उदाहरण के लिए, चुकता का योग दो एकपदी वर्ग का योग है। घड़ी:

(एक्स + के)² = एक्स² + 2kx + k²

उपरोक्त समानता के पहले सदस्य के रूप में जाना जाता है उल्लेखनीय उत्पाद और दूसरा कैसे पूर्ण वर्ग त्रिपद. उत्तरार्द्ध दूसरी डिग्री के समीकरण की तरह है। घड़ी:

पूर्ण वर्ग त्रिपद: एक्स² + 2kx + k²

दूसरी डिग्री समीकरण: कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी = 0

इस तरह, यदि एक उल्लेखनीय उत्पाद के रूप में द्विघात समीकरण लिखने का कोई तरीका है, हो सकता है कि के सूत्र का उपयोग किए बिना अपने परिणाम खोजने का एक तरीका भी हो भास्कर।

ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि, उपरोक्त उल्लेखनीय उत्पाद में, a = 1, b = 2·k और c = k². इस तरह, एक उल्लेखनीय उत्पाद के रूप में इन आवश्यकताओं को पूरा करने वाले समीकरण लिखना संभव है।

तो समीकरण में गुणांक देखें। यदि "ए" 1 से अलग है, तो पूरे समीकरण को "ए" के मान से विभाजित करें। अन्यथा, गुणांक "बी" का निरीक्षण करें। इस गुणांक के आधे का संख्यात्मक मान गुणांक "c" के वर्गमूल के संख्यात्मक मान के बराबर होना चाहिए। गणितीय रूप से, समीकरण ax. दिया गया है² + बीएक्स + सी = 0, यदि ए = 1 और इसके अतिरिक्त:

ख = सी
2

तो, आप इस समीकरण को इस तरह लिख सकते हैं:

कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी = (एक्स + ख) = 0
2

और इसकी जड़ें होंगी - बी तथा + बी.
2 2

इसलिए सभी सिद्धांत वर्गों को पूरा करने की विधि द्वारा द्विघात समीकरणों की जड़ों की गणना करते थे।

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm