अनुमानित वर्गमूल: गणना करना सीखें

एक अनुमानित वर्गमूल का एक सीमित प्रतिनिधित्व है अपरिमेय संख्या. कई मामलों में, जब साथ काम करते हैं वर्गमूल, कुछ दशमलव स्थानों वाला अनुमान हमारी गणना के लिए पर्याप्त है।

इस प्रक्रिया में कैलकुलेटर एक महत्वपूर्ण उपकरण है। इसका प्रदर्शन, जिसमें सीमित स्थान है, गैर-सटीक वर्गमूलों के लिए एक अच्छा सन्निकटन दर्शाता है। लेकिन कैलकुलेटर की सहायता के बिना भी इन अनुमानों को खोजना संभव है, जैसा कि हम नीचे देखेंगे।

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अनुमानित वर्गमूल सारांश

• एक अयथार्थ वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है।

• हम गैर-सटीक वर्गमूलों के लिए अनुमानित मान पा सकते हैं।

• सन्निकटन की सटीकता प्रयुक्त दशमलव स्थानों की संख्या पर निर्भर करती है।

• अनुमान विभिन्न तरीकों से लगाया जा सकता है, जिसमें कैलकुलेटर की सहायता भी शामिल है।

• x के वर्गमूल के लिए y सन्निकटन ज्ञात करने का मतलब है कि y², x के बहुत करीब है, लेकिन y², x के बराबर नहीं है।

अनुमानित वर्गमूल पर वीडियो पाठ

आप अनुमानित वर्गमूल की गणना कैसे करते हैं?

भिन्न भिन्न तरीका होता है वर्गमूल के सन्निकटन की गणना करने के लिए। उनमें से एक है कैलकुलेटर! उदाहरण के लिए, जब हम लिखते हैं

\(\sqrt{2}\) कैलकुलेटर पर और = पर क्लिक करें, परिणामी संख्या एक अनुमान है। वैसा ही साथ चलता है \(\sqrt{3}\) यह है \(\sqrt{5}\), जो गैर-सटीक वर्गमूल भी हैं, अर्थात वे अपरिमेय संख्याएँ हैं।

दूसरा तरीका यह है कि अध्ययन किए गए गैर-सटीक मूल के निकट सटीक जड़ों का उपयोग किया जाए। यह आपको दशमलव अभ्यावेदन की तुलना करने और गैर-सटीक रूट के लिए एक सीमा खोजने की सुविधा देता है। इस प्रकार, हम कुछ मूल्यों का परीक्षण तब तक कर सकते हैं जब तक हमें एक अच्छा सन्निकटन नहीं मिल जाता।

यह कठिन लगता है, लेकिन चिंता न करें: यह एक परीक्षण प्रक्रिया है. आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण

1. इसके लिए दो दशमलव स्थानों तक एक सन्निकटन ज्ञात कीजिए \(\mathbf{\sqrt{5}}\).

एहसास है कि \(\sqrt{4}\) यह है \(\sqrt{9}\) की निकटतम सटीक जड़ें हैं \(\sqrt{5}\). याद रखें कि मूलांक जितना बड़ा होगा, वर्गमूल मान उतना ही बड़ा होगा। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं

\(\sqrt{4}

\(2

अर्थात, \(\sqrt5\) 2 और 3 के बीच की एक संख्या है.

अब परीक्षण का समय है: हम 2 और 3 के बीच कुछ मान चुनते हैं और जांचते हैं कि क्या प्रत्येक वर्ग संख्या 5 के करीब पहुंचती है। (उसे याद रखो \(\sqrt5=a\) अगर \(a^2=5\)).

सरलता के लिए, आइए एक दशमलव स्थान वाली संख्याओं से शुरुआत करें:

\(2,1^2=4,41\)

\(2,2^2=4,84\)

\(2,3^2=5,29\)

ध्यान दें कि हमें संख्याओं को दशमलव स्थान तक पार्स करना जारी रखने की भी आवश्यकता नहीं है: हम जिस संख्या की तलाश कर रहे हैं वह 2.2 और 2.3 के बीच है।

\(2,2

अब, चूँकि हम दो दशमलव स्थानों के साथ एक सन्निकटन की तलाश कर रहे हैं, आइए परीक्षणों के साथ आगे बढ़ें:

\(2,21^2=4,8841\)

\(2,22^2=4,9284\)

\(2,23^2=4,9729\)

\(2,24^2=5,0176\)

फिर, हम विश्लेषण रोक सकते हैं। आप जो संख्या खोज रहे हैं वह 2.23 और 2.24 के बीच है।

\(2.23

लेकिन और अब? दो दशमलव स्थानों वाले इनमें से कौन से मान को हम सन्निकटन के रूप में चुनते हैं \(\sqrt5\)? दोनों अच्छे विकल्प हैं, लेकिन ध्यान दें कि सबसे अच्छा वह है जिसका वर्ग 5 के निकटतम है:

\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)

\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)

अर्थात, \(2,24^2 \) से 5 के करीब है \(2,23^2\).

