रैखिक प्रणालियों के अपने ज्ञान का अभ्यास करें, यह एक महत्वपूर्ण गणित विषय है जिसमें एक साथ समीकरणों का अध्ययन शामिल है। कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों के साथ, उनका उपयोग विभिन्न चर से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
सभी प्रश्नों को चरण दर चरण हल किया गया है, जहां हम विभिन्न तरीकों का उपयोग करेंगे, जैसे: प्रतिस्थापन, जोड़, उन्मूलन, स्केलिंग और क्रैमर नियम।
प्रश्न 1 (प्रतिस्थापन विधि)
उस क्रमित युग्म का निर्धारण करें जो रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करता है।
जवाब:
पहले समीकरण में x को अलग करना:
दूसरे समीकरण में x प्रतिस्थापित करने पर:
पहले समीकरण में y का मान प्रतिस्थापित करना।
तो, सिस्टम को हल करने वाला क्रमित युग्म है:
प्रश्न 2 (स्केलिंग विधि)
रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का समाधान है:
उत्तर: x = 5, y = 1, z = 2
सिस्टम पहले से ही सोपानक रूप में है। तीसरे समीकरण में दो शून्य गुणांक हैं (y = 0 और x = 0), दूसरे समीकरण में शून्य गुणांक (x = 0) है, और तीसरे समीकरण में कोई शून्य गुणांक नहीं है।
एक सोपानक प्रणाली में, हम "नीचे से ऊपर तक" हल करते हैं, अर्थात हम तीसरे समीकरण से शुरू करते हैं।
शीर्ष समीकरण की ओर बढ़ते हुए, हम z = 2 प्रतिस्थापित करते हैं।
अंत में, x प्राप्त करने के लिए, हम पहले समीकरण में z = 2 और y = 1 प्रतिस्थापित करते हैं।
समाधान
एक्स = 5, वाई = 1, जेड = 2
प्रश्न 3 (क्रैमर का नियम या विधि)
रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:
उत्तर: x = 4, y = 0.
क्रैमर नियम का उपयोग करना।
स्टेप 1: निर्धारक D, Dx और Dy निर्धारित करें।
गुणांकों का मैट्रिक्स है:
इसका निर्धारक:
डी = 1. 1 - 2. (-1)
डी = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Dx की गणना के लिए, हम x के पदों के स्तंभ को स्वतंत्र पदों के स्तंभ से प्रतिस्थापित करते हैं।
डीएक्स = 4. 1 - 8. (-1)
डीएक्स = 4 + 8 = 12
Dy की गणना के लिए, हम y के पदों को स्वतंत्र पदों से प्रतिस्थापित करते हैं।
डाई = 1. 8 - 2. 4
डाई = 8 - 8
डाई = 0
चरण दो: x और y निर्धारित करें।
x निर्धारित करने के लिए, हम करते हैं:
Y निर्धारित करने के लिए, हम करते हैं:
प्रश्न 4
एक खेल आयोजन में एक टी-शर्ट और टोपी विक्रेता ने 3 टी-शर्ट और 2 टोपियाँ बेचीं, जिससे कुल R$220.00 जुटाए गए। अगले दिन, उन्होंने 2 शर्ट और 3 टोपियाँ बेचीं, जिससे R$190.00 जुटाए गए। एक टी-शर्ट की कीमत और एक टोपी की कीमत क्या होगी?
ए) टी-शर्ट: बीआरएल 60.00 | कैप: बीआरएल 40.00
बी) टी-शर्ट: बीआरएल 40.00 | कैप: बीआरएल 60.00
सी) टी-शर्ट: बीआरएल 56.00 | कैप: बीआरएल 26.00
डी) टी-शर्ट: बीआरएल 50.00 | कैप: बीआरएल 70.00
ई) टी-शर्ट: बीआरएल 80.00 | कैप: बीआरएल 30.00
आइए टी-शर्ट की कीमत c और टोपियों की कीमत b लेबल करें।
पहले दिन के लिए हमारे पास:
3सी + 2बी = 220
दूसरे दिन के लिए हमारे पास है:
2सी + 3बी = 190
हम प्रत्येक दो अज्ञात, c और b के साथ दो समीकरण बनाते हैं। तो हमारे पास 2x2 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है।
संकल्प
क्रैमर नियम का उपयोग करना:
पहला चरण: गुणांकों के मैट्रिक्स का निर्धारक।
दूसरा चरण: निर्धारक डी.सी.
हम c के कॉलम को स्वतंत्र पदों के मैट्रिक्स से प्रतिस्थापित करते हैं।
तीसरा चरण: निर्धारक डीबी।
चौथा चरण: c और b का मान निर्धारित करें।
जवाब:
टी-शर्ट की कीमत R$56.00 और टोपी की कीमत R$26.00 है।
प्रश्न 5
एक मूवी थिएटर वयस्कों के लिए प्रति टिकट R$10.00 और बच्चों के लिए प्रति टिकट R$6.00 का शुल्क लेता है। एक दिन में, 80 टिकट बेचे गए और कुल संग्रह R$700.00 था। प्रत्येक प्रकार के कितने टिकट बेचे गए?
क) वयस्क: 75 | बच्चे: 25
बी) वयस्क: 40 | बच्चे: 40
ग) वयस्क: 65 | बच्चे: 25
घ) वयस्क: 30 | बच्चे: 50
ई)वयस्क: 25 | बच्चे: 75
हम इसे नाम देंगे वयस्कों के लिए टिकट की कीमत और डब्ल्यू बच्चों के लिए।
हमारे पास मौजूद टिकटों की कुल संख्या के संबंध में:
ए + सी = 80
प्राप्त मूल्य के संबंध में हमारे पास है:
10ए + 6सी = 700
हम दो समीकरणों और दो अज्ञातों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं, यानी एक 2x2 प्रणाली।
संकल्प
हम प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करेंगे.
पहले समीकरण में a को अलग करना:
ए = 80 - सी
दूसरे समीकरण में a प्रतिस्थापित करने पर:
10.(80 - सी) + 6सी = 700
800 -10सी + 6सी = 700
800 - 700 = 10सी - 6सी
100 = 4सी
सी = 100/4
सी = 25
दूसरे समीकरण में c प्रतिस्थापित करने पर:
6ए + 10सी = 700
6ए+10. 25 = 700
6y + 250 = 700
6ए = 700 - 250
6ए = 450
ए = 450/6
ए = 75
प्रश्न 6
एक स्टोर टी-शर्ट, शॉर्ट्स और जूते बेचता है। पहले दिन, 2 टी-शर्ट, 3 शॉर्ट्स और 4 जोड़ी जूते बेचे गए, जिनकी कुल कीमत R$350.00 थी। दूसरे दिन, 3 टी-शर्ट, 2 शॉर्ट्स और 1 जोड़ी जूते बेचे गए, जिनकी कुल कीमत R$200.00 थी। तीसरे दिन, 1 टी-शर्ट, 4 शॉर्ट्स और 2 जोड़ी जूते बेचे गए, कुल मिलाकर R$ 320.00। एक टी-शर्ट, शॉर्ट्स और एक जोड़ी जूते की कीमत कितनी होगी?
ए) टी-शर्ट: बीआरएल 56.00 | बरमूडा: आर$24.00 | जूते: बीआरएल 74.00
बी) टी-शर्ट: बीआरएल 40.00 | बरमूडा: आर$50.00 | जूते: बीआरएल 70.00
सी) टी-शर्ट: बीआरएल 16.00 | बरमूडा: आर$58.00 | जूते: बीआरएल 36.00
डी) टी-शर्ट: बीआरएल 80.00 | बरमूडा: आर$50.00 | जूते: बीआरएल 40.00
ई) टी-शर्ट: बीआरएल 12.00 | बरमूडा: आर$26.00 | जूते: बीआरएल 56.00
- c शर्ट की कीमत है;
- बी शॉर्ट्स की कीमत है;
- एस जूते की कीमत है.
पहले दिन के लिए:
2सी + 3बी + 4एस = 350
दूसरे दिन के लिए:
3सी + 2बी + एस = 200
तीसरे दिन के लिए:
सी + 4बी + 2एस = 320
हमारे पास तीन समीकरण और तीन अज्ञात हैं, जो रैखिक समीकरणों की एक 3x3 प्रणाली बनाते हैं।
क्रैमर नियम का उपयोग करना।
गुणांकों का मैट्रिक्स है
इसका निर्धारक D = 25 है।
प्रतिक्रियाओं का कॉलम मैट्रिक्स है:
डीसी की गणना करने के लिए, हम प्रतिक्रियाओं के कॉलम मैट्रिक्स को गुणांक के मैट्रिक्स में पहले कॉलम से बदल देते हैं।
डीसी = 400
डीबी की गणना के लिए:
डीबी = 1450
डीएस की गणना के लिए:
डीएस = 900
सी, बी और एस निर्धारित करने के लिए, हम निर्धारकों डीसी, डीबी और डीएस को मुख्य निर्धारक डी से विभाजित करते हैं।
प्रश्न 7
एक रेस्तरां तीन व्यंजन विकल्प प्रदान करता है: मांस, सलाद और पिज़्ज़ा। पहले दिन, 40 मांस व्यंजन, 30 सलाद व्यंजन और 10 पिज़्ज़ा बेचे गए, कुल मिलाकर R$700.00 की बिक्री हुई। दूसरे दिन, 20 मांस व्यंजन, 40 सलाद व्यंजन और 30 पिज़्ज़ा बेचे गए, कुल मिलाकर R$600.00 की बिक्री हुई। तीसरे दिन, 10 मांस व्यंजन, 20 सलाद व्यंजन और 40 पिज़्ज़ा बेचे गए, कुल मिलाकर R$500.00 की बिक्री हुई। प्रत्येक व्यंजन की लागत कितनी होगी?
ए) मांस: बीआरएल 200.00 | सलाद: आर$15.00 | पिज़्ज़ा: बीआरएल 10.00
बी) मांस: आर$ 150.00 | सलाद: आर$ 10.00 | पिज़्ज़ा: बीआरएल 60.00
ग) मांस: बीआरएल 100.00 | सलाद: आर$15.00 | पिज़्ज़ा: बीआरएल 70.00
घ) मांस: बीआरएल 200.00 | सलाद: आर$10.00 | पिज़्ज़ा: बीआरएल 15.00
ई) मांस: बीआरएल 140.00 | सलाद: आर$20.00 | पिज़्ज़ा: बीआरएल 80.00
का उपयोग करना:
- सी मांस के लिए;
- सलाद के लिए एस;
- पिज्जा के लिए पी.
पहले दिन पर:
दूसरे दिन में:
तीसरे दिन:
प्रत्येक डिश की कीमत सिस्टम को हल करके प्राप्त की जा सकती है:
संकल्प
उन्मूलन विधि का उपयोग करना.
20c + 40s + 30p = 6000 को 2 से गुणा करें।
पहले से प्राप्त दूसरे मैट्रिक्स समीकरण को घटाएँ।
उपरोक्त मैट्रिक्स में, हम इस समीकरण को दूसरे समीकरण से बदलते हैं।
हम उपरोक्त तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करते हैं।
पहले समीकरण से तीसरा घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
प्राप्त समीकरण को तीसरे द्वारा प्रतिस्थापित करना।
समीकरण दो और तीन को घटाने पर, हमें मिलता है:
तीसरे समीकरण से, हमें p = 80 प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण में p प्रतिस्थापित करने पर:
50s + 50.80 = 5000
50s + 4000 = 5000
50 = 1000
एस = 1000/50 = 20
पहले समीकरण में s और p के मानों को प्रतिस्थापित करना:
40सी + 30.20 + 10.80 = 7000
40सी + 600 + 800 = 7000
40सी = 7000 - 600 - 800
40सी = 5600
सी = 5600/40 = 140
समाधान
p=80, s=20 और c=140
प्रश्न 8
(यूईएमजी) योजना में, सिस्टम रेखाओं की एक जोड़ी का प्रतिनिधित्व करता है
क) संयोग.
बी) विशिष्ट और समानांतर।
ग) बिंदु पर समवर्ती रेखाएं (1, -4/3)
d) बिंदु पर समवर्ती रेखाएँ (5/3, -16/9)
पहले समीकरण को दो से गुणा करना और दोनों समीकरणों को जोड़ना:
समीकरण A में x प्रतिस्थापित करने पर:
प्रश्न 9
(पीयूसी-मिनास) एक निश्चित प्रयोगशाला ने फार्मेसियों ए, बी और सी को 108 ऑर्डर भेजे। यह ज्ञात है कि फार्मेसी बी को भेजे गए ऑर्डर की संख्या दो अन्य फार्मेसियों को भेजे गए ऑर्डर की कुल संख्या से दोगुनी थी। इसके अलावा, फार्मेसी ए को भेजे गए आधे से अधिक राशि के तीन ऑर्डर फार्मेसी सी को भेजे गए थे।
इस जानकारी के आधार पर, यह बताना सही है कि फार्मेसियों बी और सी को भेजे गए ऑर्डरों की कुल संख्या थी
ए) 36
बी) 54
ग) 86
घ) 94
कथन के अनुसार हमारे पास:
ए + बी + सी = 108.
साथ ही, B की मात्रा A + C से दोगुनी थी।
बी = 2(ए + सी)
फार्मेसी सी को तीन ऑर्डर भेजे गए, आधे से अधिक मात्रा फार्मेसी ए को भेजी गई।
सी = ए/2 + 3
हमारे पास समीकरण और तीन अज्ञात हैं।
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना.
चरण 1: तीसरे को दूसरे से बदलें।
चरण 2: प्राप्त परिणाम और तीसरे समीकरण को पहले में रखें।
चरण 3: B और C का मान निर्धारित करने के लिए A का मान रखें।
बी = 3ए + 6 = 3.22 + 6 = 72
सी के लिए:
चरण 4: B और C का मान जोड़ें।
72 + 14 = 86
प्रश्न 10
(UFRGS 2019) ताकि रैखिक समीकरणों की प्रणाली संभव और निश्चित, यह आवश्यक और पर्याप्त है
ए) ए ∈ आर.
बी) ए = 2.
ग) ए = 1.
घ) ए ≠ 1.
ग) ए ≠ 2.
किसी सिस्टम को यथासंभव वर्गीकृत करने और निर्धारित करने का एक तरीका क्रैमर विधि के माध्यम से है।
इसके लिए शर्त यह है कि निर्धारक शून्य से भिन्न हों।
मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक डी को शून्य के बराबर बनाना:
रैखिक प्रणालियों के बारे में अधिक जानने के लिए:
- रैखिक प्रणालियाँ: वे क्या हैं, प्रकार और कैसे हल करें
- समीकरणों की प्रणाली
- रैखिक प्रणालियों की स्केलिंग
- क्रैमर का नियम
अधिक व्यायाम के लिए:
- प्रथम डिग्री के समीकरणों की प्रणाली
एएसटीएच, राफेल. हल की गई रैखिक प्रणालियों पर अभ्यास।सब मायने रखता है, [रा।]. में उपलब्ध: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. यहां पहुंचें:
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- द्वितीय डिग्री समीकरण
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