इस प्रकार, दो दशमलव स्थानों के लिए सर्वोत्तम सन्निकटन \(\sqrt5\) é 2,24. हम वो लिखते हैं \(\sqrt5≈2.24\).

1. इसके लिए दो दशमलव स्थानों तक एक सन्निकटन ज्ञात कीजिए \(\mathbf{\sqrt{20}}\).

हम पिछले उदाहरण की तरह ही शुरू कर सकते हैं, यानी सटीक जड़ों की तलाश करें रेडिकैंड्स 20 के करीब हैं, लेकिन ध्यान दें कि रेडिकैंड्स के मूल्य को कम करना और सुविधा प्रदान करना संभव है हिसाब किताब:

\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)

ध्यान दें कि हमने रेडिकैंड 20 का अपघटन किया और रूटिंग प्रॉपर्टी का उपयोग किया।

अभी कैसे \(\sqrt20=2\sqrt5\), हम दो दशमलव स्थानों के साथ सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं \(\sqrt5\) पिछले उदाहरण से:

\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)

\(\sqrt{20} ≈4.48\)

अवलोकन: जैसा कि हम एक अनुमानित संख्या का उपयोग करते हैं (\(\sqrt5≈2.24\)), मान 4.48 दो दशमलव स्थानों के साथ सर्वोत्तम सन्निकटन नहीं हो सकता है \(\sqrt{20}\).

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अनुमानित वर्गमूल और सटीक वर्गमूल के बीच अंतर

एक सटीक वर्गमूल है a तर्कसंगत संख्या. एहसास है कि \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) यह है \(\sqrt{121}\) सटीक वर्गमूलों के उदाहरण हैं, जैसे \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) यह है \(\sqrt{121}=11\). इसके अलावा, जब हम व्युत्क्रम संक्रिया लागू करते हैं (अर्थात, सामर्थ्य घातांक 2) के साथ, हमें मूलांक प्राप्त होता है। पिछले उदाहरणों में, हमारे पास है \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) यह है \(11^2=121\).

एक अयथार्थ वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है (अर्थात, अनंत गैर-दोहराए जाने वाले दशमलव स्थानों वाली एक संख्या)। इस प्रकार, हम इसके दशमलव प्रतिनिधित्व में सन्निकटन का उपयोग करते हैं। एहसास है कि \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) यह है \(\sqrt6\) गैर-सटीक जड़ों के उदाहरण हैं, क्योंकि \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1.7320508\) यह है \(\sqrt6≈2.44949\). इसके अलावा, जब हम व्युत्क्रम संक्रिया (अर्थात, घातांक 2 के साथ शक्ति) लागू करते हैं, तो हमें मूलांक के करीब एक मान प्राप्त होता है, लेकिन बराबर नहीं। पिछले उदाहरणों में, हमारे पास है \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) यह है \(2,44949^2=6,00000126\).

अनुमानित वर्गमूल पर हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

निम्नलिखित संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).

संकल्प

एहसास है कि \(\sqrt{150}\) एक गैर-सटीक वर्गमूल है और \(\sqrt{144}\) सटीक है (\(\sqrt{144}=12\)). इस प्रकार, हमें केवल की स्थिति की पहचान करने की आवश्यकता है \(\sqrt{150}\).

ध्यान दें कि \(13=\sqrt{169}\). यह मानते हुए कि मूलांक जितना बड़ा होगा, वर्गमूल का मान उतना ही अधिक होगा, हमारे पास वह है

\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)

इसलिए, संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमारे पास है

\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)

प्रश्न 2

निम्नलिखित विकल्पों में से, संख्या के लिए एक दशमलव स्थान के साथ सबसे अच्छा सन्निकटन कौन सा है? \(\sqrt{54}\)?

ए) 6.8

बी) 7.1

ग) 7.3

घ) 7.8

ई) 8.1

संकल्प

वैकल्पिक सी

ध्यान दें कि \(\sqrt{49}\) यह है \(\sqrt{64}\) के निकटतम सटीक वर्गमूल हैं \(\sqrt{54}\). जैसा \(\sqrt{49}=7\) यह है \(\sqrt{64}=8\), हमें करना ही होगा

\(7

आइए एक दशमलव स्थान के साथ सन्निकटन की कुछ संभावनाएँ देखें \(\sqrt{54}\):

\(7,1^2=50,41\)

\(7,2^2=51,84\)

\(7,3^2=53,29\)

\(7,4^2=54,76\)

ध्यान दें कि परीक्षण जारी रखना आवश्यक नहीं है। इसके अलावा, विकल्पों में से, 7.3 एक दशमलव स्थान के लिए सबसे अच्छा सन्निकटन है \(\sqrt{54}\).

मारिया लुइज़ा अल्वेस रिज़ो द्वारा
गणित शिक्षक

स्रोत: ब्राज़ील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm